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24.2抛物线的几何性质,第2章圆锥曲线与方程,学习导航,第2章圆锥曲线与方程,1.抛物线的几何性质,y22px(p0),x0,y22px(p0),x0,关于x轴 对称,x22py(p0),y0,x22py(p0),y0,关于y轴 对称,原点,向右,向左,向上,向下,2.焦半径与焦点弦 抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做_，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做_，设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦、焦半径公式为：,焦半径,焦点弦,y22px (p0),ABx1x2p,y22px (p0),ABpx1x2,x22py (p0),ABy1y2p,x22py (p0),ABpy1y2,1圆心在抛物线y22x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是_ 2抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点的横坐标是_ 3已知抛物线y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是_.,2,相切,4某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16 m，当水面上涨2 m时，水面宽变为12 m，此时桥洞顶部距水面高度为_ m.,抛物线几何性质的应用,正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22x上，求这个三角形的边长 (链接教材P48例1),方法归纳 抓住图形的对称是求解本题的关键根据图形的性质，可以直观地看出对称性，但解题时仍需合理地证明，不能只凭主观判断而忽视推理证明,1.已知焦点在x轴上的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为4，求抛物线的标准方程，并求出它的焦点坐标及准线方程,抛物线的焦点弦问题,斜率为1的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长 (链接教材P49T9),方法归纳 本题法一利用传统的基本方法求出A、B两点坐标，再利用两点间距离公式求出AB的长； 法二充分利用抛物线的定义，把过焦点的这一特殊的弦分成两个焦半径的和，转化为到准线的距离的和，这是思维产生质的飞跃的表现,2.抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8试求抛物线方程,某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划成一个矩形高科技工业园区已知ABBC，OABC且ABBC2AO4 km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段 (1)建立适当的坐标系，求曲线段的方程； (2)如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点P落在OC上，设点P到AB的距离为2y，试求矩形工业园区的用地面积关于y的函数表达式 (链接教材P48例2),抛物线的实际应用,方法归纳 (1)本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题 (2)在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用,3.(2012高考陕西卷)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m水位下降1 m后，水面宽_ m.,解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，则A(2，2)，将其坐标代入x22py得p1.,已知P为抛物线y24x上的动点，过P分别作y轴与直线xy40的垂线，垂足分别为A，B，求PAPB的最小值,名师点评(1)抛物线方程为y24x，且P为其上一点 (2)A，B两点为过P分别作y轴与直线xy40垂线的垂足 (3)由PAy轴，可想到利用抛物线的定义，即抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离 (4)把PAPB的最小值问题结合图形转化为点到直线的距离求解,
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