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第四章 随机变量的数字特征,第一节 数学期望,第二节 方差,第三节 协方差与相关系数,第四节 矩 协方差矩阵,第一节 数学期望,离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 二维随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质,如果知道了随机变量 X 的概率分布,那么 X 的全部概率特征也就知道了. 然而,在实际问题中,概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中,人们并不需要知道随机变量的一切概率性质,只要知道它的某些数字特征就够了, 例如分布的中心位置、分散程度等等. 因此,在对随机变量的研究中,确定某些数字特征是重要的.在这些数字特征中,最常用的是:,数学期望、方差、协方差和相关系数,一、离散型随机变量的数学期望,1、概念的引入：,例1: 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？,我们先观察小张100天的生产情况,若统计100天,32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品;,可以得到这100天中 每天的平均废品数为,(假定小张每天至多出现三件废品),这个数能否作为 X的平均值呢？,可以想象, 若另外统计100天, 车工小张不出废品, 出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同, 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.,n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.,可以得到n天中每天的平均废品数为:,(假定小张每天至多出三件废品),一般来说, 若统计n天 ,这是以频率为权的加权平均,当N很大时, 频率接近于概率, 所以我们在求废品数 X 的平均值时, 用概率代替频率, 得平均值为:,这是以概率为权的加权平均,这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X 的平均值 .,2. 定义: 设X是离散型随机变量, 它的分布律是: PX=xk=pk , k=1,2,请注意: 离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和. 数学期望简称期望, 又称为均值。,若级数,绝对收敛,则称级数,即:,的和为随机变量X的数学期望, 记为 E(X),(expectation or mean),例1:,1)0-1分布 b(1, p) 的数学期望,E(X) = p,2) 二项分布 b(n, p) 的数学期望,例2: 几个重要的离散型 r.v.的期望,3)泊松分布,一旅客8:20到车站, 求他候车时间的数学期望.,例3: 按规定, 某车站每天8:009:00和 9:0010:00 都恰有一辆客车到站, 但到站时刻是随机的, 且两者到站的时间相互独立。 其规律为：,二、连续型随机变量的数学期望,设X是连续型随机变量, 其密度函数为f (x), 在数轴上取很密的分点 x0 x1 x2 , 则X落在小区间 xi, xi+1) 的概率是:,小区间xi, xi+1),阴影面积近似为,由于xi与xi+1很接近, 所以区间 xi, xi+1) 中的值可以用 xi 来近似代替.,这正是:,的渐近和式.,该离散型r.v. 的数学期望是:,定义: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分:,绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即:,请注意: 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.,1) 均匀分布 U(a, b),例4: 几个重要的连续型 r.v.的期望,2) 指数分布 E(),3) 正态分布 N(, 2),三、二维随机变量的数学期望,则：,1. 设二维离散型随机变量 (X, Y) 的联合分布律为：,2. 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y), 则：,解:,例5: 设(X, Y)的联合密度为:,求 E(X).,四、随机变量的函数的数学期望,1. 问题的提出：,设已知随机变量X的分布, 我们需要计算的是X的某个函数 g(X)的期望, 那么应该如何计算呢？,一种方法是, 因为 g(X) 也是随机变量, 它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了 g(X) 的分布, 就可以按照期望的定义把 Eg(X) 计算出来.,使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布,一般是比较复杂的 .,(1) 当X为离散型时,它的分布律为P(X= xk)=pk,(2) 当X为连续型时,它的密度函数为 f(x), 若,2. 定理: 设Y是随机变量X的函数: Y=g(X) (g是连续函数),3. 上述定理还可以推广到两个或两个以上 随机变量的函数的情况。,例6,例7,五、数学期望的性质,1. 设C是常数，则E(C)=C;,4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);,3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);,(诸Xi相互独立时),请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立,Xb(n,p),若设,则: X= X1+X2+Xn,= np,i=1,2，n,因为: P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-p,所以: E(X)=,则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.,例8 求二项分布的数学期望,例9: 把数字1,2,n任意地排成一列, 如果数字k 恰好出现在第k个位置上, 则称为一个巧合, 求巧合个数的数学期望.,由于: E(Xk)=P(Xk =1),解: 设巧合个数为X,k=1,2, ,n,则:,故:,引入,例10: 一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车, 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X表示停车的次数, 求E(X). (设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立),按题意,本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于 随机变量数学期望的和来求数学期望的,此方法具有一定的意义.,作业,习题4-1 2(2); 3; 5; 7; 9; 14,
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