中考数学点直线与圆的位置关系解答题(3)

2015年中考数学点直线与圆的位置关系解答题（3）21. （2014湖南永州,第24题10分）如图，点A是O上一点，OAAB，且OA=1，AB=，OB交O于点D，作ACOB，垂足为M，并交O于点C，连接BC（1）求证：BC是O的切线；（2）过点B作BPOB，交OA的延长线于点P，连接PD，求sinBPD的值考点：切线的判定；全等三角形的判定与性质.专题：证明题分析：（1）连结OC，根据垂径定理由ACOB得AM=CM，于是可判断OB为线段AC的垂直平分线，所以BA=BC，然后利用“SSS”证明OABOCB，得到OAB=OCB，由于OAB=90，则OCB=90，于是可根据切线的判定定理得BC是O的切线；（2）在RtOAB中，根据勾股定理计算出OB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得ABO=30，AOB=60，在RtPBO中，由BPO=30得到PB=OB=2；在RtPBD中，BD=OBOD=1，根据勾股定理计算出PD=，然后利用正弦的定义求sinBPD的值解答：（1）证明：连结OC，如图，ACOB，AM=CM，OB为线段AC的垂直平分线，BA=BC，在OAB和OCB中，OABOCB，OAB=OCB，OAAB，OAB=90，OCB=90，OCBC，BC是O的切线；（2）解：在RtOAB中，OA=1，AB=，OB=2，ABO=30，AOB=60，PBOB，PBO=90，在RtPBO中，OB=2，BPO=30，PB=OB=2，在RtPBD中，BD=OBOD=21=1，PB=2，PD=，sinBPD=点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了垂径定理、勾股定理和全等三角形的判定与性质22. （2014随州，第22题8分）如图，O中，点C为的中点，ACB=120，OC的延长线与AD交于点D，且D=B（1）求证：AD与O相切；（2）若点C到弦AB的距离为2，求弦AB的长考点：切线的判定；解直角三角形分析：（1）连接OA，由=，得CA=CB，根据题意可得出O=60，从而得出OAD=90，则AD与O相切；（2）设OC交AB于点E，由题意得OCAB，求得CE=2，RtBCE中，由三角函数得BE=2，即可得出AB的长解答：（1）证明：如图，连接OA，=，CA=CB，又ACB=120，B=30，O=2B=60，D=B=30，OAD=180（O+D）=90，AD与O相切；（2）解：设OC交AB于点E，由题意得OCAB，CE=2，在RtBCE中，BE=2=2AB=2BE=4点评：本题考查了切线的判定和解直角三角形，是中学阶段的中点，要熟练掌握23、（2014江西，第22题8分）如图1，AB是圆O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是圆O上半部分的一个动点，连接OP，CP。（1）求OPC的最大面积；（2）求OCP的最大度数；（3）如图2，延长PO交圆O于点D，连接DB，当CP=DB，求证：CP是圆O的切线.【考点】切线的判定与性质【分析】（1）、（2）都是当PC相切与圆时，面积和OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得（3）连接AP，BP通过ODBBPC可求得DPPC，从而求得PC是O的切线【解答】解：（1）OPC的边长OC是定值。当OPOC时，OC边长的高为最大值，此时OPC的面积最大。此时PC即为O的切线，AB=4，BC=2OP=OB2，OCOBBC4，即OPC的最大面积为4.（2）当PC与O相切即OPPC时，OCP的度数最大.在RtOPC，OPC90，OC4，OP2，OCP，即OCP的最大度数为30.（3）连接AP，BP，AOP=DOB，APDB.CP=DB，AP=CP，A=C，A=D，C=D，在PDB与OCP中，OCPD4，C=D，PCBD，PDBOPC（SAS），OPC=PBD，PD是直径，PBD=90，OPC90，OP，PC，又OP是圆的半径，PC是O的切线24、（2014宁夏，第23题8分）在等边ABC中，以BC为直径的O与AB交于点D，DEAC，垂足为点E（1）求证：DE为O的切线；（2）计算考点：切线的判定；等边三角形的性质分析：（1）连接OD，根据等边三角形性质得出B=A=60，求出等边三角形BDO，求出BDOA，推出ODAC，推出ODDE，根据切线的判定推出即可；（2）求出AD=AC，求出AE=AC，CE=AC，即可求出答案解答：（1）证明：连接OD，ABC为等边三角形，ABC=60，又OD=OB，OBD为等边三角形，BOD=60=ACB，ODAC，又DEAC，ODE=AED=90，DE为O的切线；（2）解：连接CD，BC为O的直径，BDC=90，又ABC为等边三角形，AD=BD=AB，在RtAED中，A=60，ADE=30，AE=AD=AC，CE=ACAE=AC，=3点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的判定，切线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力25(2014陕西,第24题8分)如图，O的半径为4，B是O外一点，连接OB，且OB=6，过点B作O的切线BD，切点为D，延长BO交O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C（1）求证：AD平分BAC；（2）求AC的长考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质分析：（1）首先连接OD，由BD是O的切线，ACBD，易证得ODAC，继而可证得AD平分BAC；（2）由ODAC，易证得BODBAC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AC的长解答：（1）证明：连接OD，BD是O的切线，ODBD，ACBD，ODAC，2=3，OA=OD，1=3，1=2，即AD平分BAC；（2）解：ODAC，BODBAC，解得：AC=点评：此题考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用26（2014四川广安,第25题9分）如图，AB为O的直径，以AB为直角边作RtABC，CAB=90，斜边BC与O交于点D，过点D作O的切线DE交AC于点E，DGAB于点F，交O于点G（1）求证：E是AC的中点；（2）若AE=3，cosACB=，求弦DG的长考点：切线的性质分析：（1）连AD，由AB为直径，根据圆周角定理得推论得到ADB=90，而ACB=90，根据切线的判定定理得到AC是O的切线，而DE与O相切，根据切线长定理得ED=EA，则EDA=EAD，利用等角的余角相等可得到C=CDE，则ED=EC，即可得到EA=EC；（2）由（1）可得AC=2AE=6，结合cosACB=推知sinACB=，然后利用圆周角定理、垂径定理，解直角三角形即可求得DG的长度解答：（1）证明：连AD，如图AB为O的直径，CAB=90，AC是O的切线，又DE与O相切，ED=EA，EAD=EDA，而C=90EAD，CDE=90EDA，C=CDE，ED=EC，EA=EC，即E为BC的中点；（2）解：由（1）知，E为BC的中点，则AC=2AE=6cosACB=，sinACB=连接AD，则ADC=90在RtACD中，AD=ACsinACB=6=在RtADF中，DF=ADsinDAF=ADsinACB=，DG=2DF=点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题27（2014四川绵阳,第23题12分）如图，已知ABC内接于O，AB是O的直径，点F在O上，且满足=，过点C作O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点（1）求证：AEDE；（2）若tanCBA=，AE=3，求AF的长考点：切线的性质分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，=，易证得OCAE，又由过点C作O的切线交AB的延长线于D点，易证得AEDE；（2）由AB是O的直径，可得ABC是直角三角形，易得AEC为直角三角形，AE=3，然后连接OF，可得OAF为等边三角形，继而求得答案解答：（1）证明：连接OC，OC=OA，BAC=OCA，=，BAC=EAC，EAC=OCA，OCAE，DE且O于点C，OCDE，AEDE；（2）解：AB是O的直径，ABC是直角三角形，tanCBA=，CBA=60，BAC=EAC=30，AEC为直角三角形，AE=3，AC=2，连接OF，OF=OA，OAF=BAC+EAC=60，OAF为等边三角形，AF=OA=AB，在RtACB中，AC=2，tanCBA=，BC=2，AB=4，AF=2点评：此题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及圆周角定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用28（2014贵州黔西南州, 第22题12分）如图，点B、C、D都在O上，过C点作CABD交OD的延长线于点A，连接BC，B=A=30，BD=2（1）求证：AC是O的切线；（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积（结果保留）第1题图考点：切线的判定；扇形面积的计算分析：（1）连接OC，根据圆周角定理求出COA，根据三角形内角和定理求出OCA，根据切线的判定推出即可；（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分别求出ACO的面积和扇形COD的面积，即可得出答案解答：（1）证明：连接OC，交BD于E，B=30，B=COD，COD=60，A=30，OCA=90，即OCAC，AC是O的切线；（2）解：ACBD，OCA=90，OED=OCA=90，DE=BD=，sinCOD=，OD=2，在RtACO中，tanCOA=，AC=2，S阴影=22=2点评：本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中29. （2014黑龙江哈尔滨,第25题8分）如图，O是ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE（1）求ACB的度数；（2）过点O作OFAC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长第2题图考点：三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理分析：（1）首先得出AEBDEC，进而得出EBC为等边三角形，即可得出答案；（2）由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长解答：（1）证明：在AEB和DEC中，AEBDEC（ASA），EB=EC，又BC=CE，BE=CE=BC，EBC为等边三角形，ACB=60；（2）解：OFAC，AF=CF，EBC为等边三角形，GEF=60，EGF=30，EG=2，EF=1，又AE=ED=3，CF=AF=4，AC=8，EC=5，BC=5，作BMAC于点M，BCM=60，MBC=30，CM=，BM=，AM=ACCM=，AB=7点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质和勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，得出CM，BM的长是解题关键30. (2014黑龙江牡丹江, 第22题6分)如图，已知O中直径AB与弦AC的夹角为30，过点C作O的切线交AB的延长线于点D，OD=30cm求：直径AB的长第3题图考点：切线的性质分析：先求出COD，根据切线的性质OCD，求出D，根据含30度角的直角三角形性质求出OC，即可求出答案解答：解：A=30，OC=OA，ACO=A=30，COD=60，DC切O于C，OCD=90，D=30，OD=30cm，OC=OD=15cm，AB=2OC=30cm点评：本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力，题目比较好，难度适中-欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-