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第三章 多维随机变量及其分布,3.1 二维随机变量,在很多实际问题中，需要考虑两个或两个以上的随机变量。 先看两个随机变量： 二维随机变量（X,Y)的性质不仅与X及Y 有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。,联合分布函数与边缘分布函数,1定义,设（X,Y)是二维随机变量，对任意的实数 x, y, 令 F(x, y)=PXx, Yy . 则称 F(x, y)为（X,Y）的联合分布函数。,分布函数的几何意义,(x, y),2F(x, y)的性质,性质1 对于x 和y, F(x, y)都是单调不减函数，即若x1 x2,对任意的实数y，则有 F(x1,y) F(x2, y)； 若y1y2,对任意的实数x，则有 F(x,y1) F(x,y2),性质2 对于任意的实数x, y , 均有 0 F(x, y ) 1,性质3 对于x 和y，F(x, y)都是右连续的，即对任意的实数x0和y0，均有,F(x, y)=F(x0 , y),F( x, y )=F(x, y0 ),性质4 若x1 x2, y1y2, 则 Px1X x2, y1Y y2 = F(x2, y2)F(x2 ,y1)F(x1,y2)+F(x1, y1),几何意义如下:,3边缘分布函数 记(X,Y )的分量X，Y 的分布函数分别为FX(x)和FY(y)称它们为X，Y 的边缘分布函数,4. 联合分布函数与边缘分布函数的关系,FX(x)=PX x=PX x,- Y+ =F(x,+ )，,FY (y)=PY y=P- X+,Y y =F(+, y),例1： 设,求 (X, Y )的边缘分布函数。,二维离散型随机变量及其 联合分布律,如果二维随机变量(X, Y)全部可能取到的不同的值是有限对或可列无限多对，则称(X, Y)是离散型的随机变量,设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能的取值为 (xi , yj), i，j=1,2,., 取这些值的概率为,联合分布律,pij = PX=xi,Y=yj i, j=1,2,称 上式为(X,Y)的联合分布律.,性质,(1) pij 0，i, j=1,2,(2),问：如何用表格表示(X, Y)分布情况？ 答:见书p56. 并且有例子.,二维连续型随机变量及其联合概率分布,定义 设二维随机变量(X , Y )的分布函数为F(x, y)。若存在非负函数f (x , y), 对任意实数x , y 有 则称(X , Y )为连续型二维随机变量，且称函数 f (x , y)为二维随机变量(X , Y )的联合密度函数，简称为联合密度或概率密度。,性质:,(1),(2),若f (x , y)在点(x , y)处连续，则,(3),(4) 设G是xOy平面上的一个区域，则有,在几何上z = f (x , y)表示空间的一张曲面。 由性质(2)知，介于该曲面和xy平面之间的空间区域的体积是1。 由性质(4)知, 的值等于以G为底，以曲面z = f (x , y)为顶的曲顶柱体的体积。,pi. = PX = x i , i=1, 2, p.j = PY = y j , j=1, 2, ,称上面两式分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律， 简称为(X,Y)的边缘分布律。,若(X,Y)为离散型随机变量, 则X,Y均为离散型 随机变量 。记分量X 和Y 的分布律分别为,二维离散型随机变量的边缘分布律,联合分布律与边缘分布律的关系,设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 pi j = PX = x i , Y = y i i , j=1,2,则,二维连续型随机变量的边缘密度函数,2. 若(X, Y)是二维连续型随机变量，其联合密度函数是f (x , y)，此时X 和Y也是连续型随机变量，分别称X 和Y 的概率密度函数fX(x)和fY(y)为(X, Y)关于X和Y 的边缘密度函数, 简称为边缘密度。且有,1. 若(X,Y)为连续型随机变量, 则X,Y均为连续型随机变量,(3) f (x, y)与 fX (x), fY (y)之间的关系,例2 设随机变量X 和Y 具有联合分布,求X 和Y 边缘密度 (我们分析被积函数在xy平面上不为0 的区域如下:),(1,1),x,y,例3 设(X,Y)的概率密度是,求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。,=5c/24=1,c =24/5,解：(1),(分析被积函数在xy平面上不为0 的区域),例3(续) 设(X,Y)的概率密度是,解: (2),求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .,例3(续) 设(X,Y)的概率密度是,解: (2),求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .,即,(4). 二维均匀分布,设D为平面上的有界区域, D的面积大于零. 若二维随机变量(X,Y)的联合密度为,则称(X,Y)在D上服从均匀分布,向平面上有界区域D上任投一质点，若质点落在D内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标（ X,Y）在D上服从均匀分布.,若二维随机变量（X,Y）具有概率密度,记作（ X,Y）N( ),设（ X,Y）N( )， 则有,XN( ),YN( ),为什么呢？ 见书 p64 例5.,作业,P53: 4, 6 P60: 3 P65:2, 5,
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