直线与圆的动态问答教师版

专题25直线与圆的动态问题【考情分析】直线与圆一直是江苏近几年来高考中的热点问题，在近三年的高考中均有不少的体现，考察内容如下：年份试题知识点备注201317直线与圆、圆与圆的关系轨迹方程的思想转化为圆与圆有交点问题20149，17直线与圆相交弦长，直线与圆的方程的综合应用代数法解决直线与圆中最值问题201510直线与圆的位置关系函数的思想解决最值问题由上表不难看出，近几年的直线与圆是必考内容，而近三年的直线与圆考察内容相对较易，故在2016届高考中，很可能将会有一定的表现。而直线与圆的知识点难 度可以达到中档题，考察重难点之一即为直线与圆有关的动态问题。【备考策略】在2016年的备考中，直线与圆需要重点关注以下几个方面的问题：1、在求与弦长、弦中点有关的问题时，注意运用韦达定理，其中引进参数，设点 而不求点，简化运算，减少计算量是常见的方法。2、在解直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合的数学思想，尽可能 运用圆的几何性质使解法更简明快捷。3、利用方程有解、轨迹思想求最值与范围问题，转化与化归的思想，学生比较薄弱，加强这方面的训练。【激活思维】. . 2 21 .(必修2P115练习2)若直线ax by 1与圆x y 1相交，则点P(a,b)与圆的位置关系是 .1 2 2 解析：圆心(0,0)到直线ax by 1的距离d 1 ,整理得a2 b21,Ja2 b2即.a2 b21，则点P(a,b)在圆外.2 .(必修2 P129复习题22改编)设集合 M(x,y)|x2 y2 4 ,N(x,y)|(x 3)2(y 4)2 r2 (r0)，当M |N时，则实数r的取值范围是解析：Mp)N即圆x2 y24与圆(x3)2(y 4)2 r2有公共点或在(x3)2 (y 4)2r2内部，则有r3.3 .(必修2 P129复习题26改编)若x m1x2恰有一个实数根，则实数的取值范围是.解析：方程x m .1 x2恰有一个实数根即为直线y x m和曲线 y 訥 x2有且只有一个公共点，由图象位置关系可知m 1,1)口 J24. (2015年江苏高考卷第10题)在平面直角坐标系 xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx y 2m 10(m R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为:解析：(x 1)2 y22【典型示例】设集合 A (X, y) | mm (x 2)2 y2 m2,x,y R,B (x, y) |2m x y 2m 1, x, y R,若A B ,则实数m的取值范围是解法探究：1、把问题转化为直线与圆有交点求范围【分析一】本题从从题面上看是圆环与平面区域有交点，但通过对问题分析可以转. 2 2化为直线x y 2m 0或x y (2m 1)0与圆(x 2) y问题，通过对参数的分类讨论求范围m2有交点的m1【解法一】由A刊可知m巧，解得m 0或m亏1则有(1)当2m + 12，即m;时，圆心(2,0)到直线x + y = 2m + 1的距离为di =|2 2m 1|：2m|,化简得 2m2 4m +1 O,解得 1 m 11当 2m 22m + 1，即 m 1 时，A QBm?恒成立.+孑，所以1|2 2m| d2 =|m|,V2化简得 m2 4m + 20，解得 2 ; 2m 2 + ,2，所以 1 m 2，即m1时，圆心(2,0)到直线x + y= 2m的距离为18, 0 U ,+82m1【点评】本题先从由A工？可知m2莓，解得m r，此时不满足直线与圆相交，故舍去。圆c的方程为-_ (川)点B(0 ,2)关于直线x+y+2=0 的对称点为-，则,又三到圆上点Q的最短距离为。所以丹田也的最小值为M，直线肚的方程为亍，则直线眈与直4线x+y+2=0 的交点P的坐标为 -目标三：定点、定值与恒成立问题2 2例3 :如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆Ci: (x 1) y 1，圆C2: (x 3)2 (y 4)21若过点C1( 10)的直线I被圆C2截得的弦长为 求直线1的方程；设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长. 证明：动圆圆心 C在一条定直线上运动； 动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标;不经过，请说明理由.解 (i)设直线1的方程为y k(x 6 kx y k 0.因为直线丨被圆C2截得的弦长为5圆C2的半径为4k1,所以圆心2(3,4)到l : kxyk044的距离为k215.化简,2得 12k25k120,解得k号或k34.所以直线l的方程为4x3y40 或 3x 4y 3(2 )证明:设圆心 C(x,y),由题意，得CC1(x 1)22y(x3) (y4)2 .化简得x y30,0 .CC2 ,即动圆圆心C在定直线x y 3 0上运动.圆C过定点，设C(m, 3 m),贝U动圆 C22 2 1 CG1 (m 1)(3 m).(m 1)2(3 m)2.整理，得x20,6y所以定点的坐标为6y 2 2m(x y 1)0.1 2血，2_或2 3、2；23 .2 , 12 ，3 2,21 3 2,2 3 . 2.23 2, 2 3 Q .2 2于是动圆C的方程为(x m)2 (y 3 m)21一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由2 2变式3 :已知O O: x y 1和点M (4,2) .(1)过点M向O O引切线I ,求直线I的方程；(2)求以点M为圆心，且被直线y 2x 1截得的弦长为4的O M的方程；(3)设P为中O M上任一点，过点 P向O O引切线，切点为 Q.试探究:平面内是否存在一定点 R，使得 堕 为定值？若存在，请举出PR解: (1)设切线I方程为y 2 k(x 4)，易得|4： 2|1，解得k -19 0 对于 k R 恒成立，即 3k24 b20，所以，b24，即 2 b 2法二(轨迹思想法)设 P(x, y),由 PA=2 PB,得(x 4)2 y2 4(x 1)2 4y2 , 整理得x2 y2 4，则P在圆O： x2 y2 4，而P又在I上，所以I与圆O恒 有两个交点，圆心O到直线l的距离d 丿b| 2对于k R恒成立，则|b| 2k21而2kl的最小值为2，所以|b|0 ) 三点，M是线段AD上的动点，ht是过点B (1,0 )且互相垂直的两条直线，其 中h交y轴于点E, l2交圆C于P、Q两点.(I) 若t PQ 6，求直线J的方程；(II) 若t是使AM W2BM恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值.(I)由题意可知，圆 C的直径为AD，所以，圆C方程为：(x 3)2 (y 1)210 .24设 l2 方程为：y k(x 1)，则(2k ? 32 10，解得 佥 0, k2 -,1 k23当k 0时，直线h与y轴无交点，不合，舍去.所以，k 4此时直线l2的方程为4x 3y 43-1,即 2x ty 2t 0.24 2由 AM 2 B M，得(x -)2 (y3依题意知，线段AD与圆(X2 22-34-320-0至多有一个公共点，故98 813 3t| 2 516 10 33，解得t或t.4 t2311161110.3因为t是使AM 2BM恒成立的最小正整数，所以,2 2所以，圆C方程为：(x 2) (y 1)5(1)当直线12x 1时，直线li的方程为y 0,的斜率存在时，设丨2的方程为：y(2)当直线212点E(0,丄).所以,k的距离为4 k2 2k 41 k22 ；0)，则li的|k 1|1 k24k2 2k 4 4k2 2k 4 1 k2:k2(ii)设M (x, y),由点M在线段ad上，得-因为丄J 2所以，（SEPQ）min2 - 25、已知圆C：x 2 2y21(1 )求：过点P 3,m与圆C相切的切线方程；(2)若点Q是直线x y60上的动点，过点Q作圆C的切线QA,QB其中代B为切点，求:四边形QACB面积的最小值及此时点Q的坐标当m0时切线方程为x3当m0时设切线方程为y m kx 31 k1 mL 1 k2m切线方程为x 3或y m1 m3x2m SQACB2Sqac AC AQJCQ21故CQ最小时四边形面积最小，CQmin2 6|22SQACB的最小值为J7