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2018届福建省莆田市第二十四中学高三上学期第二次月考(12月)数学(理)试题一、单选题1满足条件的集合的个数是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 根据子集的定义,可得集合中必定含有三个元素,而且集合的真子集的个数为个,所以满足的集合的个数共个,故选B.2若,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 由题意得,则,故选C.3一个扇形的弧长与面积的数值都是6,这个扇形中心角的弧度数是( )A1 B2 C3 D4 【答案】C【解析】试题分析:设扇形的最小角的弧度数为,半径为,由题意,得,解得,即该扇形中心角的弧度数是3;故选C【考点】1.弧长公式;2.扇形的面积公式4已知函数,规定区间,对任意, ,当时,总有,则下列区间可作为的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 给定区间,当时,总有,函数是增函数, 由,解得或, 所以函数的定义域为, 因为函数递减函数,而在上递减,在上递增, 所以函数在上递增,在上递减, 由题意知,函数在区间上单调递增,则,而,故选A.5设的内角, , 所对的边分别为, , ,若,则的形状为( )A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定【答案】B【解析】 由题意得,因为, 由正弦定理得,所以, 可得,所以,所以三角形为直角三角形,故选B.6已知函数,且,又,则函数的图象的一条对称轴是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因为函数, 又, 所以,即,故可取, 令,求得, 则函数的图象的一条对称轴为,故选A.7已知, , , ,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 因为,所以, 根据幂函数的性质,可得, 根据指数函数的性质,可得, 所以,故选D.8已知函数的定义域为,当时, ;当时, ;当时, ,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 因为当时, , 所以当时, ,即周期为, 所以, 因为当时, ,所以, 因为时, ,所以,所以, 所以,故选D.9已知函数,若对任意的, 在上总有唯一的零点,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 函数,可得, 所以由, 当时, ,所以在上单调递减,在上单调递增, 在坐标系中画出和的图象,如图所示, 对任意的, 在上总唯一的零点,可得,可得,可得,即,故选C.10已知函数,实数, , 满足(),若实数是的根,那么不等式中不可能成立的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 因为,所以, 因为,所以,所以, 所以在递减, 因为,且, 中一项为负的,两项为正的,或三项都是负的, 即,或, 由于实数是函数的一个零点, 当时, ,此时成立, 当时, ,此时成立, 综上可得, 不成立,故选B.11已知函数是上的偶函数,且在区间上是单调递增的, , , 是锐角三角形的三个内角,则下列不等式中一定成立的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 因为是锐角的三个内角, 所以,得,两边同取余弦函数,可得,因为在上单调递增,且是偶函数,所以在上减函数,由,可得,故选C.点睛:本题主要考查了抽象函数的应用问题,其中解答中涉及到锐角三角形的内角的正、余弦函数的应用,函数值的大小关系,函数的单调性等只是点的综合运用,着重考查了函数的单调性的应用、奇偶性和锐角三角形中三角函数的大小比较等知识,试题有一定的综合性,属于中档试题.12已知为自然对数的底数,若对任意的,总存在唯一的,使得成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由成立,解得, 所以对任意的,总存在唯一的,使得成立, 所以,且, 解得,其中时, 存在两个不同的实数,(舍去), 所以实数的取值范围是,故选B. 点睛:本题主要考查了函数的综合问题,其中解答中涉及到函数的单调性、不等式的性质,方程的有解问题等知识点的综合应用,试题有一定的综合性,属于中档试题,解答中把对任意的,总存在唯一的,使得成立是解答的关键.二、填空题13已知函数的定义域为,则函数的定义域为_【答案】.【解析】 因为的定义域为,即, 所以,即的定义域为, 由,得, 所以函数的定义域为.14已知,则的值为_【答案】.【解析】 由,平方可得,所以,即.15已知函数,其中,若对任意实数,使得关于的方程至多有两个不同的根,则的取值范围是_【答案】.【解析】 当时,函数的图象如下: 因为时, , 所以要使得关于的方程至多有两个不同的根, 必须,即, 解得, 所以实数的取值范围是 点睛:本题主要考查了根的存在性及根的个数判断问题,解答中涉及到绝对值函数和二次函数的图象和性质等知识点的运用,试题有一定的难度,属于中档试题,解答中正确作出分段函数的图象,转化为图象的交点的个数是解答的关键,着重考查了数形结合法思想的应用.16已知函数,若不等式恰好存在两个正整数解,则实数的取值范围是_【答案】.【解析】 令, 由题意知,存在2个正整数,使在直线的下方, 因为, 所以当时, ,当时, , 所以,且, 直线恒过点,且斜率为, 结合图象可知 ,解得.点睛:本题主要考查了根的存在性及根的个数判断问题,解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数求解函数的极值与最值,以及一次函数的图象与性质等知识点的运用,试题有一定的难度,属于中档试题,解答中转化为图象的交点的个数是解答的关键,着重考查了数形结合法思想的应用.三、解答题17已知, ,且, , .(1)若函数有唯一零点,求函数的解析式;(2)求函数在区间上的最大值;(3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) 当时, ,当时, ;(3) .;【解析】试题分析:(1)根据题意,列出方程组,即可求解的值,得到函数的解析式; (2)由,分类讨论即可求解函数的最大值;分离参数,得设,利用函数的单调性,求解最值,即可求解实数的取值范围.试题解析:(1) (2),当时, 当时, 当时,不等式成立,即: 在区间,设,函数在区间为减函数, ,当且仅当时,不等式在区间上恒成立,因此.18在梯形中, , , , .(1)求的长;(2)求梯形的高.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)在中,由正弦定理得,即可求解的长;(2)在中,由余弦定理得,解得的长,过点作于,则为梯形的高,在直角中, ,即可求得.试题解析:(1)在中,由正弦定理得: ,即(2)在中,由余弦定理得: ,整理得解得.过点作于,则为梯形的高., ,.在直角中, 即梯形的高为.19(本小题满分12分)如图所示,将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛,要求点在上, 点在上,且对角线过点,已知米,米.(1)要使矩形的面积大于32平方米,则的长应在什么范围内?(2)当的长度为多少时,矩形花坛的面积最小?并求出最小值.【答案】(1)(2)当且仅当即时,矩形花坛的面积最小为24平方米【解析】试题分析:解:设的长为米,则米, 3分 由得又得解得:或即的长的取值范围是 6分(2)矩形花坛的面积为: 11分当且仅当即时,矩形花坛的面积最小为24平方米. 12分【考点】考查了函数的实际运用。点评:通过对于已知中相似的理解,得到所求的面积公式,然后结合实际的背景得到变量的范围, 同时解决均值不等式的思想来求解最值。属于中档题。20在中,角, , 所对的边分别为, , ,已知.(1)求角的大小;(2)若三角形的周长为,面积为,且,求三角形三边长.【答案】(1);(2), , .【解析】试题分析:(1)由同角三角函数的基本关系式,化简可得,利用三角形内角和定理,两角和的正切函数公式化简可求,即可求解角的大小;(2)由面积公式解得,由余弦定理可得,结合已知化简整理可解得的值.试题解析:(1)化简: (2)由面积公式 ,由余弦定理可得: ,而,可得,代入上式,化简整理可得,所以, 是方程的两根,所以, , 21已知函数,其中.(1)求函数的单调区间;(2)对任意,都有,求实数的取值范围.【答案】(1)函数的定义域为(2)的取值范围是【解析】试题分析:(1)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系,即可求解函数的单调区间;(2)对于任意,都有,转化为,多次构造函数,求函数的导数,利用导数研究函数的最值可求函数求实数的取值范围.试题解析:(1)函数的定义域为,函数的导数,因为,所以当时, ,此时,函数在上单调递减,当时, ,此时,函数在上单调递增,所以函数在上单调递增,在上单调递减.(2)当时,由(1)知在上单调递减, 在上单调递减,所以对任意的,都有,因为对任意的,都有,所以,即,得,所以当时,对于任意的,都有,当时, ,由(1)得在上单调递增,所以对于任意,有,因为对于任意,都有,所以,即,设,则,设,则,所以在上单调递减,则当时, ,此时不等式不成立,综上,所求的取值范围是.点睛:本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题,其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性,利用导数求解函数的极值与最值等知识点的运用,解答中转化为函数的最值之间的关系是解答的关键,着重考查学生的推理与运算能力,综合性强,属于中档试题.22设函数.(1)求的单调区间;(2)若, 为整数,且当时, ,求的最大值.【答案】(1)的单调递增区间是,单调递减区间是;【解析】试题分析:(1)求解函数的导数,分类讨论即可求解函数的单调区间; (2)当时, 等价于 ,令,求最值,即可求解.试题解析:(1)函数的定义域为, ,若,则在上单调递增;若,则,解得,所以的单调递减区间是,增区间为.(2)由于,所以,故当时, 等价于,令,则,而函数在上单调递增, ,所以在上有唯一的零点,故在上存在唯一的零点,设此零点为,则,当时, ,当时, ,所以在的最小值为,又因为,可得,所以,所以,所整数的最大值为.点睛:本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题,其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性,利用导数求解函数的极值与最值等知识点的运用,解答中转化为导数的应用是解答的关键,着重考查学生的推理与运算能力,综合性强,属于中档试题.第 13 页 共 13 页
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