周世勋量子力学习题解答第七章习题

7.1.证明：证：由对易关系 及 反对易关系 ， 得 上式两边乘，得 7.2 求在自旋态中，和的测不准关系： 解：在表象中、的矩阵表示分别为 在态中 讨论：由、的对易关系 ， 要求 在态中， 可见式符合上式的要求。7.3.求的本征值和所属的本征函数。 解：的久期方程为 的本征值为。设对应于本征值的本征函数为 由本征方程 ，得由归一化条件 ，得即 对应于本征值的本征函数为 设对应于本征值的本征函数为 由本征方程 由归一化条件，得 即 对应于本征值的本征函数为 同理可求得的本征值为。其相应的本征函数分别为 7.4 求自旋角动量方向的投影 本征值和所属的本征函数。 在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？的平均值是多少？解：在 表象，的矩阵元为其相应的久期方程为 即 所以的本征值为。设对应于的本征函数的矩阵表示为，则由归一化条件，得 可见， 的可能值为 相应的几率为 同理可求得 对应于的本征函数为在此态中，的可能值为 相应的几率为 7.5设氢的状态是 求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值； 求总磁矩 的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。解：可改写成从的表达式中可看出的可能值为 0相应的几率为 的可能值为 相应的几率为 7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为，则体系可能的状态为7.7 证明和组成的正交归一系。解： =0同理可证其它的正交归一关系。7.8 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是。如果电子之间的库仑能和相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程 考虑到 ，令其中 ， 对于基态，对于沿方向的第一激发态， 两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即 和综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即独态： 三重态：