(全国通用版)2019高考数学二轮复习 专题二 数列 第3讲 数列的综合问题课件 文.ppt

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资源描述
第3讲数列的综合问题,专题二数列,板块三专题突破核心考点,考情考向分析,1.数列的综合问题,往往将数列与函数、不等式结合,探求数列中的最值或证明不等式. 2.以等差数列、等比数列为背景,利用函数观点探求参数的值或范围. 3.将数列与实际应用问题相结合,考查数学建模和数学应用能力.,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,1.数列an中,an与Sn的关系,热点一利用Sn,an的关系式求an,2.求数列通项的常用方法 (1)公式法:利用等差(比)数列求通项公式. (2)在已知数列an中,满足an1anf(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可用累加法求数列的通项an.,(3)在已知数列an中,满足 f(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可用累乘法求数列的通项an. (4)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列).,解答,例1已知等差数列an中,a22,a3a58,数列bn中,b12,其前n项和Sn满足:bn1Sn2(nN*). (1)求数列an,bn的通项公式;,解a22,a3a58, 2d23d8,d1,ann(nN*). bn1Sn2(nN*), bnSn12(nN*,n2). 由,得bn1bnSnSn1bn(nN*,n2), bn12bn(nN*,n2). b12,b22b1, bn是首项为2,公比为2的等比数列, bn2n(nN*).,解答,两式相减,得,给出Sn与an的递推关系,求an,常用思路:一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.,解答,跟踪演练1(2018绵阳诊断性考试)已知正项数列an的前n项和Sn满足:a1anS1Sn. (1)求数列an的通项公式;,解由已知a1anS1Sn,可得,由an是正项数列,故a12. 当n2时,由已知可得2an2Sn,2an12Sn1,,数列an是以2为首项,2为公比的等比数列, 故an2n. 数列an的通项公式为an2n(nN*).,解答,显然bn是等差数列,,热点二数列与函数、不等式的综合问题,数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出Sn的表达式,还有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体,考查最值问题,不等关系或恒成立问题.,解答,例2设fn(x)xx2xn1,x0,nN,n2. (1)求fn(2);,解由题设fn(x)12xnxn1, 所以fn(2)122(n1)2n2n2n1, 则2fn(2)2222(n1)2n1n2n, 由得,fn(2)12222n1n2n,所以fn(2)(n1)2n1.,证明,证明因为fn(0)10,,又fn(x)12xnxn10,,解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点 (1)数列是一类特殊的函数,函数定义域是正整数,在求数列最值或不等关系时要特别重视. (2)解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件. (3)不等关系证明中进行适当的放缩.,跟踪演练2(2018泉州质检)记数列an的前n 项和为Sn,已知1,an,Sn 成等差数列. (1)求an的通项公式;,解答,解由已知1,an,Sn成等差数列, 得2anSn1, 当n1 时,2a1S11,所以a11; 当n2时,2an1Sn11,,则数列an是以a11为首项,q2为公比的等比数列, 所以ana1qn112n12n1(nN*).,证明,所以b1b2bn,用数列知识解相关的实际问题,关键是合理建立数学模型数列模型,弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型,它的首项是什么,项数是多少,然后转化为解数列问题.求解时,要明确目标,即搞清是求和,还是求通项,还是解递推关系问题,所求结论对应的是解方程问题,还是解不等式问题,还是最值问题,然后进行合理推算,得出实际问题的结果.,热点三数列的实际应用,解答,例3科学研究证实,二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响,环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨,否则将采取紧急限排措施.已知A市2017年的碳排放总量为400万吨,通过技术改造和倡导低碳生活等措施,此后每年的碳排放总量比上一年的碳排放总量减少10%.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量m万吨(m0). (1)求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示);,解设2018年的碳排放总量为a1,2019年的碳排放总量为a2, 由已知,a14000.9m, a20.9(4000.9m)m 4000.920.9mm3241.9m.,解答,(2)若A市永远不需要采取紧急限排措施,求m的取值范围.,解a30.9(4000.920.9mm)m 4000.930.92m0.9mm, , an4000.9n0.9n1m0.9n2m0.9mm,(40010m)0.9n10m. 由已知nN*,an550, (1)当40010m0,即m40时,显然满足题意; (2)当40010m0,即m40时,,由指数函数的性质可得(40010m)0.910m550,解得m190. 综合得m40时, 由指数函数的性质可得10m550, 解得m55,综合得40m55. 综上可得所求m的范围是(0,55.,常见数列应用题模型的求解方法 (1)产值模型:原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间n的总产值yN(1p)n. (2)银行储蓄复利公式:按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期的利率为r,存期为n,则本利和ya(1r)n. (3)银行储蓄单利公式:利息按单利计算,本金为a元,每期的利率为r,存期为n,则本利和ya(1nr). (4)分期付款模型:a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b .,跟踪演练3(2018上海崇明区模拟)2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从 2017 年起,在今后的若干年内,每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元,并预测在相当长的年份里,每年的净收入均在上一年的基础上增长50%.记 2016 年为第 1 年,f(n)为第 1 年至此后第n(nN*)年的累计利润(注:含第n年,累计利润累计净收入累计投入,单位:千万元),且当f(n)为正值时,认为该项目赢利.,解答,(1)试求f(n)的表达式;,解由题意知,第1年至此后第n(nN*)年的累计投入为82(n1)2n6(千万元), 第1年至此后第n(nN*)年的累计净收入为,解答,(2)根据预测,该项目将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.,当n3时,f(n1)f(n)0, 故当n4时,f(n)递增.,该项目将从第8年开始并持续赢利. 答:该项目将从2023年开始并持续赢利.,x4.,从而当x1,4)时,f(x)0,f(x)单调递增.,该项目将从第8年开始并持续赢利. 答:该项目将从2023年开始并持续赢利.,真题押题精练,1.(2018全国)记Sn为数列an的前n项和.若Sn2an1,则S6_.,真题体验,解析,63,答案,解析Sn2an1,当n2时,Sn12an11, anSnSn12an2an1(n2), 即an2an1(n2). 当n1时,a1S12a11,得a11. 数列an是首项a11,公比q2的等比数列,,S612663.,2.(2017山东)已知xn是各项均为正数的等比数列,且x1x23,x3x22. (1)求数列xn的通项公式;,解答,解设数列xn的公比为q.,所以3q25q20, 由已知得q0, 所以q2,x11. 因此数列xn的通项公式为xn2n1(nN*).,(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),Pn1(xn1,n1)得到折线P1P2Pn1,求由该折线与直线y0,xx1,xxn1所围成的区域的面积Tn.,解答,解过P1,P2,Pn1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,Qn1. 由(1)得xn1xn2n2n12n1, 记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn,,所以Tnb1b2bn 321520721(2n1)2n3(2n1)2n2. 又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1, ,得 Tn321(2222n1)(2n1)2n1,押题预测,已知数列an的前n项和Sn满足关系式Snkan1,k为不等于0的常数. (1)试判断数列an是否为等比数列;,押题依据本题综合考查数列知识,考查反证法的数学方法及逻辑推理能力.,解答,押题依据,解若数列an是等比数列,则由n1得a1S1ka2,从而a2ka3. 又取n2,得a1a2S2ka3, 于是a10,显然矛盾,故数列an不是等比数列.,押题依据是高考的热点问题,即数列与不等式的完美结合,其中将求数列前n项和的常用方法“裂项相消法”与“错位相减法”结合在一起,考查了综合分析问题、解决问题的能力.,解答,押题依据,从而Snan1. 当n2时,由Sn1an,得anSnSn1an1an,,从而其前n项和Sn2n2(nN*). 由得bnn2,,记C2121220n2n2, 则2C2120221n2n1,,即n2n900,因为nN*且n1,故n9, 从而最小正整数n的值是10.,
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