福建省莆田市第二十四中学高三上学期第二次月考12月数学理试题解析版

2018届福建省莆田市第二十四中学高三上学期第二次月考（12月）数学（理）试题一、单选题1满足条件的集合的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 根据子集的定义，可得集合中必定含有三个元素，而且集合的真子集的个数为个，所以满足的集合的个数共个，故选B.2若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 由题意得，则，故选C.3一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是（ ）A1 B2 C3 D4 【答案】C【解析】试题分析：设扇形的最小角的弧度数为，半径为，由题意，得，解得，即该扇形中心角的弧度数是3；故选C【考点】1.弧长公式；2.扇形的面积公式4已知函数，规定区间，对任意， ，当时，总有，则下列区间可作为的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 给定区间，当时，总有，函数是增函数， 由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为函数递减函数，而在上递减，在上递增， 所以函数在上递增，在上递减， 由题意知，函数在区间上单调递增，则，而，故选A.5设的内角， ， 所对的边分别为， ， ，若，则的形状为（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定【答案】B【解析】 由题意得，因为， 由正弦定理得，所以， 可得，所以，所以三角形为直角三角形，故选B.6已知函数，且，又，则函数的图象的一条对称轴是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因为函数， 又， 所以，即，故可取， 令，求得， 则函数的图象的一条对称轴为，故选A.7已知， ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 因为，所以， 根据幂函数的性质，可得， 根据指数函数的性质，可得， 所以，故选D.8已知函数的定义域为，当时， ；当时， ；当时， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 因为当时， ， 所以当时， ，即周期为， 所以， 因为当时， ，所以， 因为时， ，所以，所以， 所以，故选D.9已知函数，若对任意的， 在上总有唯一的零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 函数，可得， 所以由， 当时， ，所以在上单调递减，在上单调递增， 在坐标系中画出和的图象，如图所示， 对任意的， 在上总唯一的零点，可得，可得，可得，即，故选C.10已知函数，实数， ， 满足（），若实数是的根，那么不等式中不可能成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在递减， 因为，且， 中一项为负的，两项为正的，或三项都是负的， 即，或， 由于实数是函数的一个零点， 当时， ，此时成立， 当时， ，此时成立， 综上可得， 不成立，故选B.11已知函数是上的偶函数，且在区间上是单调递增的， ， ， 是锐角三角形的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 因为是锐角的三个内角， 所以，得，两边同取余弦函数，可得，因为在上单调递增，且是偶函数，所以在上减函数，由，可得，故选C.点睛：本题主要考查了抽象函数的应用问题，其中解答中涉及到锐角三角形的内角的正、余弦函数的应用，函数值的大小关系，函数的单调性等只是点的综合运用，着重考查了函数的单调性的应用、奇偶性和锐角三角形中三角函数的大小比较等知识，试题有一定的综合性，属于中档试题.12已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由成立，解得， 所以对任意的，总存在唯一的，使得成立， 所以，且， 解得，其中时， 存在两个不同的实数，（舍去）， 所以实数的取值范围是，故选B. 点睛：本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到函数的单调性、不等式的性质，方程的有解问题等知识点的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中把对任意的，总存在唯一的，使得成立是解答的关键.二、填空题13已知函数的定义域为，则函数的定义域为_【答案】.【解析】 因为的定义域为，即， 所以，即的定义域为， 由，得， 所以函数的定义域为.14已知，则的值为_【答案】.【解析】 由，平方可得，所以，即.15已知函数，其中，若对任意实数，使得关于的方程至多有两个不同的根，则的取值范围是_【答案】.【解析】 当时，函数的图象如下： 因为时， ， 所以要使得关于的方程至多有两个不同的根， 必须，即， 解得， 所以实数的取值范围是 点睛：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断问题，解答中涉及到绝对值函数和二次函数的图象和性质等知识点的运用，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中正确作出分段函数的图象，转化为图象的交点的个数是解答的关键，着重考查了数形结合法思想的应用.16已知函数，若不等式恰好存在两个正整数解，则实数的取值范围是_【答案】.【解析】 令， 由题意知，存在2个正整数，使在直线的下方， 因为， 所以当时， ，当时， ， 所以，且， 直线恒过点，且斜率为， 结合图象可知 ，解得.点睛：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断问题，解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数求解函数的极值与最值，以及一次函数的图象与性质等知识点的运用，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中转化为图象的交点的个数是解答的关键，着重考查了数形结合法思想的应用.三、解答题17已知， ，且， ， .（1）若函数有唯一零点，求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最大值；（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) 当时， ,当时， ;(3) .;【解析】试题分析：（1）根据题意，列出方程组，即可求解的值，得到函数的解析式； （2）由，分类讨论即可求解函数的最大值；分离参数，得设，利用函数的单调性，求解最值，即可求解实数的取值范围.试题解析：（1） （2），当时， 当时， 当时，不等式成立，即： 在区间，设，函数在区间为减函数， ，当且仅当时，不等式在区间上恒成立，因此.18在梯形中， ， ， ， .（1）求的长；（2）求梯形的高.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）在中，由正弦定理得，即可求解的长；（2）在中，由余弦定理得，解得的长，过点作于，则为梯形的高,在直角中， ，即可求得.试题解析：（1）在中，由正弦定理得： ，即（2）在中，由余弦定理得： ，整理得解得.过点作于，则为梯形的高.， ，.在直角中， 即梯形的高为.19（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上, 点在上，且对角线过点，已知米，米.（1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内？（2）当的长度为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值.【答案】（1）（2）当且仅当即时，矩形花坛的面积最小为24平方米【解析】试题分析：解：设的长为米，则米， 3分 由得又得解得：或即的长的取值范围是 6分（2）矩形花坛的面积为： 11分当且仅当即时，矩形花坛的面积最小为24平方米. 12分【考点】考查了函数的实际运用。点评：通过对于已知中相似的理解，得到所求的面积公式，然后结合实际的背景得到变量的范围， 同时解决均值不等式的思想来求解最值。属于中档题。20在中，角， ， 所对的边分别为， ， ，已知.（1）求角的大小；（2）若三角形的周长为，面积为，且，求三角形三边长.【答案】（1）;（2）， ， .【解析】试题分析：（1）由同角三角函数的基本关系式，化简可得，利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式化简可求，即可求解角的大小；（2）由面积公式解得，由余弦定理可得，结合已知化简整理可解得的值.试题解析：（1）化简： （2）由面积公式 ，由余弦定理可得： ，而，可得，代入上式，化简整理可得，所以， 是方程的两根，所以， ， 21已知函数，其中.（1）求函数的单调区间；（2）对任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）函数的定义域为（2）的取值范围是【解析】试题分析：（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求解函数的单调区间；（2）对于任意，都有，转化为，多次构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值可求函数求实数的取值范围.试题解析：（1）函数的定义域为，函数的导数，因为，所以当时， ，此时，函数在上单调递减，当时， ，此时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，由（1）知在上单调递减， 在上单调递减，所以对任意的，都有，因为对任意的，都有，所以，即，得，所以当时，对于任意的，都有，当时， ，由（1）得在上单调递增，所以对于任意，有，因为对于任意，都有，所以，即，设，则，设，则，所以在上单调递减，则当时， ，此时不等式不成立，综上，所求的取值范围是.点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值与最值等知识点的运用，解答中转化为函数的最值之间的关系是解答的关键，着重考查学生的推理与运算能力，综合性强，属于中档试题.22设函数.（1）求的单调区间；（2）若， 为整数，且当时， ，求的最大值.【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是;【解析】试题分析：（1）求解函数的导数，分类讨论即可求解函数的单调区间； （2）当时， 等价于 ，令，求最值，即可求解.试题解析：（1）函数的定义域为， ，若，则在上单调递增；若，则，解得，所以的单调递减区间是，增区间为.（2）由于，所以，故当时， 等价于，令，则，而函数在上单调递增， ，所以在上有唯一的零点，故在上存在唯一的零点，设此零点为，则，当时， ，当时， ，所以在的最小值为，又因为，可得，所以，所以，所整数的最大值为.点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值与最值等知识点的运用，解答中转化为导数的应用是解答的关键，着重考查学生的推理与运算能力，综合性强，属于中档试题.第 13 页 共 13 页