2015年考研数学一真题与解析

2015年考研数学一真题、选择题18小题每小题4分，共32分血)一图1.设函数/(兀)在(一呵+Q上连续，其二阶导数广(兀)的图形如右所示，则曲线y=/(x)在(-8,+8)的拐点个数为(A)0(B)1(C)2(D)3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在.从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不在的点X=0但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二导数都是正的，所以对应的点不是拐点.而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选(C)2设y=1e2X+(X一3)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y+ayf+by=cex的一个特解，则(A)a=3,b=2,c=1(B)a=3,b=2,c=一1(C)a=3,b=2,c=1(D)a=3,b=2,c=1【详解】线性微分方程的特征方程为尸2+ar+b=0，由特解可知r=2一定是特征方程的一个实根.如果R=112不是特征方程的实根，则对应于/(X)=cex的特解的形式应该为Q(x)ex，其中Q(x)应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以r=1也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得2a=(2+1)=3=2=1，同时y*=xex是原来方程的一个解，代入可得c=1应该选(A)3.若级数刀a条件收敛，则x=3,x=3依次为级数刀na(x-1)的nnn=1n=1(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点数刀aXn在X=1处条件收敛,也就是这个幕级数的收敛为1,(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点【详解】注意条件级数刀a条件收敛等价于幕级nnn=1n=1即limmgan+1an=1，所以na(x1)n的收敛半径R=lim1nmgn=1na(n+1)an+1=1，绝对收敛域为(0,2)，显然x=,x=3依次为收敛点、发散点，应该选(B)4.设D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=仏所围成的平面区域，函数/(x,y)在d上连续，则HF(x,y)dxdy=()D(A)J3del為f(rcos0,rsin0)rdr:142sin20(C)J3d0jf(rcos0,rsin0)dr4详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程12sin20也就是D：*:Q:04311,r=、寸2sin20Jsin20(B)J:d0f(rcos0,rsin0)rdr42sin20(D)J：dejf(rcos0,rsin0)dr2sin20所以f(x,y)dxdy=J；d0Jsin云f(rcos0,rsin0)rdr,所以应该D选(B)(lll、(l)5.设矩阵A=l2a,b=djl4a2丿&2丿是:142sin20，若集合G=l,2,则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件(A)aeO,d纟。(b)a,deQ(C)aeQ,deQ(d)aeQ,deQ【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：方程组无穷解的充分必要条件是r(A)=r(A,b)J0-l0丿C)2y2一y2一y2l23(D)2y2+y2+y2l23故选择(A)7若A,B为任意两个随机事件，则()0、(l00、(l00、l=P00l，QT=00-lPT0J0-J0J0l0(l00、(2(l00、(2、00-ll00l=-lJ0l0JJJ0-l0丿jl(l0(A)P(AB)P(A)P(B)(C)P(AB)P(A)+P(B)2【详解】P(A)P(AB),P(B)P(AB),所以P(AB)P(A)+P(B)2故选择(C).8设随机变量X,Y不相关，且EX=2,EY=1,DX=3，则E(X(X+Y一2)=()(A)-3(B)3(C)-5(D)5【详解】E(X(X+Y-2)=E(X2)+E(XY)-2EX=DX+(EX)2+EXEY-2EX=5故应该选择(D).二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)ln(cosx)9.limxtO【详解】ln(cosx)-tanx1lim=limxtOx2xt02x10.sinxJ2+x一弈11+cosx2sinx【详解】只要注意E为奇函数在对称区间上积分为零,sinx所以卜(J2+x一戛11+cosx211.若函数z=z(x,y)是由方程ez+xyz+x+cosx=2确定，则dzI(o,i)【详解】设F(x,y,z)=ez+xyz+x+cosx一2，则且当x=%=1时，=o，所以舟hi厂F(0=-畤h厂F(0=o,zz也就得到血I0,1)=-dx.12.设Q是由平面x+y+z=1和三个坐标面围成的空间区域，则iff(x+2y+3z)dxdydz=.Q【详解】注意在积分区域内，三个变量x,y,z具有轮换对称性，也就是2102002213.n阶行列式00220012【详解】按照第一行展开,得D=2D+(_1)+12(-1”1=2D+2，有D+2=2(D+2)nn-1n-1nn1由于D=2,D=6，得D=2n-1(D+2)2=2n+i2.12n114.设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0)，则PXY一YV0=.【详解】由于相关系数等于零，所以X，Y都服从正态分布，XN(1,1),YN(0,1)，且相互独立.则X1N(0,1).三、解答题15.(本题满分10分)设函数f(X)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx3在xT0时为等价无穷小，求常数a,b,k的取值.【详解】当xT0时，把函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx展开到三阶的马克劳林公式，得1+a=0a由于当xT0时，f(x),g(x)是等价无穷小，则有2+b=0,130解得,16(本题满分10分)设函数J=f(x)在定义域/上的导数大于零，若对任意的x0W/，曲线J=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线与直线x=x及x轴所围成区域的面积恒为4,且f(0)=2，求f(x)的表达式.0【详解】J=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为J=门x0)(x一x0)+f(x0)f(x)fr(x)0由于f(0)=2，得c=2曲线J=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积为整理，得J=8j2，解方程，得丄=c8x,8J8所求曲线方程为y=4一x17(本题满分10分)设函数f(x,y)=x+y+xy，曲线C:x2+y2+xy=3，求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数.僅，|卜(1+丽+x)【详解】显然鲁=1+y,鲁=1+xf(x,y)=x+y+xy在(x,y)处的梯度gradf=f(x,y)在(x,y)处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模Igradf=J(1+y)2+(1+x)2所以此题转化为求函数F(x,y)=(1+x)2+(1+y)2在条件C:x2+y2+xy=3下的条件极值.用拉格朗日乘子法求解如下：令L(x,y,九)=(1+x)2+(1+y)2+九(x2+y2+xy-3)解方程组F=2(1+x)+2x九+y九-0xF=2(1+y)+2必+兀九=0，得几个可能的极值点-1,-1),(2,-1),(-1,2)，yx2+y2+xy=3进行比较，可得，在点x=2,y=-1或x=-1,y=2处，方向导数取到最大，为=318. (本题满分10分)(1) 设函数u(x),v(x)都可导，利用导数定义证明(u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)vf(x)；(2) 设函数u(x),u(x),u(x)都可导，f(x)=u(x)u(x)u(x)，写出f(x)的求导公式.12n12n【详解】(1)证明：设y-u(x)v(x)由导数的定义和可导与连续的关系(2)f(x)-u(x)u(x)u(x)12n19. (本题满分10分)已知曲线L的方程为-J2一x2一y2，起点为a(o,Qo)，终点为B(0,J2,0)，计算曲线积分z=xJ(y+z)dx+(z2一x2+y)dy+(x2+y2)dz.Lx=cost【详解】曲线l的参数方程为=J2sint,z=cost起点A(0,$2,0)对应t=，终点为(0,J2,0)对应t=-220(本题满分11分)设向量组ai,a2,a3为向量空间R3的一组基，01=2ai+哼,02=2a2，03=a3+(k+叫(1)证明：向量组0,0,0为向量空间R3的一组基;123(2)当k为何值时，存在非零向量g，使得g在基a,a,a和基卩,卩，卩下的坐标相同，并求出所有的非零123123详解】1)(0,卩，P)=(a23I,a,a)112320121020=22kk+12k0k+1因为=4丰0，且a，a，a3显然线性无关，所以01，02，03是线性无关的，当然是向量空间斤3的一组基.(2)设非零向量g在两组基下的坐标都是(x,x,x)，123则由条件可整理得：x(a+2ka)+xa+x(a+ka)=0，11322313(a+2ka,a,a+ka)x=0存在非零解.13213从而系数行列式应该等于零，也就是102k由于ai,a2,a3显然线性无关，所以此时方程组化为(a,a,a)121(x)1x=(x2Ix丿3所以条件转化为线性方程组=0，也就是k=0.)a+xa=0，3122由于ai,a2线性无关，所以(x(C、1x=02Ix丿-C丿，其中C为任意常数.所以满足条件的g=x+x=01 3，通解为x=02(C、0其中C为任意不为零的常数.、一C丿21.(本题满分11分)(02-3(1-20设矩阵A=-13-3相似于矩阵B=0b0(31丿（1）求a,b的值；（2）求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵.【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有A=trB,A=B也就是彳bOVa=4b=5*入-120九一5(2)由九EB=03+a=242a-3=b00九一1=（九一1）2（九一5）=0，得A,B的特征值都为九=九=1,九=5123(2-3-1、(100、101，则P-1AP=010(011(00丿322（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为f（X）=解方程组（E-A）x=0，得矩阵A的属于特征值九=九=1的线性无关的特征向量为=1=00、0,x0对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为次数.求Y的分布函数；（1）求Y的概率分布；（2）求数学期望EY.【详解】（1）X进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为显然Y的可能取值为2,3,4,丫l1-x丿x2(2)设S(x)=另n(n-1)xn-2=刀(xn)=(刀xnn=2n=2n=223（本题满分11分）设总体X的概率密度为其中0为未知参数，X,X,X是来自总体的简单样本.12n（1）求参数0的矩估计量；.（2）求参数0的最大似然估计量【详解】（1）总体的数学期望为八令E（X）=X，解得参数0的矩估计量：0=2X一1.（2）似然函数为显然L（）是关于0的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使0尽可能大就可以，所以参数0的最大似然估计量为0=min（x,x,x）.12n