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第4章 正弦电路的稳态分析,2. 正弦量的相量表示,3. 电路定理的相量形式；,重点：,1. 正弦量的表示、相位差；,下 页,返 回,5. 正弦稳态电路的分析；,6. 正弦稳态电路的功率分析；,4. 阻抗和导纳；,4.1 正弦量的基本概念,1. 正弦量,瞬时值表达式：,i(t)=Imcos(w t+y),波形：,周期T (period)和频率f (frequency) :,频率f ：每秒重复变化的次数。,周期T ：重复变化一次所需的时间。,单位：Hz，赫(兹),单位：s，秒,正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT),下 页,上 页,返 回,正弦电流电路,激励和响应均为正弦量的电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。,（1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。,研究正弦电路的意义：,1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数,优点：,2）正弦信号容易产生、传送和使用。,下 页,上 页,返 回,（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。,对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。,下 页,上 页,返 回,幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im,(2) 角频率(angular frequency),2. 正弦量的三要素,(3) 初相位(initial phase angle) y,2,t,单位： rad/s ，弧度 / 秒,反映正弦量变化幅度的大小。,相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。,反映正弦量的计时起点，常用角度表示。,i(t)=Imcos(w t+y),下 页,上 页,返 回,同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。,一般规定：| | 。, =0, =/2, =/2,下 页,上 页,返 回,例,已知正弦电流波形如图，103rad/s，（1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1,解,由于最大值发生在计时起点右侧,下 页,上 页,返 回,3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。,设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i),则 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i,j 0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；, j 0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。,等于初相位之差,规定： | | (180)。,下 页,上 页,返 回,j 0， 同相：,j = (180o ) ，反相：,特殊相位关系：,= p/2： u 领先 i p/2, 不说 u 落后 i 3p/2； i 落后 u p/2, 不说 i 领先 u 3p/2。,同样可比较两个电压或两个电流的相位差。,下 页,上 页,返 回,例,计算下列两正弦量的相位差。,解,不能比较相位差,两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。,下 页,上 页,返 回,4. 周期性电流、电压的有效值,周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。,周期电流、电压有效值(effective value)定义,有效值也称均方根值(root-meen-square),物理意义,下 页,上 页,返 回,同样，可定义电压有效值：,正弦电流、电压的有效值,设 i(t)=Imcos( t+ ),下 页,上 页,返 回,同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：,若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；,U=380V， Um537V。,（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。,（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。,注,下 页,上 页,返 回,4.2 正弦量的相量表示,1. 问题的提出：,电路方程是微分方程：,两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。,下 页,上 页,返 回,i1,i1+i2 i3,i2,角频率： 有效值： 初相位：,因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，,i3,实际是变换的思想,下 页,上 页,返 回,复数A的表示形式,A=a+jb,2. 复数及运算,下 页,上 页,返 回,两种表示法的关系：,或,复数运算,则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2),(1)加减运算采用代数形式,若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2,图解法,下 页,上 页,返 回,(2) 乘除运算采用极坐标形式,除法：模相除，角相减。,例1.,乘法：模相乘，角相加。,则:,解,下 页,上 页,返 回,例2.,(3) 旋转因子：,复数 ejq =cosq +jsinq =1q,A ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q ，而模不变。故把 ejq 称为旋转因子。,解,下 页,上 页,返 回,故 +j, j, -1 都可以看成旋转因子。,几种不同值时的旋转因子,下 页,上 页,返 回,造一个复函数,对A(t)取实部：,对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数,A(t)包含了三要素：I、 、w ，复常数包含了I , 。,A(t)还可以写成,无物理意义,是一个正弦量 有物理意义,3. 正弦量的相量表示,下 页,上 页,返 回,称 为正弦量 i(t) 对应的相量。,相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位,同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：,已知,例1,试用相量表示i, u .,解,下 页,上 页,返 回,在复平面上用向量表示相量的图,例2,试写出电流的瞬时值表达式。,解,相量图,下 页,上 页,返 回,4. 相量法的应用,(1) 同频率正弦量的加减,故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。,可得其相量关系为：,下 页,上 页,返 回,例,也可借助相量图计算,首尾相接,下 页,上 页,返 回,2 . 正弦量的微分，积分运算,微分运算:,积分运算:,下 页,上 页,返 回,例,用相量运算：,相量法的优点：,（1）把时域问题变为复数问题；,（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；,（3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；,下 页,上 页,返 回,注, 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。, 相量法用来分析正弦稳态电路。,下 页,上 页,返 回,4.3 基尔霍夫定律和电路元件的相量形式,1. 电阻元件VCR的相量形式,时域形式：,相量形式：,相量模型,有效值关系,相位关系,相量关系：,下 页,上 页,返 回,瞬时功率：,波形图及相量图：,瞬时功率以2交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率,同相位,下 页,上 页,返 回,时域形式：,相量形式：,相量模型,相量关系：,2. 电感元件VCR的相量形式,下 页,上 页,返 回,感抗的物理意义：,(1) 表示限制电流的能力；,(2) 感抗和频率成正比；,相量表达式:,XL= L=2fL，称为感抗，单位为 (欧姆) BL=1/ L =1/2fL， 感纳，单位为 S,感抗和感纳:,下 页,上 页,返 回,功率：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消,波形图及相量图：,电压超前电流900,下 页,上 页,返 回,时域形式：,相量形式：,相量模型,相量关系：,3. 电容元件VCR的相量形式,下 页,上 页,返 回,XC=1/w C， 称为容抗，单位为 (欧姆) B C = w C， 称为容纳，单位为 S,频率和容抗成反比, 0， |XC| 直流开路(隔直) w ，|XC|0 高频短路(旁路作用),容抗与容纳：,相量表达式:,下 页,上 页,返 回,功率：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消,波形图及相量图：,电流超前电压900,下 页,上 页,返 回,4. 基尔霍夫定律的相量形式,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：,上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。,下 页,上 页,返 回,例1,试判断下列表达式的正、误：,L,下 页,上 页,返 回,例2,已知电流表读数：,解,下 页,上 页,返 回,例3,解,下 页,上 页,返 回,例4,解,下 页,上 页,返 回,例5,解,下 页,上 页,返 回,例6,图示电路I1=I2=5A，U50V，总电压与总电流同相位，求I、R、XC、XL。,解,也可以画相量图计算,令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,例7,图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压滞后与电源电压/3，问R、C应如何选择。,解1,也可以画相量图计算,下 页,上 页,返 回,例5,图示为RC选频网络，试求u1和u0同相位的条件及,上 页,返 回,4.4 复阻抗和复导纳,1. 复阻抗,正弦稳态情况下,单位：,阻抗模,阻抗角,欧姆定律的相量形式,下 页,上 页,返 回,当无源网络内为单个元件时有：,Z可以是实数，也可以是虚数,下 页,上 页,返 回,2. RLC串联电路,由KVL：,下 页,上 页,返 回,Z 复阻抗；R电阻(阻抗的实部)；X电抗(阻抗的虚部)； |Z|复阻抗的模；z 阻抗角。,转换关系：,或,阻抗三角形,下 页,上 页,返 回,分析 R、L、C 串联电路得出：,（1）Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|jz为复数，故称复阻抗,（2）wL 1/wC ，X0， j z0，电路为感性，电压领先电流；,相量图：选电流为参考向量，,三角形UR 、UX 、U 称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即,下 页,上 页,返 回,wL1/wC， X0， jz 0，电路为容性，电压落后电流；,wL=1/wC ，X=0， j z=0，电路为电阻性，电压与电流同相。,下 页,上 页,返 回,例,已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,求 i, uR , uL , uC .,解,其相量模型为：,下 页,上 页,返 回,则,UL=8.42U=5，分电压大于总电压。,相量图,注,下 页,上 页,返 回,3. 导纳,正弦稳态情况下,单位：S,导纳模,导纳角,下 页,上 页,返 回,对同一二端网络:,当无源网络内为单个元件时有：,Y可以是实数，也可以是虚数,下 页,上 页,返 回,4. RLC并联电路,由KCL：,下 页,上 页,返 回,Y 复导纳；G电导(导纳的实部)；B电纳(导纳的虚部)； |Y|复导纳的模； y导纳角。,转换关系：,或,导纳三角形,下 页,上 页,返 回,（1）Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|jy 数，故称复导纳；,（2）wC 1/wL ，B0， y0，电路为容性，电流超前电压,相量图：选电压为参考向量，,分析 R、L、C 并联电路得出：,三角形IR 、IB、I 称为电流三角形，它和导纳三角形相似。即,RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象,下 页,上 页,返 回,wC1/wL ，B0， y0，电路为感性，电流落后电压；,下 页,上 页,返 回,wC=1/wL ，B=0， j y =0，电路为电阻性，电流与电压同相,下 页,上 页,返 回,5. 复阻抗和复导纳的等效互换,一般情况 G1/R B1/X。若Z为感性，X0，则B0，即仍为感性。,注,下 页,上 页,返 回,同样，若由Y变为Z，则有：,下 页,上 页,返 回,例,RL串联电路如图，求在106rad/s时的等效并联电路。,解,RL串联电路的阻抗为：,下 页,上 页,返 回,阻抗（导纳）的串联和并联,1. 阻抗的串联,下 页,上 页,返 回,2. 导纳的并联,两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为：,下 页,上 页,返 回,例,求图示电路的等效阻抗， 105rad/s 。,解,感抗和容抗为：,下 页,上 页,返 回,例,图示电路对外呈现感性还是容性？ 。,解1,等效阻抗为：,下 页,上 页,返 回,解2,用相量图求解，取电流2为参考相量：,下 页,上 页,返 回,例,图示为RC选频网络，试求u1和u0同相位的条件及,解,设：Z1=RjXC, Z2=R/jXC,下 页,上 页,返 回,4.5 正弦电路的分析方法,电阻电路与正弦电流电路的分析比较：,可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。,下 页,上 页,返 回,结论,1. 引入相量法，把求正弦稳态电路微分方程的特解问题转化为求解复数代数方程问题。,2. 引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程，而直接列写相量形式的代数方程。,3. 引入阻抗以后，可将所有网络定理和方法都应用于交流，直流（f =0)是一个特例。,下 页,上 页,返 回,例1:,画出电路的相量模型,解,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,列写电路的回路电流方程和节点电压方程,例2.,解,回路法:,下 页,上 页,返 回,节点法:,下 页,上 页,返 回,方法一：电源变换,解,例3.,下 页,上 页,返 回,方法二：戴维南等效变换,求开路电压：,求等效电阻：,下 页,上 页,返 回,例4,求图示电路的戴维南等效电路。,解,求短路电流：,下 页,上 页,返 回,例5,用叠加定理计算电流,解,下 页,上 页,返 回,已知平衡电桥Z1=R1 , Z2=R2 , Z3=R3+jwL3。 求：Zx=Rx+jwLx。,平衡条件：Z1 Z3= Z2 Zx 得,R1(R3+jwL3)=R2(Rx+j wLx), Rx=R1R3 /R2 , Lx=L3 R1/R2,例6,解,|Z1|1 |Z3|3 = |Z2|2 |Zx|x,|Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|,1 +3 = 2 +x,下 页,上 页,返 回,已知：Z=10+j50W , Z1=400+j1000W。,例7,解,下 页,上 页,返 回,已知：U=115V , U1=55.4V , U2=80V , R1=32W , f=50Hz 求： 线圈的电阻R2和电感L2 。,方法、 画相量图分析。,例8,解,下 页,上 页,返 回,方法二、,其余步骤同解法一。,下 页,上 页,返 回,用相量图分析,例9,移相桥电路。当R2由0时，,解,当R2=0，q =180； 当R2 ，q =0。,a,b,b,下 页,上 页,返 回,例10,图示电路，,解,用相量图分析,下 页,上 页,返 回,例11,求RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。,解,应用三要素法：,用相量法求正弦稳态解,过渡过程与接入时刻有关,下 页,上 页,返 回,直接进入稳定状态,下 页,上 页,返 回,出现瞬时电流大于稳态电流现象,下 页,上 页,返 回,4.6 正弦稳态电路的功率,无源一端口网络吸收的功率( u, i 关联),1. 瞬时功率 (instantaneous power),第一种分解方法；,第二种分解方法。,下 页,上 页,返 回,第一种分解方法：, p有时为正, 有时为负； p0, 电路吸收功率； p0，电路发出功率；,UIcos 恒定分量。,UIcos (2 t )为正弦分量。,下 页,上 页,返 回,第二种分解方法：,UIcos (1-cos2 t)为不可逆分量。,UIsin sin2 t为可逆分量。, 能量在电源和一端口之间来回交换。,下 页,上 页,返 回,2.平均功率 (average power)P, =u-i：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。,cos ：功率因数。,P 的单位：W（瓦）,下 页,上 页,返 回,一般地 , 有 0cos1,X0, j 0 , 感性，,X0, j 0 , 容性，,cosj =0.5 (感性)， 则j =60o (电压领先电流60o)。,平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与 cos 有关，这是交流和直流的很大区别, 主要由于电压、电流存在相位差。,例,下 页,上 页,返 回,4. 视在功率S,反映电气设备的容量。,3. 无功功率 (reactive power) Q,单位：var (乏)。,Q0，表示网络吸收无功功率； Q0，表示网络发出无功功率。 Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件L、C的性质决定的,下 页,上 页,返 回,有功，无功，视在功率的关系：,有功功率: P=UIcosj 单位：W,无功功率: Q=UIsinj 单位：var,视在功率: S=UI 单位：VA,功率三角形,下 页,上 页,返 回,5. R、L、C元件的有功功率和无功功率,PR =UIcos =UIcos0 =UI=I2R=U2/R QR =UIsin =UIsin0 =0,PL=UIcos =UIcos90 =0 QL =UIsin =UIsin90 =UI=I2XL,PC=UIcos =UIcos(-90)=0 QC =UIsin =UIsin (-90)= -UI= I2XC,下 页,上 页,返 回,任意阻抗的功率计算：,PZ =UIcos =I2|Z|cos =I2R,QZ =UIsin =I2|Z|sin =I2X I2(XLXC)=QLQC,(发出无功),下 页,上 页,返 回,电感、电容的无功补偿作用,当L发出功率时，C刚好吸收功率，则与外电路交换功率为pL+pC。因此，L、C的无功具有互相补偿的作用。,下 页,上 页,返 回,电压、电流的有功分量和无功分量：,(以感性负载为例),下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,反映电源和负载之间交换能量的速率。,无功的物理意义:,例,下 页,上 页,返 回,交流电路功率的测量,单相功率表原理：,电流线圈中通电流i1=i；电压线圈串一大电阻R(RL)后，加上电压u，则电压线圈中的电流近似为i2u/R。,下 页,上 页,返 回,指针偏转角度(由M 确定)与P 成正比，由偏转角(校准后)即可测量平均功率P。,使用功率表应注意：,(1) 同名端：在负载u, i关联方向下，电流i从电流线圈“*”号端流入，电压u正端接电压线圈“*”号端，此时P表示负载吸收的功率。,(2) 量程：P 的量程= U 的量程 I 的量程cos (表的),测量时，P、U、I 均不能超量程。,下 页,上 页,返 回,例,三表法测线圈参数。,已知f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=30W。,解,方法一,下 页,上 页,返 回,方法二,又,方法三,下 页,上 页,返 回,已知：电动机 PD=1000W， U=220，f =50Hz，C =30F。 求负载电路的功率因数。,例,解,下 页,上 页,返 回,6. 功率因数提高,设备容量 S (额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。,P=UIcos=Scosj,cosj =1, P=S=75kW,cosj =0.7, P=0.7S=52.5kW,一般用户： 异步电机 空载 cosj =0.20.3 满载 cosj =0.70.85,日光灯 cosj =0.450.6,(1) 设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；,功率因数低带来的问题：,下 页,上 页,返 回,(2) 当输出相同的有功功率时，线路上电流大， I=P/(Ucos)，线路压降损耗大。,解决办法： （1）高压传输 （2）改进自身设备 （3）并联电容，提高功率因数 。,下 页,上 页,返 回,分析,并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。,特点：,下 页,上 页,返 回,并联电容的确定：,下 页,上 页,返 回,并联电容也可以用功率三角形确定：,从功率这个角度来看 :,并联电容后，电源向负载输送的有功UIL cos1=UI cos2不变，但是电源向负载输送的无功UIsin2UILsin1减少了，减少的这部分无功就由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到改善。,下 页,上 页,返 回,已知：f=50Hz, U=220V, P=10kW, cosj1=0.6，要使功率因数提高到0.9 , 求并联电容C，并联前后电路的总电流各为多大？,例,解,未并电容时：,并联电容后：,下 页,上 页,返 回,若要使功率因数从0.9再提高到0.95 , 试问还应增加多少并联电容，此时电路的总电流是多大？,解,显然功率因数提高后，线路上总电流减少，但继续提高功率因数所需电容很大，增加成本，总电流减小却不明显。因此一般将功率因数提高到0.9即可。,下 页,上 页,返 回,（2）能否用串联电容的方法来提高功率因数cosj ?,思考题,（1）是否并联电容越大，功率因数越高？,下 页,上 页,返 回,复功率,1. 复功率,定义：,复功率也可表示为：,下 页,上 页,返 回,（3）复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所 有支路吸收的复功率之和为零。即,2.结论,（1） 是复数，而不是相量，它不对应任意正弦量；,（2） 把P、Q、S联系在一起它的实部是平均功率，虚部 是 无功功率，模是视在功率；,下 页,上 页,返 回,电路如图，求各支路的复功率。,例,解一,下 页,上 页,返 回,解二,下 页,上 页,返 回,最大功率传输,Zi= Ri + jXi， ZL= RL + jXL,下 页,上 页,返 回,讨论正弦电流电路中负载获得最大功率Pmax的条件。,(1) ZL= RL + jXL可任意改变,(a) 先设RL不变，XL改变,显然，当Xi + XL=0，即XL =-Xi时，P获得最大值,(b) 再讨论RL改变时，P的最大值,当 RL= Ri 时，P获得最大值,综合(a)、(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：,ZL= Zi*,最佳匹配,下 页,上 页,返 回,(2) 若ZL= RL + jXL只允许XL改变,获得最大功率的条件是：Xi + XL=0，即 XL =-Xi,最大功率为,(3) 若ZL= RL为纯电阻,负载获得的功率为：,电路中的电流为：,模匹配,下 页,上 页,返 回,电路如图，求（1）RL=5时其消耗的功率； （2）RL=?能获得最大功率，并求最大功率； （3）在RL两端并联一电容，问RL和C为多大时能与内 阻抗最佳匹配，并求最大功率。,例,解,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,电路如图，求ZL=?时能获得最大功率，并求最大功率.,例,解,下 页,上 页,返 回,
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