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第二十七章相似教材分析一、看要求一、看要求二、品教材二、品教材三、说教法三、说教法四、谈落实四、谈落实1.1.课标对图形的相似的具体要求课标对图形的相似的具体要求:图形的相似图形的相似图形与几何图形与几何图形与变化图形与变化看要求看要求（1 1）了解了解比例的基本性质，比例的基本性质，了解了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解了解黄金分割黄金分割。（2 2）通过通过具体实例认识图形的相似，具体实例认识图形的相似，了解了解相似多边形和相似比的含义。相似多边形和相似比的含义。（3 3）掌握掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。（4 4）了解了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形角形 相似；三边成比例的两个三角形相似。相似；三边成比例的两个三角形相似。*了解了解相似三角形判定定理的证明。相似三角形判定定理的证明。（5 5）了解了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。（6 6）了解了解图形的位似，图形的位似，知道知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；在直角坐标系中，利用位似可以将一个图形放大或缩小；在直角坐标系中，探索探索并了解将一并了解将一个个 多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对对 应的图形与原图形位似。应的图形与原图形位似。（7 7）会利用会利用图形的相似图形的相似解决解决一些简单的实际问题。一些简单的实际问题。2.20182.2018年中考说明对本章知识的要求：年中考说明对本章知识的要求：考试考试内容内容考试要求考试要求ABC 图图 形形 与与 几几 何何图形的性质图形的性质相似三角形相似三角形了解了解相似三角形的性质定理与判定定理相似三角形的性质定理与判定定理能利用能利用相似三角形的性质定理相似三角形的性质定理和判定定理和判定定理解决解决有关简单问题有关简单问题图形的变化图形的变化图形的相似图形的相似了解了解比例的基本性质，线段的比、成比比例的基本性质，线段的比、成比例线段；例线段；了解了解黄金分割；黄金分割；认识认识图形的相图形的相似；似；了解了解相似多边形和相似比；相似多边形和相似比；了解了解图图形的位似，形的位似，知道利用知道利用位似可以将一个图位似可以将一个图形放大或缩小。形放大或缩小。掌握基本事实：掌握基本事实：两条直线被一两条直线被一组平行线所截，所得的对应线组平行线所截，所得的对应线段成比例；会利用图形的相似段成比例；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。解决一些简单的实际问题。图形与坐标图形与坐标坐标与图形坐标与图形运动运动在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，知道知道已知顶点坐已知顶点坐标的多边形经过位似（位似中心为原点）标的多边形经过位似（位似中心为原点）后的对应顶点坐标之间的关系，后的对应顶点坐标之间的关系，了解了解将将多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点，多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形位小相同倍数时所对应的图形与原图形位似。似。在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，能写出能写出已知顶点的多边形经过位似已知顶点的多边形经过位似（位似中心为原点）后的图形（位似中心为原点）后的图形的顶点坐标。的顶点坐标。运用坐运用坐标与图形运标与图形运动的有关内动的有关内容容解决有关解决有关问题。问题。3.3.近三年北京市有关相似的中考试题近三年北京市有关相似的中考试题14.如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m,1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m,1.5m，则路灯的高为 _m。2016年本题考查相似三角形的判定和性质，借助比例线段解决线段的求解问题。13如图，在ABC中，M、N分别为AC，BC的中点若SCMN=1，则S四边形ABNM =_2017年本题考查根据相似三角形性质，借助方程代数工具，解决图形面积问题。2017年本题重点考查构造相似图形，建立线段的数量关系，求解线段长度。24如图，AB是O的一条弦，E是AB的中点，过点E作ECOA于点C，过点B 作O的切线交CE的延长线于点D（1）求证：DB=DE；（2）若AB=12，BD=5，求O的半径13.如图，在矩形ABCD 中,E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F,若AB=4，AD=3，则CF的长为 。2018年识别相似基本图形，建立线段的数量关系，求解线段长度。（2016年）29.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1,y1)点Q的坐标为（x2,y2），且x1x2，y1 y2若P、Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”。下图为点P，Q 的“相关矩形”的示意图。（1）已知点A的坐标为（1，0），若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；点C在直线x=3上，若点A,C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）O的半径为，点M的坐标为（m,3）。若在 O上存在一点N，使得点M,N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围。（2017年）29对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点（1）当O的半径为2时，在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，O的关联点是；点P在直线y=-x上，若P为O的关联点，求点P的横坐标的取值范围；（2）C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于点A，B若线段AB上的所有点都是C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围（2018年）28.对于平面直角坐标系元xOy中的图形M，N，给出如下定义:P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的闭距离，记作d(M，N).已知点A(-2，6)，B(-2，-2)，C(6，-2).(1)求d(点0，ABC);(2)记函数y=kx(-1x1，k0)的图象为图形G.若d(G，ABC)=1，直接写出k的取值范围;(3)T的圆心为T(t，0)，半径为1.若d(T，ABC)=1，直接写出t的取值范围.相似的研究问题的方法：这三道题没有涉及相似的知识，但都是在坐标系中给出图形新定义，然后按着特殊到一般的方法研究相关图形的性质，并运用性质解决问题。相似的教学中突出渗透几何的研究问题的方法的运用。全等全等全等三角形全等三角形几种全等变换几种全等变换图形间的相互关系图形间的相互关系平移平移轴对称轴对称旋转旋转相似变换相似变换位似变换位似变换相似相似相似图形（三角形）相似图形（三角形）品教材品教材1.1.知识间的联系知识间的联系2.2.本章地位与作用本章地位与作用数学知识体系全等全等相似三角函数三角函数力学力学光学光学实际实际测量测量其它学科的计算工具其它学科的计算工具3.3.学情分析学情分析平行线平行线 三角形三角形全等三角形全等三角形平行四边形平行四边形相似逻辑推理逻辑推理论证能力论证能力分析解决分析解决实际问题实际问题发展学生发展学生探究能力探究能力特殊特殊“全等全等”到一般到一般“相似相似”的研的研究究研究问题的思路和方法研究问题的思路和方法的经验的经验培养逻辑培养逻辑思维能力思维能力巩固和提巩固和提高推理证高推理证明能力明能力综合综合运用运用知识知识能力能力4.4.本章知识结构图本章知识结构图教学重难点教学重难点重点：重点：相似三角形性质与相似三角形判定；难点：难点：相似三角形判定证明及在复杂图形中能识别出相似三角形;会添加辅助线构造相似三角形进行推理或计算四基内容基础知识：基础知识：比例线段及其性质，相似多边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，位似的定义及性质；基本技能：基本技能：会用比例线段求线段长或列方程，会用相似多 边形、相似三角形的性质与判定解决简单的实 际问题，会画位似图形（含在坐标系中）；基本思想：基本思想：类比与对比思想、转化与化归思想、方程与函 数思想、建模思想；基本实践活动：基本实践活动：测物体的高度(课本39页，54页)，测河宽 （课本40页），制作艺术字(课本54页)等 说教法说教法（一）重视知识间联系，注重数学思想方法的教学。（一）重视知识间联系，注重数学思想方法的教学。数学思想数学思想是数学知识的精髓，在运用数学知识的过是数学知识的精髓，在运用数学知识的过程中，起着指导作用程中，起着指导作用.数学方法是数学思想的具体数学方法是数学思想的具体体现，是学习和运用数学知识的工具下面就相似体现，是学习和运用数学知识的工具下面就相似中涉及的常见数学思想作如下总结：中涉及的常见数学思想作如下总结：1.1.类比思想类比思想相似与全等三角形类比相似与全等三角形类比定义定义图形性质图形性质判定方法判定方法相似内部的类比相似内部的类比相似多边形相似多边形相似三角形相似三角形全等的判定全等的判定相似的判定相似的判定两角夹一边对应相等（两角夹一边对应相等（ASAASA）两角一对边对应相等（两角一对边对应相等（AASAAS）两边及夹角对应相等（两边及夹角对应相等（SASSAS）三边对应相等（三边对应相等（SSSSSS）直角三角形中一直角边与斜边直角三角形中一直角边与斜边对应相等对应相等（HLHL）两角对应相等两角对应相等两边对应成比例，且夹角相两边对应成比例，且夹角相等等三边对应成比例三边对应成比例直角三角形的一直角边和斜直角三角形的一直角边和斜边对应成比例（以例题方式边对应成比例（以例题方式呈现）呈现）边边角反例类比边边角反例类比2.2.转化思想转化思想证明相似三角形的判定定理时通过作全等三角形把要证证明相似三角形的判定定理时通过作全等三角形把要证明的问题转化为已经解决的问题，把未知转化为已知，把明的问题转化为已经解决的问题，把未知转化为已知，把复杂转化为简单；复杂转化为简单；证明比例式与等积式之间的转换；证明比例式与等积式之间的转换；教法建议教法建议3、分类思想、分类思想为什么会产生分类？为什么会产生分类？对应关系的不确定性对应关系的不确定性依序；不重不漏依序；不重不漏（2016，1延庆）如图，已知矩形如图，已知矩形ABCDABCD的边的边AB=3cm,BC=6cm AB=3cm,BC=6cm 某一时刻某一时刻,动点动点M M 从从A A 点出发沿点出发沿AB AB 方向以方向以1cm/s 1cm/s 的速度向的速度向B B点匀速运动；同时，动点点匀速运动；同时，动点N N从从D D点出发点出发沿沿DADA方向以方向以2cm/s 2cm/s 的速度向的速度向A A点匀速运动，问：点匀速运动，问：（1 1）经过多少时间）经过多少时间,AMN AMN 的面积等于矩形的面积等于矩形ABCD ABCD 面积的面积的1/9 1/9？（2 2）是否存在时刻）是否存在时刻t t，使，使以以A,M,NA,M,N为顶点的三角为顶点的三角形与形与ACDACD相似相似？若存在，求？若存在，求t t的值；若不存在，的值；若不存在，请说明理由请说明理由19ABCDNM4 4、方程思想、方程思想相似相似教学基本思路教学基本思路几何问题几何问题 代数问题代数问题图图形形相相似似比比例例计计算算求求线线段段方程思想方程思想 通过方程可以建立已知和未知之间的通过方程可以建立已知和未知之间的联系，联系，如：在本章中利用相似三角形的如：在本章中利用相似三角形的性质可以得到关于对应线段比的方程，性质可以得到关于对应线段比的方程，进而求出线段长。进而求出线段长。5、建模思想、建模思想P40例5 如图，相相似似图图形形相相似似多多边边形形位位似似图图形形相相似似三三角角形形 概念概念 性质性质 判定方法判定方法 应用应用 公理成立公理成立一般一般 到到特殊特殊 全等三角全等三角形形特殊特殊到到一般一般 相相似似模模型型【讲义12页例4.（2）小题】例题：如图，点H在ABCD的边DC延长线上，连结AH分别交BC、BD于点E、F，求证：BEDHABAD等积式等积式等比式等比式找三角形找三角形证相似证相似？DHADABBEDHABADBE或ABE 和 HDA【讲义12页例4.（3）小题】例：例：如图，在如图，在APM APM 的边的边APAP上任取两点上任取两点B,C,B,C,过过B B作作AMAM的平行线交的平行线交PMPM于点于点N,N,过过N N作作MCMC的平行线交的平行线交APAP于点于点D,D,求证：求证：PAPAPB=PCPB=PCPDPD等比代换等比代换分离基本图形分离基本图形PA=PBPMPNPC=PDPMPNAMBNCM CD （1）相似三角形的常见图形及其变换：相似三角形的常见图形及其变换：ABCDEBEACD12从全等到相似从全等到相似v 知道有几知道有几种种基本图形基本图形v 能写出对应边和对应角能写出对应边和对应角v 全等到相似基本图形之间的放缩关系全等到相似基本图形之间的放缩关系2.2.典型例题典型例题(1).找出图中的相似三角形识识 (2).讲义P11页，例2 M K J I H G F E D C B A 1.已知正方形已知正方形ABCD,ECFG,HFJIABCD,ECFG,HFJI的边长分别的边长分别为为2,3,52,3,5的正方形，求的正方形，求S SEKMGEKMG的面积。的面积。用用2.讲义P11-12页例3.1.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC,求证：求证：ABAC=BDDC.构构2.讲义(相关专题相关专题P18)P18)（一）（一）添加辅助线相似三角形判定证明相似三角形判定证明比例和比例线段比例和比例线段平行线分线段成比例的基本事实平行线分线段成比例的基本事实教学难度的控制和把握教学难度的控制和把握常见结论的处理和使用常见结论的处理和使用格式举例如下：ACB90，CDAB于D A=AACDACDABCABCDABC书写要严谨书写要严谨ABACACADABACACAD AC2=ADAB本章约需本章约需1414课时，具体分配如下（仅供参考）：课时，具体分配如下（仅供参考）：预备知识预备知识 比例的概念和性质比例的概念和性质1 1课时课时27271 1 图形的相似图形的相似 2 2课时课时27272 2 相似三角形相似三角形 共共7 7课时课时 相似的判定相似的判定 4 4课时课时 相似的性质相似的性质 2 2课时课时 相似的应用相似的应用 1 1课时课时27273 3 位似位似 2 2课时课时 数学活动数学活动 小结小结 2 2课时课时谈落实谈落实27.127.1图形的相似（课时）图形的相似（课时）本节内容：主要介绍相似图形、相似多边形的概念；本节内容：主要介绍相似图形、相似多边形的概念；并探索相似多边形的性质并探索相似多边形的性质.本节教学重点：相似的本质属性；相似多边形的性本节教学重点：相似的本质属性；相似多边形的性质质建议建议1 1：突出从变换的角度解释相似的概念：突出从变换的角度解释相似的概念.让学生认识到相似的本质属性：形状相同；让学生认识到相似的本质属性：形状相同；突出：两个图形相似，其中一个图形可看作由另一突出：两个图形相似，其中一个图形可看作由另一个个图形放大或缩小得到图形放大或缩小得到.国旗上大小不同的五角星国旗上大小不同的五角星建议建议2 2：补充线段的比，比例线段和比例的性质：补充线段的比，比例线段和比例的性质 包含：线段的比成比例线段教材教材P P2626比例线段比例线段教材教材P P2626：对于四条线段对于四条线段a,b,c,da,b,c,d，如果其中两条线段的比与另，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如两条线段的比相等，如 （即（即ad=bcad=bc），我们），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段dcba注意：注意：1.1.这四条线段是有顺序的；这四条线段是有顺序的；2.2.了解比例外项，比例内项，第四比例项及比例了解比例外项，比例内项，第四比例项及比例 中项的意义；中项的意义；比例性质比例性质1基本性质,即比例式与等积式的转化 （比例中项）（比例中项）acbd abbc bc0 bd0ad=bc2bac如果 ab=cd,那么a bb=c dd如果ab=cd=ef=mn(其中b+d+f+n 0)那么a+c+e+mb+d+f+n=ab2.2.合比性质合比性质相似多边形定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，这两个多边形叫做相似多边形相似比：相似多边形对应边的比建议建议3 3在教学时应使学生认识相似比的有序性在教学时应使学生认识相似比的有序性;知道相似比的实质是知道相似比的实质是把一个图形放大或缩小的倍数把一个图形放大或缩小的倍数.当放大或缩小的倍数为当放大或缩小的倍数为1 1时即相似比为时即相似比为1 1时，这两个图形时，这两个图形是全等是全等 本节内容：本节内容：相似三角形的判定方法、相似三角形在测量中的应用、相似三角形的性质.本节教学重点：本节教学重点：相似三角形的性质与判定.建议建议1 1：对应：对应注意用符号书写时对应顶点写在对应的位置；关于相似三角形的表示方法如图，已知ABCCDB90，ACa，CB=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，(1)ACBCBD对应顶点写在对应的位置 (2)ABC与CBD相似.需分类讨论27272 21 1 相似三角形的判定相似三角形的判定平行线分线段成比例平行线分线段成比例教材中以教材中以基本事实形式基本事实形式给出了，但它是可以证明的，给出了，但它是可以证明的，利用面积法可以证明得到定理。利用面积法可以证明得到定理。E C F B D A E C F B D ABEFBDEBCEABESSSSSABE=SDBESBCE=SBEFEFDEBCAB类比学习，体现知识的形成过程和知识间的联系类比学习，体现知识的形成过程和知识间的联系建议建议4.4.典型例题：典型例题：1.1.如图如图,点点D D是是ABCABC中中ACAC边上的一点边上的一点,B BA AD DC C2 21 1(1)(1)若若1=1=_,_,CBDCBDCAB;CAB;(2)(2)若若2=2=_,_,CBDCBDCAB;CAB;(3)(3)若若CD:CB=_,CD:CB=_,CBDCBDCAB;CAB;(4)(4)若若CBCB2 2=_,=_,CBDCBDCAB;CAB;可改成开放型问题可改成开放型问题，2.已知：如图所示：点C为ADEADE边边DEDE边上的点，边上的点，（1 1）（2 2）1=2,1=2,（3 3）1=2=3,1=2=3,ABADACAEABACBCADAEDE求证：?可改成开放型问题（条件，结论）2722相似三角形的性质关注变化关注变化 教材上教材上增加增加了相似三角形对应线段的比等了相似三角形对应线段的比等于相似比而于相似比而减减少少了相似三角形对应周长的了相似三角形对应周长的比等于相似比，比等于相似比，原来删去原来删去的相似三角形对应的相似三角形对应高的比等于相似比；对应中线的比、对应角高的比等于相似比；对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比平分线的比都等于相似比补充补充进来。进来。（讲义（讲义1414页例页例6 6）例题例题(1)(1)如图，如图，D D是是ABCABC的边的边BCBC上一点，上一点，BD=4BD=4，DC=9DC=9，则，则S SABDABD:S:SADCADC=.（2 2）如图）如图2 2，RtRtABCABC中，中，BAC=90BAC=900 0，ADBCADBC，BD=4BD=4，DC=9DC=9则则S SABDABD:S:SADCADC=.B C A D D A C B（3 3）如图）如图3 3，E E、D D分别是分别是ABAB、ACAC上的点上的点ADE=BADE=B，AGBCAGBC于点于点G G，AFDEAFDE于点于点F F，若，若AD=3AD=3，AB=5AB=5，则则_ABC_,的周长的周长ADEAFAG._,ACGAEFABCADESSSS F G A B C D E观察分析图形不相似 相似 面积公式性质2723相似三角形应用举例相似三角形应用举例BEFGH丁组方案体现建模思想体现建模思想.解决问题的思路：解决问题的思路：都是构造两个相似三角形，使要都是构造两个相似三角形，使要求长度的线段成为其中一个三角形的一条边，使其求长度的线段成为其中一个三角形的一条边，使其他的边是可测量的他的边是可测量的.利用相似测量利用相似测量一、看要求一、看要求（看课标和中考说明）二、品教材二、品教材（研读教参和教材）三、说教法三、说教法（学习理论和经验）四、谈落实四、谈落实（用好教材和资料）
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