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二次函数与四边形,1.如图,已知:正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为s,AE为x,则s关于x的函数图象大致是,如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90,得到ABO(1)一抛物线经过点A、B、B,求该抛物线的解析式;,(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PBAB的面积是ABO面积4倍?若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由(3)在(2)的条件下,试指出四边形PBAB是哪种形状的四边形?,一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线过A、B两点。(1)求这个抛物线的解析式;,(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N。求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少?(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标。,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且18a+c=0(1)求抛物线的解析式,(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动移动开始后第t秒时,设PBQ的面积为S,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围,(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+2x+3与x轴交于AB两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点(1)求直线AC的解析式及BD两点的坐标;,(2)点P是x轴上一个动点,过P作直线lAC交抛物线于点Q,试探究:随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点AP、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由,如图,抛物线y=x22x+c的顶点A在直线l:y=x5上(1)求抛物线顶点A的坐标;(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点CD(C点在D点的左侧),试判断ABD的形状;,(3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、ABD为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由,已知抛物线的顶点坐标为Q(2,-1),且与轴交于点C(0,3),与轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),点P是该抛物线上一动点,从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合),过点P作PDy轴,交AC于点D(1)求该抛物线的函数关系式;,图16,(2)当ADP是直角三角形时,求点P的坐标;(3)在问题(2)的结论下,若点E在轴上,点F在抛物线上,问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形?若存在,,图16,点P为函数y0.25x2在第一象限内的图象上的任一点,点A的坐标为(0,1),直线l过B(0,1)且与x轴平行,过P作y轴的平行线分别交x轴,l于C,Q,连结AQ交x轴于H,直线PH交y轴于R(1)求证:H点为线段AQ的中点;,2)求证:四边形APQR为平行四边形;平行四边形APQR为菱形;,(3)除P点外,直线PH与抛物线y0.25x2有无其它公共点?并说明理由,如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(3,0),点B(1,0),交y轴于点E(0,3)点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线l过点F且与y轴平行直线y=x+m过点C,交y轴于D点(1)求抛物线的函数表达式;,(2)点K为线段AB上一动点,过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值;(3)在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标,已知:直角坐标平面内有点,过原点的直线,且与过点A、O的抛物线相交于第一象限的点B,若(1)求抛物线的解析式;(2)作轴于点C,设有直线交直线于P,交抛物线于点Q,若B、C、P、Q组成的四边形是平行四边形,求m的值,如图,直线y=x+3与坐标轴分别交于A,B两点,抛物线y=ax2+bx3a经过点A,B,顶点为C,连接CB并延长交x轴于点E,点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称(1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标;(2)求证:四边形ABCD是直角梯形,建立二次函数模型、数形结合,2010年南京市,本题条件中“过M作EF的垂线交射线BC于点G”成为建立函数关系的关键。,解:(1)当时,(2)当时,(3)当时,
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