几种重要的离散型分布.ppt

1,几种重要的 离散型分布,第四节,2,一、二项分布(Binomial Distribution),例1 某射手命中率为0.8，独立射击3次，求恰好命中两次的概率.,解,则恰好命中两次的概率为,背景：作n次伯努利试验的成功次数 X 所服从的分布.,由可加性,由独立性,3,若随机变量 X 的分布律为,定义,则称X服从参数为n,p的二项分布，,记为,验证规范性：,4,例2 某人打靶,命中率为p=0.8,独立重复射击5次,求：,(1) 恰好命中两次的概率；,(2) 至少命中两次的概率；,(3) 至多命中4次的概率.,解,设 X为命中数，,(1),(2),(3),5,解,例3 某经理有7个顾问，对某决策征求意见，经理听 取多数人的意见.若每位顾问提出正确意见的概率均 为 0.7，且相互独立，求经理作出正确决策的概率.,提出正确意见的顾问人数,则经理作出正确决策的概率为,6,解,例4 对某药物的疗效进行研究，假定这种药物对某种疾病的治愈率为p=0.8.现在10个患者同时服此药，求至少有6个患者治愈的概率(假定患者之间相互独立).,治愈人数,则至少有6个患者治愈的概率为,这个概率是很大的，也即，如果治愈率确为0.8，则在10人中治愈人数少于6人的情况是很少出现的.因此，如果在一次实际试验中，发现10个病人中治愈不到6人，那么假定治愈率为0.8就值得怀疑了.,7,解,例5 假设有10台设备，每台的可靠性(无故障工作的概率)为0.90，每台出现故障时需要由一人进行修理问为保证在95%的情况下当设备出现故障时都能及时得到修理，至少需要安排几个人值班？,出故障机器台数,因此，至少需要安排3个人值班,8,问题：若有200台设备呢？,需中心极限定理解决.,解,出故障机器台数,因此，至少需要安排3个人值班,9,解,例6 (保险事业)若一年中某类保险者的死亡率为0.005.现有1万人参加这类保险，试求在未来一年中在这些保险者里面，(1)有40人死亡的概率； (2)死亡人数不超过70人的概率.,死亡人数,(1),(2),计算相当复杂，下面介绍一个实用的近似公式.,10,证略.,11,解,例7 假如生三胞胎的概率为10-4，求在10万次生育中，恰有两次生三胞胎的概率.,10万次生育中生三胞胎的次数,直接用伯努利公式计算得,用泊松近似公式，,可见（当n非常大时）近似程度令人满意.,12,二项分布的数字特征,13,所以,二项分布的数字特征,14,例8 设某批产品共有N件，其中有M件次品. 按如下两种方式从中任选n件产品: (1)每次取出观察后放回；(2)不放回. 设取得的次品数为X，试分别就所述的两种情形，求X的分布律.,二、超几何分布,(1) 由于是有放回的抽取，所以每次取到次品的概率均为M/N，所以,解,即,15,(2) 若不还原，在N件产品中任选 n 件，其中恰好有 k 件次品的取法共有,所以,称之为超几何分布.,16,17,在历史上泊松分布是作为二项分布的近似,于1837年由法国数学家泊松引入的. 近几十年来，作为描绘“稀有事件”计数资料统计规律的概率分布，泊松分布日益显示其重要性，成了概率论中最重要的几个分布之一，在质量控制、排队论、可靠性理论等许多领域内都有重要应用,实例：（1）普鲁士骑兵每年被马踢死的人数服从参数为0.61的泊松分布；,（2）1500年到1932年之间每年发生战争的次数（规模超过50000人）服从参数为0.69的泊松分布.,三、泊松分布(Poisson Distribution),18,定义 若随机变量 X 的概率分布为,验证规范性：,则称X服从参数为 的泊松分布,记为,麦克劳林级数,19,泊松分布的实际背景：最简流.,例如，到达商店的顾客，用户对某种商品质量的投诉，暴雨，交通事故，重大刑事案件，大震后的余震、到达某港口等待进港的货轮、纺纱机上的断头所形成的随机质点流,分布参数的概率意义： 是单位时间出现的随机质点的平均个数.,20,例9 通过某十字路口的汽车数服从泊松分布. 若平均5秒钟有1辆汽车通过, 求10秒钟内通过的汽车不少于两辆的概率.,解,设 X 为10秒内通过的汽车数，,21,例10 某商店出售某种大件商品，据历史记录分析，每月销售量服从泊松分布，= 7，问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率充分满足顾客的需要？,解,销售量,设至少库存N件，则,经计算，必须取 N = 16.,22,由无穷级数知识知，,泊松分布的数字特征,23,所以,泊松分布的数字特征,24,练习：,P77 习题二,