现代测试技术习题解答--第二章--信号的描述与分析

现代测试技术习题解答第二章 信号的描述与分析补充题2-1-1 求正弦信号的均值、均方值和概率密度函数p(x)。解答：(1)，式中正弦信号周期(2)(3)在一个周期内x(t)正弦信号xx+xttt2-8 求余弦信号的绝对均值和均方根值。2-1 求图示2.36所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。2-4周期性三角波信号如图2.37所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。2-1 求图示2.36所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。补充题2-1-2 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|和n图，并与表1-1对比。图1-4 周期方波信号波形图0tx(t)A-A解答：在一个周期的表达式为积分区间取（-T/2，T/2）所以复指数函数形式的傅里叶级数为，。没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。|cn|n/2-/200305030502A/2A/32A/5幅频图相频图周期方波复指数函数形式频谱图2A/52A/32A/-0-30-50-0-30-502-5 求指数函数的频谱。解：单边指数衰减信号频谱图f|X(f)|A/a0(f)f0/2-/22-6 求被截断的余弦函数(见图1-26)的傅里叶变换。图1-26 被截断的余弦函数ttT-TT-Tx(t)w(t)1001-1解：w(t)为矩形脉冲信号所以根据频移特性和叠加性得：可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。fX(f)Tf0-f0被截断的余弦函数频谱2-6求被截断的余弦函数cos0t（题图1-2）的傅立叶变换。解2-7 求指数衰减信号的频谱指数衰减信号x(t)解： 所以单边指数衰减信号的频谱密度函数为根据频移特性和叠加性得：00X()-()指数衰减信号的频谱图2-9 求h(t)的自相关函数。解：这是一种能量有限的确定性信号，所以2-10 求方波和正弦波（见图5-24）的互相关函数。ty(t)tx(t)1-11T-1图5-24 题5-3图sin(wt)00解法1：按方波分段积分直接计算。解法2：将方波y(t)展开成三角级数，其基波与x(t)同频相关，而三次以上谐波与x(t)不同频不相关，不必计算，所以只需计算y(t)的基波与x(t)的互相关函数即可。所以解法3：直接按Rxy(t)定义式计算(参看下图)。ty(t)tx(t)1-11T-1sin(wt)00ty(t+t)1-10tTT参考上图可以算出图中方波y(t)的自相关函数tRy(t)0方波的自相关函数图TT/22-11 某一系统的输人信号为x(t)（见图5-25），若输出y(t)与输入x(t)相同，输入的自相关函数Rx(t)和输入输出的互相关函数Rx(t)之间的关系为Rx(t)=Rxy(t+T)，试说明该系统起什么作用？tRx(t)0TRxy(t)0系 统x(t)y(t)图5-25 题5-4图t解：因为Rx(t)=Rxy(t+T)所以所以x(t+t)=y(t+t+T)令t1 = t+t+T，代入上式得x(t1 - T)=y(t1)，即y(t) = x(t - T)结果说明了该系统将输入信号不失真地延迟了T时间。2-12 已知信号的自相关函数为Acoswt，请确定该信号的均方值yx2和均方根值xrms。解：Rx(t)=Acoswtyx2= Rx(0)=A2-13已知某信号的自相关函数，求均方值 、和均方根值。2-14已知某信号的自相关函数，求信号的均值、均方根值 、功率谱。2-15已知某信号的自相关函数，求信号的自功率谱。解：采样序列x(n)2-18 对三个正弦信号x1(t)=cos2pt、x2(t)=cos6pt、x3(t)=cos10pt进行采样，采样频率fs=4Hz，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出x1(t)、x2(t)、x3(t)的波形及采样点位置，并解释频率混叠现象。采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，x1(t)x2(t)x3(t)ttt从计算结果和波形图上的采样点可以看出，虽然三个信号频率不同，但采样后输出的三个脉冲序列却是相同的，这三个脉冲序列反映不出三个信号的频率区别，造成了频率混叠。原因就是对x2(t)、x3(t)来说，采样频率不满足采样定理。2- 19假定有一个信号x(t)，它由两个频率、相角均不相等的余弦函数叠加而成，其数学表达式为 x(t)=A1cos(w1t+j1)+ A2cos(w2t+j2) 求该信号的自相关函数。解：设x1(t)=A1cos(w1t+j1)；x2(t)= A2cos(w2t+j2)，则因为w1w2，所以，。又因为x1(t)和x2(t)为周期信号，所以同理可求得所以2-20 试根据一个信号的自相关函数图形，讨论如何确定该信号中的常值分量和周期成分。解：设信号x(t)的均值为mx，x1(t)是x(t)减去均值后的分量，则x(t) = mx + x1(t)如果x1(t)不含周期分量，则，所以此时；如果x(t)含周期分量，则Rx(t)中必含有同频率的周期分量；如果x(t)含幅值为x0的简谐周期分量，则Rx(t)中必含有同频率的简谐周期分量，且该简谐周期分量的幅值为x02/2；根据以上分析结论，便可由自相关函数图中确定均值（即常值分量）和周期分量的周期及幅值，参见下面的图。例如：如果，则。自相关函数的性质图示tRx(t)0mx2mx2+ sx2mx2- sx2t0Rx(t)含有简谐周期分量的自相关函数的图 13