《系统的数学模型》PPT课件.ppt

1/60,第2章 控制系统的数学模型,2.1系统的微分方程 2.2 Laplace 变换及其性质基本概念 2.3系统的传递函数 2.4 系统的传递函数方框图及其简化 2.5 闭环系统的传递函数 2.6 控制系统的信号流图 2.7 相似原理,2/60,2.1 系统的微分方程,一 建立数学模型的意义 (1)可定性地了解系统的工作原理及其特性; (2)更能定量地描述系统的动态性能; (3)揭示系统的内部结构、参数与动态性能之间的关系。,3/60,二 系统数学模型的形式 （1）最基本形式是微分方程在时域中描述系统(或元件)动态特性； （2）传递函数形式极有利于对系统在复数域及频域进行深入的研究、分析与综合 。,4/60,三 数学模型的建立方法 (1)分析法:根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式，从而建立数学模型。 (2)实验法:对于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数据，拟合出比较接近实际系统的数学模型。,5/60,2.1.1 线性系统与非线性系统,6/60,若系数中有依赖于 或其导函数，或者，在微分方程中出现t 的其他函数形式，则该方程就是非线性的，相应的系统也称为非线性系统。 注意：线性及非线性这一特性并不随系统的表示方法而改变，它是系统本身的固有特性。线性系统与非线性系统的根本区别在于：线性系统满足叠加原理，而非线性系统则不满足叠加原理。,7/60,线性化：为了分析研究非线性系统，在一定范围内将一些非线性因素忽略，近似地用线性数学模型来代替，这便是所谓数学模型的线性化。 本质非线性系统：例如电气系统中某些元件存在继电特性、饱和、死区和磁滞等现象，只能采取非线性方法进行分析与设计。这方面内容，本课程不作要求。,叠加原理：总输出等于各个输入单独作用而产生的输出之和。,8/60,2.1.2、系统的微分方程,1用分析法（解析法）列写微分方程的一般方法 (1)确定系统或各元件的输入、输出变量。系统的给定输入量或扰动输入量都是系统的输入量，而被控制量则是输出量； (2)进行适当的简化，忽略次要因素；,9/60,(3) 从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理，列写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程； (4)消除中间变量，写出只含有输入、输出变量的微分方程； (5)标准化。整理所得微分方程：,输出量降幂排列输入量降幂排列,幂指导数的阶次,10/60,2、典型元件的微分方程,11/60,12/60,13/60,14/60,15/60,16/60,解：列写系统微分方程 (1)输入:电压 输出:电压 中间变量 (2)简化 (3)根据克希荷夫定律，可写出下列原始方程式：,例1 图示为两个形式相同的RC电路串联而成的滤波网络，试写出以输出电压和输入电压为变量的滤波网络的微分方程。,17/60,电路分析的基本方法-克希荷夫定律,(1)克希荷夫第一定律(克希荷夫电流定律KCL)：在电路任何时刻，对任一结点，所有支路电流的代数和恒等于零，即流出结点的取+号，流入结点的取-号。N为支路数。 (2)克希荷夫第二定律(克希荷夫电压定律KVL)：在电路任何时刻，沿任一回路，所有支路电压的代数和恒等于零，即电压的参考方向与指定的绕行方向一致的取+号，相反的取-号。N为支路数。,也称为基尔霍夫定律,18/60,(4)消去中间变量,19/60,注意,虽然电路又两个RC电路所组成，但不能把它看作两个独立的RC电路的连接。因为第二级电路的i2 要影响第一级电路的u1，列写方程式应考虑这个影响。这种后一级对前一级的影响叫做负载效应。存在负载效应时，必须把全部元件作为整体加以考虑。 本例如果不考虑负载效应时显然与前面得到的结果不同。,20/60,例2 图示为电枢控制式直流电机原理图，设 为电枢两端的控制电压， 为电机旋转角速度， 为折合到电机轴上的总的负载力矩。当激磁不变时，用电枢控制的情况下， 为给定输入， 为干扰输入， 为输出。系统中ed为电动机旋转时电枢两端的反电势； 为电动机的电枢电流； 为电动机的电磁力矩。,21/60,(1) 输入变量为电压 ； 输出变量为电机旋转角速度 ; 中间变量 ; (2)根据克希荷夫定律，电机电枢回路的方程为 当磁通固定不变时， 与转速成正比，即,(2.1.5),式中， 为反电势常数。,22/60,这样（2.1.5）式为 根据刚体的转动定律，电动机转子的运动方程为,(2.1.6),(2.1.7),当激磁磁通固定不变时，电动机的电磁力矩与电枢电流成正比。即 式中，km为电动机电磁力矩常数,(2.1.8),23/60,（3）消除中间变量 将（2.1.8）式代入（2.1.7）式得 应用（2.1.6）式和（2.1.9）式消去中间变量ia，可得,(2.1.9),(2.1.10),24/60,令 ,则上式为 即为电枢控制式直流电动机的数学模型。由式可见，转速既由ua控制，又受ML影响。,(2.1.11),25/60,1微分方程的增量化表示,前面从数学角度讨论了系统的模型。下面是考虑工程实际进一步讨论模型。 (1)电动机处于平衡状态，变量各阶导数为零，微分方程变为代数方程： 此时，对应输入输出量可表示为： 则有 这就是系统的稳态,（2.1.12）,（2.1.13）,2.1.3非线性微分方程的线性化,26/60,（2）系统的稳态并不能长期稳定，闭环控制系统的任务就是要系统工作在稳态。当输入量发生变化时，输出量相应变化，输入输出量可以记为： 则式（2.1.11）可记为：,27/60,考虑到 ，上式可变为 对于定值控制系统，总是工作在设定值即稳态或平衡点附近，将变量的坐标原点设在该平衡点，则微分方程转换为增量方程，它同样描述了系统的动态特性，但它由于不考虑初始条件，求解及分析时方便了许多。,(2.1.14),28/60,2非线性微分方程的线性化,29/60,30/60,31/60,图2.1.3是一个液压伺服系统，下面通过它讨论线性化问题。,32/60,33/60,(1)输入变量为阀心位移x；输出变量为活塞位移y;中间变量 (2)按照液压原理建立动力学方程 负载动力学方程为 流量连续性方程为 q与p一般为非线性关系,(2.1.15),(2.1.16),(2.1.17),34/60,（3）线性化处理 将(2.17)在工作点领域做泰勒展开，当偏差很小时，可略去展开式的高阶项，保留一次项，并取增量关系，有： 式中 则(2.18)可以写成 当系统在预定工作条件 ， ， 下工作 即分别为q,x,p,故（2.1.19）可以写为,(2.1.18),(2.1.19),(2.1.20),为2.1.17在工作点（x0,p0）的线性化方程,35/60,则(2.18)可以写成 当系统在预定工作条件 ， ， 下工作 即分别为q,x,p,故（2.1.19）可以写为,(2.1.19),(2.1.20),为2.1.17在工作点（x0,p0）的线性化方程,36/60,图2.1.4 q,p,x三者线性关系,37/60,（4）消除中间变量 由(2.20)可得 整理后可得线性化后的动力学方程为：,(2.1.21),(2.1.22),38/60,小偏差线性化时要注意以下几点： （1）必须明确系统工作点，因为不同的工作点所得线性化方程的系数不同。通常是零初态。 （2）非线性模型线性化是有条件的，即变量偏离预定工作点很小。如果变量在较大范围内变化，则用这种线性化方法建立的数学模型，在除工作点外的其它工况势必有较大的误差。 （3）要求非线性函数连续（即非线性特性是连续的），否则在不连续点附近不能得到收敛的泰勒级数，这时就不能线性化。 （4）线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。,39/60,2.2 Laplace 变换及其性质,Laplace(拉普拉斯)变换是描述、分析连续、线性、时不变系统的重要工具，可理解为广义单边傅立叶变换。,傅立叶变换建立了时域和频域的联系; 而拉氏变换建立了时域和复频域的联系.,40/60,2.2.1 Laplace 变换的定义 2.2.2 典型函数的Laplace变换 2.2.3 Laplace变换的性质 2.2.4 Laplace逆变换 2.2.5 用Laplace变换求解常系数线性微分方程,41/60,2.1.1 Laplace 变换的定义,设函数x(t)，满足,其中x(t)为时间t的函数，在每个有限区间内连续或分段连续，则x(t)的Laplace变换定义为,式中 s 复变数，,1),2),42/60,2.1.2 典型函数的Laplace变换,1. 单位阶跃函数1(t),则,43/60,2. 指数函数,44/60,3. 脉冲函数 (t),45/60,4. 正弦和余弦函数,46/60,2.1.3 Laplace变换的的性质,1. 线性,47/60,2. 叠加性,若,则,48/60,3. 微分性 常用,原函数f(t)的导数的Laplace变换,f(t)的n阶导数的Laplace变换,若f(t)及各阶导数的初值均为0，即,则,49/60,4. 积分定理：原函数f(t)的积分的Laplace变换,式中,初始条件为零时,50/60,5. 位移定理 常用,6. 延迟定理 常用,51/60,7. 初值定理,若函数f(t)的Laplace变换为F(s)，且,存在，,则时间函数f(t)的初始值,8.终值定理,若函数f(t)的Laplace变换为F(s)，且,存在，,则原函数f(t)的稳态值,52/60,9. 比例尺的改变,10. 时间乘函数的Laplace变换,53/60,11. 卷积性质,如t0时，f(t)=g(t)=0,则：,54/60,常用拉氏变换表 小结,55/60,2.1.4 Laplace逆变换,Laplace逆变换公式为,简写,直接通过积分求Laplace 逆变换通常很繁锁，对于一般问题都可以避免这样的积分，利用Laplace 变换表，查表求原函数。,56/60,2.1.5 利用Laplace变换求解微分方程解的步骤 1) 对微分方程进行Laplace变换，并代入初始条件； 2) 求解因变量Laplace变换的代数方程； 3) 求解因变量Laplace逆变换，得到所求的微分方程的解。,变微积分计算为代数计算,57/60,58/60,例1,解：设:Ly(t)=Y(s)，方程两边取Laplace变换，有,利用初始条件，得到,59/60,小 结,重点： 微分方程的分类 叠加原理 建立微分方程的方法 典型物理元件的微分方程,难点： 拉氏变换性质 常见函数的拉氏变换 线性化条件及方法,60/60,作 业,二：记住典型物理环节的微分方程 拉氏变换性质 常见函数的拉氏变换,一：2.6（b）、2.9（a）改为求其微分方程，2.1（1、3、5）, 2.5（1、4、6）,