可化为一元二次方程的分式方程

可化为一元二次方程的分式方程【学习目标】1掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母或换元法求方程的解，并会验根2会列出可化为一元二次方程的分式方程解应用题【主体知识归纳】1找最简公分母，一般要把各分母分解因式，找出各分母的公因式和公倍式，确定最简公分母2用最简公分母乘方程两边时，不要漏乘任一项，特别是整数或整式项3解分式方程时，用各分式的最简公分母去乘方程的两边，约去分母，化为整式方程，这样得到的整式方程的解有时与原方程的解相同，但也有时与原方程的解不同，或者说产生了不适合原分式方程的解，因此，解分式方程时必须要进行检验【基础知识讲解】1解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想是：把分式方程“转化”为整式方程2解分式方程的方法：(1)去分母法；(2)换元法3用去分母法解分式方程的具体步骤是：(1)把方程两边都乘以最简公分母，约去分母；(2)解所得的整式方程；(3)验根4用换元法解分式方程的具体步骤是：(1)观察、分析方程的特点，探索换元的途径；(2)设辅助未知数；(3)用辅助未知数的代数式表示原方程中另外含有未知数的式子，把原方程化为只含有辅助未知数的方程；(4)解含有辅助未知数的方程，求出辅助未知数的值；(5)把辅助未知数的值代入原设辅助未知数的方程，求出原未知数的值；(6)验根，作答5列可化为一元二次方程的分式方程解应用题的步骤是：(1)审清题意；(2)设未知数；(3)根据题意找相等关系，并列出分式方程；(4)解方程；(5)检验根是否是原分式方程的根；(6)检验所得的根是否符合实际问题的题意；(7)写出答案 【例题精讲】例1：解方程2剖析：要先把方程的各个分式的分母能分解的都分解，以便找出最简公分母解：原方程就是2方程两边都乘以(1x)(1x)，约去分母，得1x(3xx2)2(1x)(1x)整理后，得3x22x10，解这个方程，得x11，x2检验：把x1代入(1x)(1x)，它等于0，所以x1是增根；把x代入(1x)(1x)，它不等于0，所以x是原方程的根原方程的根是x说明：(1)为确定最简公分母，首先要将分式方程中能分解因式的分母进行分解因式(2)方程两边都乘以(1x)(1x)时，整数2这一项一定不要漏乘，否则就错了例2：解方程剖析：去分母法是解分式方程的通用方法，但有些方程用此法时，解题过程很繁，如本题会出现五次方程，通过观察、分析知，原方程可变形为方程左右两边的两个分式中的与互为倒数，根据这一特点，可以用换元法来解解：原方程可化为设y，那么，于是原方程可变形为2y5方程的两边都乘以y，约去分母，得2y25y20解这个方程，得y12，y2当y2时，2，去分母，整理，得2x23x30324239240，此方程没有实数根当y时，去分母，整理，得x23x0，解得，x10，x23检验：把x10，x23分别代入原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根原方程的根是x10，x23说明：将根代入原方程的分母，各分母都不等于0，说明是原方程的根，这里有一个前提条件是：在解方程的过程中必须变形正确，计算无误如果不是这样，即使不是原方程的根，也可能使分母不等于0因此，要认真解题，保证解得的根准确，这样验根才有意义例3:电冰箱压缩机厂接受一批4800台的无氟压缩机的订单，为了提前2天完成任务，必须把生产效率提高问提高效率后，每天应生产多少台无氟压缩机?解：设按原定天数，每天生产x台，那么提高效率后，每天生产(1）x台根据题意，得)2方程两边同乘以x，得480048002x整理，得8x4800解得x600经检验，x600是所列方程的根并适合原题意（1）x600800答：提高效率后，每天应生产800台无氟压缩机例4:电冰箱压缩机厂接受一批4800台的无氟压缩机的订单，为了提前2天完成任务，需每天比原来多生产200台原定每天生产多少台?解：设原定每天生产x台根据题意，得2方程两边同乘以x（x200），得4800（x200）4800x2x（x200），整理，得x2200x4800000，解得x1600，x2800经检验，x600和x800都是所列分式方程的根，但x800不合题意，舍去答：原定每天生产600台说明：例3、例4为同一事情所编出的两道应用题，仅已知条件有一点差别若要提前完成订单任务，需每天比原来多生产才行例3已知比原来提高效率，例4已知比原来每天多生产200台，在所列未知数x表示的量完全相同的前提下，都由题意列得一个分式方程，但转化为整式方程后，例3得到一元一次方程，例4却得到一元二次方程这一差别主要是因为例3的分式方程去分母时同乘以的公分母是一次式x，且原方程各分子均不含x，例4的分式方程去分母时同乘以的公分母本身就是x（x200)因为所列的都是分式方程，故首先检验是否有增根，再对分式方程的根检验是否符合应用题的题意，最后作答例5：A、B两码头相距48千米，一轮船从A码头顺水航行到B码头后，立即逆水航行返回到A码头，共用了5小时；已知水流速度为4千米/时，求轮船在静水中的速度剖析：(1)顺水速度：v顺v船v水，逆水速度：v逆v船v水(2)等量关系：轮船顺流航行时间与轮船逆流航行时间之和等于5小时，根据题意，可以列出方程解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得5方程的两边都乘以(x4)(x4)，约去分母，整理得5x296x800解这个方程，得x120，x2经检验，x120，x2都是原方程的根，但速度为负数不合题意，所以只取x20答：轮船在静水中的速度为20千米/时【同步达纲练习】1选择题(1)方程1的解为（ ）A0B1C2D1或2(2)方程x5的实数根的个数是( )A1B2C3D以上均不对(3)方程x3的解为( )A3和B3C1和6D (4)用换元法解方程6(x2)5（x）380，设yx，则方程变为( )A6y25y380 B6y25y400C6y25y260D6y25y500(5)若分式方程有解，则k的取值范围是( )Ak0Bk0Ck1且k2Dk1且k2(6)甲、乙二人分别从相距s千米的两地同时出发，若同向而行，则t1小时后，快者追上慢者；若相向而行，则t2小时后，两人相遇那么快者的速度是慢者速度的( )A倍B倍C倍D倍(7)甲、乙两队学生共同绿化校园，乙队先单独工作1天后，再由两队合作2天就完成了全部任务已知甲队单独完成工作所需的天数是乙队单独完成所需天数的那么甲、乙两队单独完成这项工作所需天数分别是( )A6，9 B4，6 C2，3 D8，12(8)一列火车已晚点6分，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可正点运行若设这列火车原来行驶的速度是x千米/时，那么解决这个问题所列的方程是（ ）A6B C 6D (9)一小船顺流24千米到达目的地，然后逆流返回出发点，航行共用时3小时30分钟，小船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为3千米/时则所列方程是（ ）A32B 3C 3 D 32填空题（1）方程2有一个根为1，则a的值为_（2）北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1小时如果设该列车提速前的速度为每小时x千米，那么为求x列出的方程为_3解下列方程（1）1；（2）；（3）；（4）；（5）(x)2（x）50；（6）x2204解关于x的方程（1）xm；（2）6；（3)xm；（4） (ab0)；（5）（b0）5解下列方程（1）（）2（）40；（2）20；（3）2xx260；（4）x22x2；（5）3（x2）5（x）20；（6）4（x2）5（x）1406列方程解应用题(1)人数相等的甲、乙两组工人，在一天中甲组工人全部出勤加工零件100个，乙组缺勤2人，加工零件64个，在另一天中，甲组工人缺勤2人，乙组工人全部出勤，则甲、乙两组工人加工零件数量相等，求每组有多少工人？(2)一小船由A港顺流需行6小时到B港，由B港到A港逆流需行8小时一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉在水中，立即返回，一小时后找到救生圈问从丢掉救生圈到找到救生圈共用了多少时间?(3)为适应西部大开发的需要，经科学论证，铁道部决定自2000年10月1起兰新全线再次提速兰新线全长约为1800千米，若将此段的货车运行时间缩短6小时，车速平均每小时提高10千米，求提速前后货车运行的速度各是多少?(4)华联商厦进货员在苏州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进所有衬衫，还急需以上2倍数量这种衬衫，经人介绍又在上海用176000元购进所需衬衫，只是单价比苏州贵4元，商厦按每件58元销售，销路很好，最后剩下的150件按八折销售，很快售完问商厦这笔生意盈利多少?(5)某顾客第一次在商店买若干件小商品花去5元，第二次再去买该小商品时，发现每一打(12件)降价08元，他比第一次多买了10件，这样，第二次花去2元，且第二次买的小商品恰好成打问他第一次买的小商品是多少件?(6)某工程，若甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天；若甲、乙两队合作，6天可以完成求两队单独完成这项工程各需多少天？若这项工程由甲、乙两队合作6天完成后，付给他们50000元报酬，两队商定按各自完成的工作量分配这笔钱，问甲、乙两队各得多少元？【思路拓展题】你知道买哪种合算吗？某种冰淇淋是用球型塑料壳包装的，有60克装和150克装两种规格假设冰淇淋售价(冰淇淋成本包装成本)(1利润率)，并且，包装成本与球型外壳表面积成正比已知60克装冰淇淋售价15元，其中冰淇淋成本为每克1分，利润率为25问在利润率不变的情况下，150克装冰淇淋应售价多少?两种规格中，买哪种比较合算?(参考数据271)参考答案【同步达纲练习】1(1)C (2)A (3)A (4)D (5)C (6)D (7)B (8)B (9)C2(1)3 (2) 13(1)x2；（2）x10，x2；(3)x120，x224；（4）x12，x22，x3，x4；(5)x11，x22，x3；(6)x11，x214(1)x1m，x2；(2)去分母原方程化为（mx）26（nx）（mx）5（nx）2，整理，得（m5n6x）（mn2x）0 x1，x2(3)x1m，x2；（4）x1；x2ab；(5)x1，x25(1)x12，x2，x33，x4(2)x1，x2，x3x40(3)x1x21，x32，x42(4)x11，x21(5)提示：(x)22，x1，x2(6)提示：x2(x)22x11，x21，x3，x46(1)设甲、乙两组的人数均为x人，则（x2)x解之，得x10，(x不合题意）（2）2小时（3）50千米/时，60千米/时（4）设从苏州购进x件衬衫，这笔生意盈利y元，则解之，得x2000，y90260（元）(5)设第一次买的小商品为x件，则解之，得x50（x15不合题意，舍去）（6）甲队单独完成需15天，乙队需10天 甲队得20000元，乙队得30000元【思路拓展题】150克装的冰淇淋应售价284元买大包袋的冰淇淋合算