资源描述
1.7定积分的简单应用,第一章导数及其应用,学习目标,1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积. 2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题.学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一定积分在几何中的应用,思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ 答案求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可.,梳理(1)当xa，b时，若f(x)0，由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积S . (2)当xa，b时，若f(x)g(x)0，由直线xa，xb (ab)和曲线yf(x)，yg(x)所围成的平面图形的面积S .(如图),知识点二变速直线运动的路程,思考变速直线运动的路程和位移相同吗？ 答案不同.路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念.,梳理(1)当v(t)0时，求某一时间段内的路程和位移均用 dt求解. (2)当v(t)0时，求某一时间段内的位移用 dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为 dt. 做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即 .,知识点三变力做功问题,思考恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为WFs，那么变力做功问题怎样解决？,梳理如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(ab)，那么变力F(x)所做的功为 .,2.在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为正.() 3.在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向.(),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一利用定积分求面积,解析,答案,因此，所求图形的面积为 SS曲边梯形OABCS曲边梯形OABD,反思与感悟求由曲线围成图形面积的一般步骤 (1)根据题意画出图形. (2)找出范围，确定积分上、下限. (3)确定被积函数. (4)将面积用定积分表示. (5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果.,解答,跟踪训练1求由抛物线yx24与直线yx2所围成的图形的面积.,所以直线yx2与抛物线yx24的交点坐标为(3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S，,解答,解画出图形，如图所示.,得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)，,反思与感悟两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较烦琐，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限.,解答,跟踪训练2求由曲线yx2，直线y2x和yx所围成的图形的面积.,类型二定积分在物理中的应用,例3一点在直线上从时刻t0 s开始以速度vt24t3(v的单位：m/s)运动，求： (1)该点在t4 s时的位置；,解答,解答,(2)该点前4 s走过的路程.,反思与感悟(1)求变速直线运动的物体的路程(位移)方法 用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v(t)在时间区间内是否为正值，若v(t)0，则运动物体的路程为s v(t)dt；若v(t)0，则运动物体的路程为s |v(t)|dt v(t)dt；,注意路程与位移的区别.,(2)求变力做功的方法步骤 首先要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移； 利用变力做功的公式W F(x)dx计算； 注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳.,解析,跟踪训练3一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比.若20 N的力能使弹簧伸长3 cm，则把弹簧从平衡位置拉长13 cm (在弹性限度内)时所做的功W为,答案,解析设拉伸弹簧所用的力为F N，弹簧伸长的长度为x m，则Fkx.,达标检测,1,2,3,4,5,解析,答案,1.由曲线yx2与直线y2x所围成的平面图形的面积为,解析如图，画出曲线yx2和直线y2x的图象， 则所求面积S为图中阴影部分的面积.,所以A(2,4)，O(0,0).,1,2,3,4,5,2.一物体在力F(x)3x22x5(力的单位：N，位移单位：m)的作用下沿与力F(x)相同的方向由x5 m运动到x10 m，则F(x)做的功为 A.925 J B.850 J C.825 J D.800 J,解析依题意F(x)做的功是,1,2,3,4,5,解析,答案,1,2,3,4,5,解析,答案,1ln 2,所以围成的封闭图形的面积S1等于四边形ABCD的面积减去S2的面积，即S11ln 2.,答案,解析,1,2,3,4,5,4.一辆汽车的速度时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为_ m.,900,1,2,3,4,5,解析由速度时间曲线得,所以汽车在1分钟内行驶的路程为,150750900 m.,解答,1,2,3,4,5,5.求由抛物线yx21，直线x2，y0所围成的图形的面积.,解作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积. 由x210，得抛物线与x轴的交点坐标是(1,0)和(1,0)， 因此所求图形的面积为,1,2,3,4,5,对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标； (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差. 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了.注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.,规律与方法,
展开阅读全文