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第3讲数列的综合问题,专题二数列,板块三专题突破核心考点,考情考向分析,1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式. 2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围. 3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力.,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,1.数列an中，an与Sn的关系,热点一利用Sn，an的关系式求an,2.求数列通项的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式. (2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.,(3)在已知数列an中，满足 f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an. (4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列).,解答,例1已知等差数列an中，a22，a3a58，数列bn中，b12，其前n项和Sn满足：bn1Sn2(nN*). (1)求数列an，bn的通项公式；,解a22，a3a58， 2d23d8，d1，ann(nN*). bn1Sn2(nN*)， bnSn12(nN*，n2). 由，得bn1bnSnSn1bn(nN*，n2)， bn12bn(nN*，n2). b12，b22b1， bn是首项为2，公比为2的等比数列， bn2n(nN*).,解答,两式相减，得,给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.,解答,跟踪演练1(2018绵阳诊断性考试)已知正项数列an的前n项和Sn满足：a1anS1Sn. (1)求数列an的通项公式；,解由已知a1anS1Sn，可得,由an是正项数列，故a12. 当n2时，由已知可得2an2Sn，2an12Sn1，,数列an是以2为首项，2为公比的等比数列， 故an2n. 数列an的通项公式为an2n(nN*).,解答,显然bn是等差数列，,热点二数列与函数、不等式的综合问题,数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题.,解答,例2设fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2. (1)求fn(2)；,解由题设fn(x)12xnxn1， 所以fn(2)122(n1)2n2n2n1， 则2fn(2)2222(n1)2n1n2n， 由得，fn(2)12222n1n2n,所以fn(2)(n1)2n1.,证明,证明因为fn(0)10，,又fn(x)12xnxn10，,解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点 (1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视. (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件. (3)不等关系证明中进行适当的放缩.,跟踪演练2(2018泉州质检)记数列an的前n 项和为Sn，已知1，an，Sn 成等差数列. (1)求an的通项公式；,解答,解由已知1，an，Sn成等差数列， 得2anSn1， 当n1 时，2a1S11，所以a11； 当n2时，2an1Sn11，,则数列an是以a11为首项，q2为公比的等比数列， 所以ana1qn112n12n1(nN*).,证明,所以b1b2bn,用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题.求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果.,热点三数列的实际应用,解答,例3科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施.已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放总量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨(m0). (1)求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)；,解设2018年的碳排放总量为a1,2019年的碳排放总量为a2， 由已知，a14000.9m， a20.9(4000.9m)m 4000.920.9mm3241.9m.,解答,(2)若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围.,解a30.9(4000.920.9mm)m 4000.930.92m0.9mm， ， an4000.9n0.9n1m0.9n2m0.9mm,(40010m)0.9n10m. 由已知nN*，an550， (1)当40010m0，即m40时，显然满足题意； (2)当40010m0，即m40时，,由指数函数的性质可得(40010m)0.910m550，解得m190. 综合得m40时， 由指数函数的性质可得10m550， 解得m55，综合得40m55. 综上可得所求m的范围是(0，55.,常见数列应用题模型的求解方法 (1)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值yN(1p)n. (2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和ya(1r)n. (3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和ya(1nr). (4)分期付款模型：a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则b .,跟踪演练3(2018上海崇明区模拟)2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%.记 2016 年为第 1 年，f(n)为第 1 年至此后第n(nN*)年的累计利润(注：含第n年，累计利润累计净收入累计投入，单位：千万元)，且当f(n)为正值时，认为该项目赢利.,解答,(1)试求f(n)的表达式；,解由题意知，第1年至此后第n(nN*)年的累计投入为82(n1)2n6(千万元)， 第1年至此后第n(nN*)年的累计净收入为,解答,(2)根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.,当n3时，f(n1)f(n)0， 故当n4时，f(n)递增.,该项目将从第8年开始并持续赢利. 答：该项目将从2023年开始并持续赢利.,x4.,从而当x1,4)时，f(x)0，f(x)单调递增.,该项目将从第8年开始并持续赢利. 答：该项目将从2023年开始并持续赢利.,真题押题精练,1.(2018全国)记Sn为数列an的前n项和.若Sn2an1，则S6_.,真题体验,解析,63,答案,解析Sn2an1，当n2时，Sn12an11， anSnSn12an2an1(n2)， 即an2an1(n2). 当n1时，a1S12a11，得a11. 数列an是首项a11，公比q2的等比数列，,S612663.,2.(2017山东)已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1x23，x3x22. (1)求数列xn的通项公式；,解答,解设数列xn的公比为q.,所以3q25q20， 由已知得q0， 所以q2，x11. 因此数列xn的通项公式为xn2n1(nN*).,(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，Pn1(xn1，n1)得到折线P1P2Pn1，求由该折线与直线y0，xx1，xxn1所围成的区域的面积Tn.,解答,解过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Qn1. 由(1)得xn1xn2n2n12n1， 记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn，,所以Tnb1b2bn 321520721(2n1)2n3(2n1)2n2. 又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1， ,得 Tn321(2222n1)(2n1)2n1,押题预测,已知数列an的前n项和Sn满足关系式Snkan1，k为不等于0的常数. (1)试判断数列an是否为等比数列；,押题依据本题综合考查数列知识，考查反证法的数学方法及逻辑推理能力.,解答,押题依据,解若数列an是等比数列，则由n1得a1S1ka2，从而a2ka3. 又取n2，得a1a2S2ka3， 于是a10，显然矛盾，故数列an不是等比数列.,押题依据是高考的热点问题，即数列与不等式的完美结合，其中将求数列前n项和的常用方法“裂项相消法”与“错位相减法”结合在一起，考查了综合分析问题、解决问题的能力.,解答,押题依据,从而Snan1. 当n2时，由Sn1an，得anSnSn1an1an，,从而其前n项和Sn2n2(nN*). 由得bnn2，,记C2121220n2n2， 则2C2120221n2n1，,即n2n900，因为nN*且n1，故n9， 从而最小正整数n的值是10.,
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