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第四章 图形的认识 4.4多边形与平行四边形,中考数学 (河南专用),A组 2014-2018年河南中考题组,五年中考,1.(2018河南,9,3分)如图,已知AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),点B在x轴正半轴上.按以下步骤作图:以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在AOB内交于点F;作射线OF,交边AC于点G.则点G的坐标为 () A.(-1,2)B.(,2)C.(3-,2)D.(-2,2),答案A如图,设AC与y轴交于点H. 在AOBC中,ACOB,AHy轴, A(-1,2),AO=, 由作图知OF平分AOB,AOF=BOF=AGO, AG=AO=,HG=AG-AH=-1, 点G的坐标为(-1,2).故选A.,思路分析根据作图方法可知OF平分AOB,在AOBC中判定AOG为等腰三角形,用勾股定理可求相关边长度,进而求得点G的坐标.,方法总结本题考查了平行四边形的性质、基本作图、勾股定理,主要载体为一种数学模型,如下图,若存在3个条件:ABCD,CB平分ACD,AC=AB.取任意两个作条件,一定能得出第三个.,2.(2015河南,7,3分)如图,在ABCD中,用直尺和圆规作BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=6,AB=5,则AE的长为() A.4B.6C.8D.10,答案C设AE与BF交于点O.由题可知AF=AB,BAE=FAE,AEBF,OB=BF=3,在Rt AOB中,AO=4. 四边形ABCD是平行四边形,ADBC,FAE=BEA, BAE=BEA,AB=BE,AE=2AO=8.故选C.,思路分析在ABCD中作BAD的平分线,得到等腰三角形ABF和等腰三角形BAE,由等腰三角形的性质和勾股定理求得AE的长.,3.(2014河南,7,3分)如图,ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ABAC.若AB=4,AC=6,则BD的长是() A.8B.9C.10D.11,答案C在ABCD中,AO=CO,BO=DO, AC=6,AO=3, ABAC,在RtABO中,BO=5, BD=2BO=10,故选C.,4.(2016河南,10,3分)如图,在ABCD中,BEAB交对角线AC于点E,若1=20,则2的度数为.,答案110(或110),解析在ABCD中,ABCD,所以BAC=1=20.又因为BEAB,所以ABE=90,故2= BAC+ABE=20+90=110.,考点一多边形,B组 2014-2018年全国中考题组,1.(2018北京,5,2分)若正多边形的一个外角是60,则该正多边形的内角和为() A.360B.540C.720D.900,答案C由多边形外角和为360,可知这个正多边形的边数为36060=6,由多边形内角和公式可知内角和为180(6-2)=720.故选C.,2.(2016北京,4,3分)内角和为540的多边形是(),答案C设边数为n,由多边形内角和公式得(n-2)180=540,解得n=5,所以该多边形为五边形,故选C.,3.(2015安徽,8,4分)在四边形ABCD中,A=B=C,点E在边AB上,AED=60,则一定有() A.ADE=20B.ADE=30 C.ADE=ADCD.ADE=ADC,答案D由三角形内角和等于180,AED=60,可得ADE=120-A,由四边形内角和为360, A=B=C,得ADC=360-3A,所以ADE=ADC,故选D.,评析本题考查了三角形和四边形的内角和定理,难点在于借助A来判断ADE和ADC之间的数量关系,属于基础题.,4.(2018河北,19,6分)如图1,作BPC平分线的反向延长线PA,现要分别以APB,APC,BPC为内角作正多边形,且边长均为1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案. 例如:若以BPC为内角,可作出一个边长为1的正方形,此时BPC=90,而=45是360(多 边形外角和)的,这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形,填充花纹后得到一个符合要 求的图案,如图2所示. 图2中的图案外轮廓周长是; 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,则会标的外轮廓周长是. 图1,图2,答案14;21,解析题图2中的图案由两个边长均为1的正八边形和1个边长为1的正方形组成,且三个正多边形三边相连,题图2中的图案外轮廓周长是6+6+2=14.由于三个正多边形的边长均为1,显然以APB,APC为内角的两个正多边形的边数越多(即以BPC为内角的正多边形的边数越少),会标的外轮廓周长越大.当以BPC为内角的正多边形为等边三角形时,会标的外轮廓周长最大.此时APB=150,以APB,APC为内角的两个正多边形均为正十二边形,会标的外轮廓周长为10+10+1=21.,5.(2017福建,15,4分)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所示,则AOB等于度.,答案108,解析如图,正五边形中每一个内角都是108, OCD=ODC=180-108=72. COD=36. AOB=360-108-108-36=108.,6.(2017陕西,14,3分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BAD=BCD=90,连接AC,若AC=6,则四边形ABCD的面积为.,答案18,解析过点A作AEAC交CD的延长线于点E,易知EAD=CAB.BAD=BCD=90,ADC+ABC=180.又ADE+ADC=180,EDA=CBA,又AD=AB,AED ACB,AE=AC=6,四边形ABCD的面积等于ACE的面积,故S四边形ABCD=ACAE=66=18.,一题多解本题也可以用旋转的方法作图.以点A为旋转中心,把ACB逆时针旋转90至 AED的位置,则AEDACB,EDA=B,AE=AC,根据DAB=DCB=90,得到ADC+ B=180,即EDA+ADC=180,故E,D,C三点在同一条直线上,故ACE是等腰直角三角形,接下来同上.,7.(2016河北,22,9分)已知n边形的内角和=(n-2)180. (1)甲同学说,能取360;而乙同学说,也能取630.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n;若不对,说明理由; (2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360,用列方程的方法确定x.,解析(1)甲对,乙不对.(2分) =360,(n-2)180=360. 解得n=4.(3分) =630,(n-2)180=630,解得n=. n为整数,不能取630.(5分) (2)依题意,得(n-2)180+360=(n+x-2)180.(7分) 解得x=2.(9分),评析本题是一道典型的把方程思想与多边形的内角和结合在一起的题目,解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式,以及隐含的一个重要条件多边形的边数是不小于3的正整数,另外,还要知道一个常识性的结论:多边形边数每增加1,它的内角和增加180.,1.(2018内蒙古呼和浩特,8,3分)顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形,从ABCD;BC=AD;A=C;B=D四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有() A.5种B.4种C.3种D.1种,考点二平行四边形,答案C能够得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有、,共三种.故选C.,2.(2016河北,13,2分)如图,将ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B处.若1=2=44,则B为() A.66B.104C.114D.124,答案C设AB与CD相交于点P,由折叠知CAB=CAB,由ABCD,得1=BAB, CAB=CAB=1=22.在ABC中,CAB=22,2=44,B=180-22-44=114.,评析折叠问题是中考中的常见题目,在解决这类问题时,要抓住折叠前后图形的变化特征,从某种意义上说,折叠问题其实就是轴对称问题.,3.(2015浙江宁波,7,4分)如图,ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使ABECDF,则添加的条件不能为() A.BE=DFB.BF=DEC.AE=CFD.1=2,答案C四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AB=CD, ABE=CDF. 若添加BE=DF,则根据SAS可判定ABECDF; 若添加BF=DE,易得BE=DF,则根据SAS可判定ABECDF; 若添加AE=CF,则为SSA,不可判定ABECDF; 若添加1=2,则根据ASA可判定ABECDF. 故选C.,4.(2017四川成都,14,4分)如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交 于点P;作射线AP,交边CD于点Q,若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD的周长为.,答案15,解析由作图知AQ平分DAB,在ABCD中,ABCD,所以DAQ=BAQ=DQA,所以DQ=DA=BC=3.因为DQ=2QC,所以DC=4.5.所以平行四边形ABCD的周长为2(4.5+3)=15.,5.(2017湖北武汉,13,3分)如图,在ABCD中,D=100,DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则EBC的度数为.,答案30,解析四边形ABCD是平行四边形, BCAD,ABDC,ABC=D, DAB+D=180,D=100, DAB=80,ABC=100. 又DAB的平分线交DC于点E, EAD=EAB=40. AE=AB, ABE=(180-40)=70, EBC=ABC-ABE=100-70=30.,6.(2016内蒙古呼和浩特,15,3分)已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限,对角线AC的中点在坐标原点,一边AB与x轴平行且AB=2,若点A的坐标为(a,b),则点D的坐标为.,答案(-a-2,-b)或(-a+2,-b),解析因为ABx轴,A(a,b),且AB=2,所以B的坐标为(a+2,b)或(a-2,b),因为ABCD是中心对称图形,其对称中心与原点重合,所以点B与点D关于原点对称,所以点D的坐标为(-a-2,-b)或(-a+2,-b).,7.(2018湖北黄冈,20,8分)如图,在ABCD中,分别以边BC,CD作等腰BCF,CDE,使BC=BF,CD=DE,CBF=CDE,连接AF,AE. (1)求证:ABFEDA; (2)延长AB与CF相交于点G.若AFAE,求证:BFBC.,证明(1)四边形ABCD是平行四边形,AB=CD=DE,BF=BC=AD,ABC=ADC, 又CBF=CDE,ABF=ADE, 在ABF与EDA中,AB=ED,ABF=EDA,BF=DA, ABFEDA. (2)由(1)知EAD=AFB, GBF=AFB+BAF=EAD+BAF, 易知ADBC,DAG=CBG,AFAE,EAF=90, FBC=FBG+CBG=EAD+FAB+DAG=EAF=90, BFBC.,8.(2016湖南长沙,22,8分)如图,AC是ABCD的对角线,BAC=DAC. (1)求证:AB=BC; (2)若AB=2,AC=2,求ABCD的面积.,解析(1)证明:四边形ABCD为平行四边形,ADBC,DAC=BCA,又BAC= DAC,BAC=BCA,AB=BC. (2)连接BD交AC于O,AB=BC,且四边形ABCD为平行四边形, 四边形ABCD为菱形,ACBD,BO2+OA2=AB2, 即BO2+=22,BO=1,BD=2BO=2, SABCD=BDAC=22=2.,9.(2015辽宁沈阳,24,12分)如图,在ABCD中,AB=6,BC=4,B=60,点E是边AB上一点,点F是边CD上一点,将ABCD沿EF折叠,得到四边形EFGH,点A的对应点为H,点D的对应点为点G. (1)当点H与点C重合时. 填空:点E到CD的距离是; 求证:BCEGCF; 求CEF的面积; (2)当点H落在射线BC上,且CH=1时,直线EH与直线CD交于点M,请直接写出MEF的面积.,解析(1)2. 证明:四边形ABCD是平行四边形, AD=BC,D=B,A=BCD, 由折叠可知,AD=CG,D=G,A=ECG, BC=GC,B=G,BCD=ECG, BCE=GCF,BCEGCF. 过点E作EPBC于P, B=60,EPB=90,BEP=30,BE=2BP. 可设BP=m,则BE=2m, EP=BEsin 60=2m=m. 由折叠可知,AE=CE. AB=6,AE=CE=6-2m, BC=4,PC=4-m. 在RtECP中, 由勾股定理得(4-m)2+(m)2=(6-2m)2, m=,EC=6-2m=6-2=. BCEGCF,CF=EC=, SCEF=2=. (2)或4.,考点一多边形,C组 教师专用题组,1.(2018内蒙古呼和浩特,3,3分)已知一个多边形的内角和为1 080,则这个多边形是() A.九边形B.八边形 C.七边形D.六边形,答案B设该多边形的边数为n,则由题意可得180(n-2)=1 080,解得n=8.故选B.,2.(2018云南,9,4分)一个五边形的内角和为() A.540B.450 C.360D.180,答案A由多边形内角和公式,得五边形的内角和为(5-2)180=540.,3.(2017云南,10,4分)若一个多边形的内角和为900,则这个多边形是() A.五边形B.六边形 C.七边形D.八边形,答案C设这个多边形的边数为n,由多边形内角和定理得(n-2)180=900,解得n=7,即这个多边形为七边形.故选C.,4.(2017辽宁沈阳,10,2分)正六边形ABCDEF内接于O,正六边形的周长是12,则O的半径是() A.B.2 C.2D.2,答案B由正六边形的周长是12,可得BC=2,连接OB、OC,则BOC=60,所以BOC 为等边三角形,所以OB=BC=2,即O的半径为2,故选B.,5.(2016江苏南京,5,2分)已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为() A.1B. C.2D.2,答案B正六边形一条边的两个端点与其内切圆圆心的连线及这条边构成一个等边三角形,正六边形的内切圆半径即为这个等边三角形的高,所以内切圆半径=2sin 60=,故选B.,6.(2016四川南充,10,3分)如图,正五边形ABCDE的边长为2,连接对角线AD,BE,CE,线段AD分别与BE和CE相交于点M,N.给出下列结论: AME=108;AN2=AMAD;MN=3-;SEBC=2-1.其中正确结论的个数是() A.1B.2C.3D.4,答案C如图,五边形ABCDE是正五边形,AB=EA=DE,EAB=DEA=108,EABDEA,AEB=EDA,AME=MED+EDA,AME=MED+AEB=DEA=108,故正确; 易得1=2=4=5=36,3=36,6=AEN=72,AE=AN,1=1,AED=AME=108,AEMADE,=,AE2=AMAD,AN2=AMAD,故正确; 设AM=x,则AD=AM+MD=x+2,由得22=x(x+2),解得x1=-1,x2=-1(不合题意,舍去),AD= -1+2=+1,MN=AN-AM=3-,故正确; 作EHBC于点H,则BH=BC=1,EB=AD=+1,EH=,SEBC=BCEH =2=,故错误.故选C.,评析本题考查了正五边形的性质、相似多边形的判定及性质、勾股定理等知识.,7.(2014河北,15,3分)如图,边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图),则=() A.3B.4C.5D.6,答案C解法一:正六边形是由6个边长为a的正三角形组成的,S正六边形=aa6=a2.S 空白=aa2=a2.所以S阴影=a2-a2=a2.S阴影S空白=5,故选C. 解法二:正六边形是由6个边长为a的正三角形组成的,而题图中两个三角形可拼成一个边长为a的正三角形,所以=5.故选C.,8.(2017上海,18,4分)我们规定:一个正n边形(n为整数,n4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”,记为n,那么6=.,答案,解析如图,在正六边形ABCDEF中,AD为最长对角线,AE为最短对角线,可求得EAD=30,AED=90,=cos 30=,6=.,思路分析确定最长及最短对角线,构造直角三角形,利用锐角三角函数求,即6.,一题多解如图,设正六边形ABCDEF的边长为1,可求得AE=,AD=2,=,即6=.,9.(2015天津,17,3分)如图,在正六边形ABCDEF中,连接对角线AC,BD,CE,DF,EA,FB,可以得到一个六角星.记这些对角线的交点分别为H,I,J,K,L,M,则图中等边三角形共有个.,答案8,解析题图中的等边三角形可分为两大类:第一类:分别以B,A,F,E,D,C为顶点的小等边三角形,有BHM,AML,FLK,EKJ,DJI,CIH,共6个; 第二类:分别以B,F,D和A,C,E为顶点的大等边三角形,有BFD和ACE,共2个. 故题图中等边三角形共有6+2=8(个).,10.(2015浙江杭州,16,4分)如图,在四边形纸片ABCD中,AB=BC,AD=CD,A=C=90,B=150.将纸片先沿直线BD对折,再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪,剪开后的图形打开铺平.若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形,则CD=.,答案2+4或2+,解析四边形纸片ABCD中,A=C=90,B=150,D=30.根据题意对折、裁剪、铺平后有两种情况得到平行四边形:如图1,剪痕BM、BN,过点N作NHBM于点H,易证四边形BMDN为菱形,且MBN=D=30.设BN=DN=x,则NH=x.根据题意,得xx=2x=2(负值舍 去),BN=DN=2,NH=1.易证四边形BHNC是矩形,BC=NH=1.在RtBCN中,CN=.CD= 2+. 图1 如图2,剪痕AE、CE,过点B作BHCE于点H,易证四边形BAEC是菱形,且BCH=30.设BC=CE,=x,则BH=x.根据题意,得xx=2x=2(负值舍去),BC=CE=2,BH=1.在RtBCH中,CH= ,EH=2-.易证BCDEHB,=,即=.CD=4+ 2. 综上所述,CD=2+或4+2.,图2,评析本题主要考查剪纸问题,多边形内角和定理,轴对称的性质,菱形、矩形的判定和性质,含30度角的直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,分类思想和方程思想的应用.,11.(2018江西,15,6分)如图,在四边形ABCD中,ABCD,AB=2CD,E为AB的中点.请仅用分别按下列要求画图(保留画图痕迹). (1)在图1中,画出ABD的BD边上的中线; (2)在图2中,若BA=BD,画出ABD的AD边上的高.,解析画法如图. (1)AF即为所求. (2)BF即为所求.,思路分析(1)(见答案第一个图)连接EC,通过判断四边形BEDC是平行四边形得出EC和BD的交点F为线段BD的中点,进而画出所求; (2)(见答案第二个图)连接EC,ED,连接点A与EC和BD的交点,利用三角形重心的性质及等腰三角形三线合一的知识画出ABD的AD边上的高.,解题关键本题考查复杂作图,解题的关键是灵活运用平行四边形的性质和三角形的重心及等腰三角形三线合一等知识解决问题.,12.(2017江西,16,6分)如图,已知正七边形ABCDEFG,请,分别按下列要求画 图. (1)在图1中,画出一个以AB为边的平行四边形; (2)在图2中,画出一个以AF为边的菱形.,解析(1)如图.(画法有多种,正确画出一种即可,以下几种画法仅供参考),(3分),(2)如图.(画法有两种,正确画出其中一种即可),(6分),13.(2015浙江温州,20,8分)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形.如何计算它的面积?奥地利数学家皮克(G.Pick,18591942)证明了格点多边形的面积公式:S=a+b-1,其中a表示多边形内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,S表示多边形的 面积.如图1,a=4,b=6,S=4+6-1=6. (1)请在图2中画一个格点正方形,使它的内部只含有4个格点,并写出它的面积; (2)请在图3中画一个格点三角形,使它的面积为,且每条边上除顶点外无其他格点. 图1,图2 图3,解析(1)画法不唯一,如图或图. (2)画法不唯一,如图,图等.,14.(2014安徽,23,14分)如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作PMAB交AF于M,作PNCD交DE于N. (1)MPN=; 求证:PM+PN=3a; (2)如图2,点O是AD的中点,连接OM、ON.求证:OM=ON; (3)如图3,点O是AD的中点,OG平分MON,判断四边形OMGN是不是特殊四边形,并说明理由. 图1,图2 图3,解析(1)60.(2分) 证明:如图1,连接BE交MP于H点. 在正六边形ABCDEF中,PNCD,又BECDAF,所以BE PNAF.又PMAB,所以四边形AMHB、四边形HENP为平行四边形,BPH为等边三角形. 所以PM+PN=MH+HP+PN=AB+BH+HE=AB+BE=3a.(5分) 图1 (2)证明:如图2,连接BE,由(1)知AM=EN. 又AO=EO,MAO=NEO=60, 所以MAONEO.所以OM=ON.(9分),图2 (3)四边形OMGN是菱形.理由如下: 如图3,连接OE、OF,由(2)知MOA=NOE. 因为AOE=120, 所以MON=AOE-MOA+NOE=120.(11分) 由于OG平分MON,所以MOG=60,又FOA=60, 所以MOA=GOF. 又AO=FO,MAO=GFO=60, 所以MAOGFO.所以MO=GO.,又MOG=60,所以MGO为等边三角形. 同理可证NGO为等边三角形,所以四边形OMGN为菱形.(14分) 图3,评析本题是一道综合题,解题的关键是恰当地作出辅助线,根据三角形全等找出相等的线段,属难题.,1.(2015黑龙江哈尔滨,7,3分)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,点F在BC的延长线上,连接EF,分别交AD,CD于点G,H,则下列结论错误的是() A.=B.= C.=D.=,考点二平行四边形,答案C四边形ABCD是平行四边形,ADBC, EAGEBF, =,A中结论正确, ABCD,GEAGHD, =,B中结论正确, ABCD,=, 又BC=AD,=,D中结论正确.故选C.,2.(2014山东济南,10,3分)如图,在ABCD中,延长AB到点E,使BE=AB,连接DE交BC于点F,则下列结论的是() A.E=CDFB.EF=DF C.AD=2BFD.BE=2CF,答案DCDBE,E=CDF,又BE=AB=CD,BFE=CFD,BEFCDF,EF=DF.BE=AB,ADBF,AD=2BF,故A、B、C选项均正确,只有D选项不一定正确.故选D.,3.(2018陕西,14,3分)如图,点O是ABCD的对称中心,ADAB,E、F是AB边上的点,且EF=AB; G、H是BC边上的点,且GH=BC.若S1,S2分别表示EOF和GOH的面积,则S1与S2之间的等 量关系是.,答案2S1=3S2,解析如图,连接AC,BD,交点为O,四边形ABCD为平行四边形,AO=OC,SABO=SOBC,EF=AB, S1=SABO,GH=BC,S2=SOBC,所以2S1=3S2.,4.(2017内蒙古呼和浩特,15,3分)如图,在ABCD中,B=30,AB=AC,O是两条对角线的交点,过点O作AC的垂线分别交边AD,BC于点E,F;点M是边AB的一个三等分点.则AOE与BMF的面积比为.,答案34,解析如图,过点M作MPBC于点P,过点A作AQBC于点Q, 在平行四边形ABCD中,O是两条对角线的交点, AOECOF. B=30,AB=AC, ACB=B=30. ACEF, 在RtOFC中,设OF=x,则OC=x,FC=2x. SAOE=SOFC=OFOC=x2. AB=AC=2OC=2x, 在RtABQ中,BQ=3x,BC=6x. BF=4x. 点M是边AB的一个三等分点, MB=x. 在RtBMP中,MP=MB=x, SBMF=BFMP=x2. SAOESBMF=34.,5.(2016宁夏,13,3分)在平行四边形ABCD中,BAD的平分线AE交BC于点E,且BE=3,若平行四边形ABCD的周长是16,则EC等于.,答案2,解析在ABCD中,ADBC,DAE=AEB.AE平分BAD,BAE=DAE,BAE=AEB.AB=BE=3.BC=(16-2AB)=5.EC=BC-BE=2.,6.(2015山东临沂,17,3分)如图,在ABCD中,连接BD,ADBD,AB=4,sin A=,则ABCD的面 积是.,答案3,解析四边形ABCD为平行四边形,且ADBD,RtABDRtCDB.在RtABD中,AB=4,sin A=,BD=3,AD=,SRtABD=ADBD=,于是SABCD=2 SRtABD=2=3.,7.(2014福建福州,14,4分)如图,在ABCD中,DE平分ADC,AD=6,BE=2,则ABCD的周长是.,答案20,解析四边形ABCD是平行四边形,AD=6,BE=2, BC=AD=6,EC=4. 又DE平分ADC,ADE=EDC. ADBC,ADE=DEC, DEC=EDC.CD=EC=4. ABCD的周长是2(6+4)=20.,评析本题考查平行四边形的性质和等腰三角形的判定,属中等难度题.,8.(2018福建,18,8分)如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD,BC分别相交于点E,F.求证:OE=OF.,证明四边形ABCD是平行四边形, OD=OB,ADBC, ODE=OBF. 又DOE=BOF, DOEBOF, OE=OF.,解后反思本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识.,9.(2018重庆,24,10分)如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是BC上一点,且AB=AE,连接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G. (1)若AH=3,HE=1,求ABE的面积; (2)若ACB=45,求证:DF=CG.,解析(1)AH=3,HE=1,AB=AE, AB=AE=AH+HE=4. BGAE, AHB=90. AB2=AH2+BH2. BH=. SABE=AEBH=4=2.(4分) (2)证明:四边形ABCD为平行四边形, ADBC,AD=BC,FAO=ECO. 点O为AC的中点,AO=CO. 在AOF和COE中, FAO=ECO,AO=CO,AOF=COE, AOFCOE, AF=CE.,DF=BE.(6分) 如图,过点A作AMBC交BC于点M,交BG于点Q,过点G作GNBC交BC于点N. AMB=AME=GNC=GNB=90. AHB=AMB. AQH=BQM,QAH=GBN. AB=AE,AMBE, BAM=QAH,BM=ME. BAM=QAH=GBN.,ACB=45,AMBE,CAM=ACB=45. BAG=45+BAM,BGA=45+GBN, BAG=BGA. AB=GB. AB=AE,AE=BG. 在AME和BNG中, AME=BNG,EAM=GBN,AE=BG, AMEBNG. ME=NG. BE=2ME=2NG. 在RtGNC中,GCN=45,CG=NG. CG=2NG,即BE=2NG=CG. DF=BE=CG.(10分),思路分析(1)根据勾股定理求出BH的长,进而利用三角形的面积公式求得ABE的面积;(2)根据平行四边形的性质和全等三角形可得BE=DF.过点A作AMBC,过点G作GNBC,根据等腰三角形的性质得BAM=QAH,BM=ME=BE,通过求证BAM=GBN,可得BAG= BGA,进而可得AB=AE=BG,利用AMEBNG,得出NG=ME=BE,最后利用CG=NG得出 DF=BE=CG.,方法指导对于以特殊四边形为背景的全等三角形的判定,一般都是通过特殊四边形的性质找出证全等所需要的边或角的相等关系,从而进行证明.,10.(2016陕西,19,7分)如图,在ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF=DE,连接AF、CE.求证:AFCE.,证明如图,四边形ABCD是平行四边形, ADBC,AD=BC. 1=2.(2分) 又BF=DE, BF+BD=DE+BD.DF=BE.(4分) ADFCBE.(5分) AFD=CEB. AFCE.(7分),11.(2016山东青岛,21,8分)已知:如图,在ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G,H,交BD于点O. (1)求证:ABECDF; (2)连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由.,解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形, AB=CD,BAD=DCB. 又AE=CF, ABECDF.(4分) (2)菱形. 四边形ABCD是平行四边形, ADBC,AD=BC, AE=CF, AD-AE=BC-CF,即ED=BF, 四边形BEDF是平行四边形, OB=OD. 又DG=BG,OGBD. BEDF是菱形.(8分),12.(2016江苏南京,24,7分)如图,在ABCD中,E是AD上一点,延长CE到点F,使FBC=DCE. (1)求证:D=F; (2)用直尺和圆规在AD上作出一点P,使BPCCDP(保留作图的痕迹,不写作法).,解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形, ADBC. CED=BCF. CED+DCE+D=180,BCF+FBC+F=180, D=180-CED-DCE,F=180-BCF-FBC. 又DCE=FBC,D=F.(4分) (2),图中P就是所求作的点.(7分),13.(2016北京,19,5分)如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分BAD,交DC的延长线于点E.求证:DA=DE.,证明四边形ABCD为平行四边形, ABCD,BAE=E. AE平分BAD,BAE=DAE. E=DAE,DA=DE.,14.(2016吉林,19,7分)图,图都是88的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1,在每个正方形网格中标注了6个格点,这6个格点简称为标注点. (1)请在图,图中,以4个标注点为顶点,各画一个平行四边形(两个平行四边形不全等); (2)图中所画的平行四边形的面积为.,解析(1)本题答案不唯一,以下答案供参考. (3分),(5分) 友情提示:图中所画的平行四边形与图中所画的平行四边形全等,图不给分. (2)6.(7分),15.(2015河北,22,10分)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.,已知:如图,在四边形ABCD中, BC=AD, AB=. 求证:四边形ABCD是四边形. (1)在方框中填空,以补全已知和求证; (2)按嘉淇的想法写出证明;,(3)用文字叙述所证命题的逆命题为.,证明:,解析(1)CD.(1分) 平行.(2分) (2)证明:连接BD.(3分) 在ABD和CDB中, AB=CD,AD=CB,BD=DB, ABDCDB.(5分) 1=2,3=4, ABCD,ADCB.(7分) 四边形ABCD是平行四边形.(8分) (3)平行四边形的对边相等.(10分),16.(2015上海,23,12分)已知:如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点E在边BC的延长线上,且OE=OB,连接DE. (1)求证:DEBE; (2)如果OECD,求证:BDCE=CDDE.,证明(1)OE=OB,OBE=OEB. 平行四边形ABCD的对角线相交于点O, OB=OD. OE=OD.ODE=OED. 在BDE中,OBE+OEB+OED+ODE=180, BED=90,即DEBE. (2)OECD,CDE+DEO=90. 又CEO+DEO=90, CDE=CEO. OBE=OEB,OBE=CDE. BED=DEC,DBECDE. =. BDCE=CDDE.,17.(2015黑龙江哈尔滨,24,8分)如图1,ABCD中,点O是对角线AC的中点,EF过点O,与AD,BC分别相交于点E,F,GH过点O,与AB,CD分别相交于点G,H,连接EG,FG,FH,EH. (1)求证:四边形EGFH是平行四边形; (2)如图2,若EFAB,GHBC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外).,解析(1)证明:四边形ABCD为平行四边形, ADBC,EAO=FCO.(1分) OA=OC,AOE=COF, OAEOCF,OE=OF,(2分) 同理,OG=OH.(3分) 四边形EGFH是平行四边形.(4分) (2)GBCH,ABFE,EFCD,EGFH(答对一个给1分).(8分),考点一多边形 1.(2018镇平一模,5)如图,正六边形ABCDEF内接于O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM的长为() A.2B.2 C.D.4,三年模拟,A组 20162018年模拟基础题组,答案B如图所示,连接OB,OC, 多边形ABCDEF是正六边形,BOC=60. OB=OC,BOC是等边三角形,OBM=60. OM=OBsinOBM=4=2.故选B.,2.(2016开封一模,12)若正多边形的一个外角是72,则这个正多边形的内角和的度数是.,答案540,解析这个正多边形的边数为36072=5,则这个正多边形的内角和为(5-2)180=540.,3.(2017河北邯郸一模,22)已知n边形的对角线共有条(n是不小于3的整数). (1)五边形的对角线共有条; (2)若n边形的对角线共有35条,求边数n; (3)若n边形的边数增加1,对角线总数增加9,求边数n.,解析(1)5. (2)由题意,得=35, 整理,得n2-3n-70=0, 解得n1=10,n2=-7(舍去). 边数n为10. (3)由题意,得+9=, 整理,得2n=20, 解得n=10. 边数n为10.,1.(2018西华一模,9)如图,ABC中,ABC=BAC,D是AB的中点,ECAB,DEBC,AC与DE交于点O.下列结论中,不一定成立的是() A.AC=DEB.AB=AC C.AD=ECD.OA=OE,考点二平行四边形,答案B ECAB,DEBC, 四边形BDEC是平行四边形, BD=CE,B=E. 又ABC=BAC, CEO=DAO. 又D是AB的中点, AD=BD,AD=CE, AODEOC, AD=CE,OA=OE. BC=DE,BC=AC, AC=DE. 而AB=AC无法证得.故选B.,2.(2017郑州一模,6)如图,已知ABC中,ACB=90,BC=3,AC=4,小红按如下步骤作图:分别以A,C为圆心,大于AC的长为半径在AC两侧作弧,交于两点M,N;连接MN,分别交AB,AC于 点D,O;过C作CEAB交MN于点E,连接AE,CD.则四边形ADCE的周长为() A.10B.20C.12D.24,答案A在RtABC中,ACB=90,AB=5,由作图知MN垂直平分AC,则ED CB,DC=AB=,又CEAB,易得四边形ADCE为平行四边形,所以四边形ADCE的周长为4= 10,故选A.,3.(2016洛阳一模,11)如图,在ABCD中,点E在BC边上,且AEBC于点E,DE平分CDA,若BEEC=12,则BCD的度数为.,答案120,解析在ABCD中,ADBC,ADE=CED. DE平分CDA,ADE=CDE. CED=CDE,CE=CD,设BE=x,则EC=CD=AB=2x,在RtABE中,cos B=,B=60, C=180-B=120.,1.(2018驻马店一模,5)如图,在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作BAD的平分线AG交BC于点F,若BE=6,AB=5,则AF的长为() A.4B.6C.8D.10,B组20162018年模拟提升题组 (时间:20分钟分值:24分),一、选择题（共3分）,答案C如图,设AF与BE交于点H. AF平分BAD,ADBC, BAF=DAF=AFB, AB=BF. AE=AB,AH=AH, ABHAEH, AHB=AHE=90,ABH=AEH=FBH,BH=HE=3, RtABH中,AH=4, AF=2AH=8.故选C.,思路分析本题主要考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质,先判定ABHAEH,得出AHB=AHE=90,ABH=AEH=FBH,BH=HE=3,再根据勾股定理可得AH的长,进而得出AF的长.,2.(2018沈丘一模,12)如图,在ABCD中,点O是对角线AC、BD的交点,AC垂直于BC,且AB=10 cm,AD=8 cm,则OB=cm.,二、填空题(每小题3分,共12分),答案,解析四边形ABCD是平行四边形, BC=AD=8 cm,OB=OD,OA=OC. ACBC, AC=6(cm). OC=AC=3 cm. OB=(cm).,思路分析本题考查平行四边形的性质、勾股定理,在ABCD中,根据勾股定理求出AC,得出OC,再由勾股定理求出OB.,3.(2017焦作一模,12)如图,在ABCD中,DB=DC,C=58,AEBD于E,则DAE=度.,答案32,解析DB=DC,DBC=C=58. 在ABCD中,ADBC,ADE=DBC=58, AEBD, DAE=90-ADE=32.,4.(2017郑州二模,13)如图,在平行四边形ABCD中,连接AC,按以下步骤作图,分别以点A,C为圆心,以大于AC的长为半径画弧,两弧分别相交于点M,N,作直线MN交CD于点E,交AB于点F.若 AB=5,BC=3,则ADE的周长为.,答案8,解析由作图知MN垂直平分AC,所以AE=CE. 在ABCD中,AD=BC=3,CD=AB=5, 所以CADE=AD+AE+DE=AD+CE+DE=AD+CD=8.,思路分析根据平行四边形的性质得CD=AB,AD=BC,由MN垂直平分AC得AE=CE,从而求得ADE的周长.,5.(2016许昌一模,10)如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE交DC于点F,若DF=2,则FC=.,答案4,解析在ABCD中,ABDC,ABEFDE, =,E是OD的中点,BO=DO,BE=3DE,=.AB=3DF=6,FC=DC-DF= AB-DF=4.,思路分析根据平行四边形的性质判定ABEFDE,利用相似的性质求得AB的长,再求FC的长.,6.(2016新乡二模,17)如图,AC是ABCD的一条对角线,过AC的中点O的直线分别交AD,BC于点E,F. (1)求证:AE=CF; (2)连接AF,CE. 当EF和AC满足条件:时,四边形AFCE是菱形; 若AB=1,BC=2,B=60,则当四边形AFCE为矩形时,EF的长是.,二、解答题(共9分),解析(1)证明:在ABCD中,ADBC,EAO=FCO,AEO=CFO. 又AO=CO,AOECOF.AE=CF.(5分) (2)EFAC.(7分) .(9分),思路分析(1)根据AAS判定AOECOF,得出AE=CF;(2)由菱形的判定定理知,当EFAC时,四边形AFCE为菱形.若AFBC,则四边形AFCE是矩形,此时EF=AC,求得AC的长即可.,解题关键掌握平行四边形以及特殊的平行四边形的性质及判定是本题的关键.,
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