对数运算法则

对数与对数运算教学目标1、理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；2、掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题知识梳理一、对数的定义一般地，如果a(a 0,a丰1)的b次幂等于N,就是ab = N，那么数b叫做 以a为底N的 对数，记作log” N = b，a叫做对数的底数，N叫做真数。特别提醒：a1、对数记号loga N只有在a 0且a丰1，N 0时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。2、记忆两个关系式：log 1 0 :log a 1 o3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便，N的常用对数log10 N， 简记作：lgN。例如：log10 5简记作lg5 log103.5简记作lg3.5。4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数。为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为 了简便，N的自然对数og N，简记作：lnN。如：log 3简记作ln3 ； log。10简记作ln10。二、对数运算性质：如果 a 0,a 丰 1,M 0,N 0,n e R 有：、，、M ,log (MN) log M + log N log log M - log Naaaa Naalog M n n log M (n e R)特别提醒：a1、对于上面的每一条运算性质，都要I注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成 立。如log2 (-3)(-5)是存在的，但log2 (-3)(-5) = log2(-3) + log2(-5)是不成立的。2、注意上述公式的逆向运用：如lg5 + lg2 = lg10 1 ；三、对数的换底公式及推论:对数换底公式：log N logm N (a 0, a 丰 1,m 0, m 丰 1,N 0) a log a两个常用的推论：(2) log b - log c - log a -1 *(1) log b - log a - 1四、两个常用的恒等式：a iogaN = N ,log bn = log b (a 0, a。1, b 0, N 例题讲解类型一指数式与对数式的相互转化4)=64； log_4 =4； log 广 G/2 +1) = -1.例1：将下列指数式与对数式进行互化.(1) 3x=云；2 71(3)5-2 二；5(5)lg0.001 = -3;解析：(1)log=x.32 7(2) log 64 = x.411(3) lOg5 = -2.(4) 2)4 = 4.(5) 10-3 = 0.001.(6) (也1)-1 =应 + 1. 答案：见解析练习1：将下列指数式与对数式进行互化.(1) e0=1；(2) (2+-3)-1 = 2 ;；(3) log327 = 3；(4) log0 0.001 = 3.答案：(1)ln1=0.(2) log 广(2-后)= 1.(3) 33 = 27.(4) 0.13 = 0. 001. 练习2：将下列对数式与指数式进行互化.2-4=4； 53=125； (3)屁=2； (4)屁232 = 5.答案：(1)1。&2存=4.(2)log5125 = 3.(3)102=a.(4)25 = 32.类型二对数基本性质的应用例2：求下列各式中x的值.(1) log2(log5x) =0；(2)log3(lgx) =1；解析：(1)log2(log5x)=0, .log5x=1,.x=5.(2) log3(lgx)=1,.lgx=3,.x=103=1 000.答案：(1) x=5. (2) x=1 000.练习 1：已知 log2(log3(log4x)=log3(log4(log2y)=0,求 x+y 的值.答案：80练习 2：已知 4a=2, lgx=a,则 x=.答案：、用类型三对数的运算法则例 3：计算 log 2+log ?(a0 且 a/1)； aa2(2) log318 log32；(3) 2log510+log50.25；解析：(1)loga2 + logai=loga(2x2)=loga1 = 0.(2) log318 log32 = log3(182)=log39 = 2.(3) 2log510+log50.25 = log5100+log50.25= log5(100X0.25)=log525 = 2.答案：(1) 0 (2) 2 (3) 2练习 1：计算 log535 + 2log2 log50 log514 的值.答案：4练习2：计算：2log510+log50.25的值为.答案：2类型四带有附加条件的对数式的运算18例 4： lg2=a, lg3=b,试用 a、b 表示 lg108, lg.解析：lg108 = lg(27X4)=lg(33X 22) =lg33+lg22 = 3lg3 + 2lg2 = 2a+3b.r 18,、 /、 r ,lg橱=lg18 lg25 = lg(2X32)lg27=lg2 + lg32 lg102+lg22 = lg2 + 2lg3 2 + 2lg2 = 3a+ 2b2.答案：3a+2b2.练习 1：已知 lg2 = 0.3010, lg3 = 0.4771，求 lg%45.答案：0.8266练习 2：若 lgxlgy=a,则 lg(j)3 lg(y)3等于()22A. aB. aC.3D. 3a22答案:D类型五应用换底公式求值15例 5:计算：lg2lg+lg12.5 log89log278.15解析：lg2lg8+lg12.5 log89Tog278一 1 1 25 燮 lg8-lg2 lg8 + lg2 lg8 , lg27，1 8 25)2lg3 2 1 -lgl2X5X 2J-1 3-3答案：3练习 1: 计算(log 125 + log 25 + log 5)(log 2 + log 4+log 8).248525125答案：13练习2: log89log32的值为()A. 2B. 1C.|32答案：A类型六应用换底公式化简例 6:已知 log89-a, log25-b,用 a、b 表示 lg3.lg9 2lg3 解析：log89=l=旅-a,小lg5 1 lg2又- log25-i2-F-b,由消去lg2可得：lg3-2 富 .3a答案：尾3-厂+练习 1:已知 log23-a, log37-b，则 log1456-()ab+3a b+3b+3D. 2ab3D. ab+1A，ab+1B，ab+1，ab+1答案：A练习2:已知log72-p, log75-q,则则lg5用p、q表示为（B C尝p+qp+qA. pqD.pq1+pq答案：B自我练习1、使对数loga（ 2a+1）有意义的a的取值范围为（）1B. 0a0 且 a/1D. a1).若设x=at,试用a、t表示y；(2)若当0tW2时，y有最小值8,求a和x的值.答案：(1)y=at2-3t+3(t0).(2)a= 16, x=64.