变分法简介(简单_明了_易懂)

1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰伯努利（Johann Bernoulli，16671748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de lHospital 1661-1704）、雅可比伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton16421727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard，17071783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支变分学。有趣的是，在1690年约翰伯努利的哥哥雅可比伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。 伽利略（Galileo, 15641643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 16291695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程解此方程并适当选取参数，得 （1）即为悬链线。悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！ 现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题。求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。1.1 变分法的基本概念1.1.1 泛函的概念设为一函数集合，若对于每一个函数有一个实数与之对应，则称是定义在上的泛函，记作。称为的容许函数集。例如，在上光滑曲线y(x)的长度可定义为 （2）考虑几个具体曲线，取，若，则若y(x)为悬链线，则对应中不同的函数y(x)，有不同曲线长度值J，即J依赖于y(x)，是定义在函数集合上的一个泛函，此时我们可以写成我们称如下形式的泛函为最简泛函 （3）被积函数包含自变量，未知函数(t)及导数(t)。如，上述曲线长度泛函即为一最简泛函。1.1.2 泛函极值问题考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题：在所有连接定点的平面曲线中，试求长度最小的曲线。即，求，使 取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为，称泛函在取得极小值，如果对于任意一个与接近的，都有。所谓接近，可以用距离来度量，而距离可以定义为泛函的极大值可以类似地定义。其中称为泛函的极值函数或极值曲线。1.1.3 泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数在的增量记为也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作如果可以表为其中为的线性项，而是的高阶项，则称为泛函在的变分，记作。用变动的代替，就有。泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数的导数： （4）这是因为当变分存在时，增量 根据和的性质有 所以1.2 泛函极值的相关结论1.2.1 泛函极值的变分表示利用变分的表达式（4），可以得到有关泛函极值的重要结论。泛函极值的变分表示：若在达到极值（极大或极小），则 （5）证明：对任意给定的，是变量的函数，该函数在处达到极值。根据函数极值的必要条件知再由（4）式，便可得到（5）式。变分法的基本引理：，有，则。证明略。1.2.2 泛函极值的必要条件考虑最简泛函（3），其中F具有二阶连续偏导数，容许函数类S取为满足端点条件为固定端点（6）的二阶可微函数。 ， （6）泛函极值的必要条件：设泛函（3）在x(t)S取得极值，则x(t)满足欧拉方程 （7）欧拉方程推导：首先计算（3）式的变分： 对上式右端第二项做分部积分，并利用，有，所以利用泛函极值的变分表示，得 因为的任意性，及，由基本引理，即得（7）。（7）式也可写成 （8）通常这是关于x(t)的二阶微分方程，通解中的任意常数由端点条件（6）确定。1.2.3 几种特殊形式最简泛函的欧拉方程(i) 不依赖于，即 这时，欧拉方程为，这个方程以隐函数形式给出，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。 (ii) 不依赖，即欧拉方程为 将上式积分一次，便得首次积分，由此可求出，积分后得到可能的极值曲线族(iii) 只依赖于，即这时，欧拉方程为由此可设或，如果，则得到含有两个参数的直线族。另外若有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数的直线族，它包含于上面含有两个参数的直线族 中，于是，在情况下，极值曲线必然是直线族。（iv）只依赖于和，即这时有，故欧拉方程为此方程具有首次积分为事实上，注意到不依赖于，于是有。1. 3 几个经典的例子1.3.1 最速降线问题 最速降线问题 设和是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结和的平面曲线中，求一曲线，使质点仅受重力作用，初速度为零时，沿此曲线从滑行至的时间最短。解 将A点取为坐标原点，B点取为B(x1,y1)，如图1。根据能量守恒定律，质点在曲线上任一点处的速度满足（为弧长）A(0, 0) x 将代入上式得 B(x1,y1) y 图1最速降线问题于是质点滑行时间应表为的泛函端点条件为 最速降线满足欧拉方程，因为 不含自变量，所以方程（8）可写作等价于作一次积分得 令 则方程化为又因 积分之，得由边界条件，可知，故得这是摆线（园滚线）的参数方程，其中常数可利用另一边界条件来确定。1.3.2 最小旋转面问题最小旋转面问题 对于平面上过定点和的每一条光滑曲线，绕轴旋转得一旋转体。旋转体的侧面积是曲线的泛函，易得容许函数集可表示为解 因不包含，故有首次积分化简得 令，代入上式， 由于 积分之，得 消去，就得到 。这是悬链线方程，适当选择条件（令该悬链线过（0，1/a）点，且该点处的切线是水平的）就可得到（1）。本例说明，对于平面上过两个定点的所有光滑曲线，其中绕轴旋转所得旋转体的侧面积最小的是悬链线！1.3.3 悬链线势能最小1691年，雅可比伯努利证明：悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能。下面我们用变分法证明之。考虑通过A、B两点的各种等长曲线。令曲线yf(x)的长度为L，重心坐标为，则 由重心公式有 ， 由于只需探讨曲线重心的高低，所以只对纵坐标的公式进行分析，注意到问题的表述，说明L是常数，不难看出重心的纵坐标是y(x)的最简泛函，记作此时对应的欧拉方程（8）可化为令解得 ，进而得。此即为悬链线，它使重心最低，势能最小！大自然中的许多结构是符合最小势能的，人们称之为最小势能原理。1.4 泛函极值问题的补充1.4.1 泛函极值的几个简单推广（）含多个函数的泛函使泛函取极值且满足固定边界条件的极值曲线必满足欧拉方程组（ii）含高阶导数的泛函使泛函 取极值且满足固定边界条件 , 的极值曲线必满足微分方程 （iii） 含多元函数的泛函设，使泛函 取极值且在区域的边界线上取已知值的极值函数必满足方程 上式称为奥式方程。1.4.2端点变动的情况（横截条件）设容许曲线在固定，在另一端点时不固定，是沿着给定的曲线上变动。于是端点条件表示为 这里是变动的，不妨用参数形式表示为 寻找端点变动情况的泛函极值必要条件，可仿照前面端点固定情况进行推导，即有 （9）再对（9）式做如下分析：（i）对每一个固定的，都满足欧拉方程，即（9）式右端的第一项积分为零；（ii）为考察（9）式的第二、第三项，建立与之间的关系，因为 对求导并令得 即 （10）把（10）代入（9）并利用的任意性，得 （11）（11）式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。横截条件有两种常见的特殊情况：（i）当是垂直横轴的直线时，固定，自由，并称为自由端点。此时（9）式中及的任意性，便得自由端点的横截条件 （12）（ii）当是平行横轴的直线时，自由，固定，并称为平动端点。此时，（11）式的横截条件变为 * （13）注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。1.4.3 有约束条件的泛函极值在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统 * （14）寻求最优性能指标（目标函数） * （15）其中是控制策略，是轨线，固定，及自由，（不受限，充满空间），连续可微。下面推导取得目标函数极值的最优控制策略和最优轨线的必要条件。采用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑 （16）的无条件极值，首先定义（14）式和（15）式的哈密顿（Hamilton）函数为 （19）（17）将其代入（16）式，得到泛函 （20）(18)下面先对其求变分 （注：第一项利用公式（14）化简后） （注意最后两项是根据等号前最后一个积分项利用分部积分法得到。）同时注意到，因而 再令，由的任意性，便得（i）必满足正则方程： 状态方程 协态方程 。（ii）哈密顿函数作为的函数，也必满足 并由此方程求得。（iii）求时，必利用边界条件 ， （用于确定） ， （用于确定） ， （确定）1.4.4 最大（小）值原理如果受控系统 ，其控制策略的全体构成有界集，求，使性能指标 达到最大（小）值。最大（小）值原理：如果，和都是连续可微的，那么最优控制策略和相应的最优轨线由下列的必要条件决定：（i）最优轨线，协态向量由下列的必要条件决定： ， （ii）哈密顿函数 作为的函数，最优策略必须使 或使 (最小值原理)（iii）满足相应的边界条件 若两端点固定，则正则方程的边界条件为 ，。 若始端固定，终端也固定，而自由，则正则方程的边界条件为 ，。 若始端固定，终端都自由，则正则方程的边界条件为 ， 。12