2012年中考数学压轴题分类汇编01动点问题4与圆

2012年中考数学压轴题分类汇编01动点问题4与圆30. （2012湖南湘潭10分）如图，在O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点（1）如图1，求证：PCDABC；（2）当点P运动到什么位置时，PCDABC？请在图2中画出PCD并说明理由；（3）如图3，当点P运动到CPAB时，求BCD的度数【答案】解：（1）证明：AB是O的直径，ACB=90。PDCD，D=90。D=ACB。A与P是所对的圆周角，A=P，PCDABC。（2）当PC是O的直径时，PCDABC。理由如下：AB，PC是O的半径，AB=PC。PCDABC，PCDABC。画图如下：（3）ACB=90，AC=AB，ABC=30。PCDABC，PCD=ABC=30。CPAB，AB是O的直径，。ACP=ABC=30。BCD=ACACPPCD=903030=30。【考点】圆周角定理，全等三角形的判定，垂径定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由AB是O的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得ACB=90，又由PDCD，可得D=ACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得A=P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：PCDABC。（2）由PCDABC，可知当PC=AB时，PCDABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得。（3）由ACB=90，AC=AB，可求得ABC的度数，然后利用相似，即可得PCD的度数，又由垂径定理，求得，然后利用圆周角定理求得ACP的度数，从而求得答案。32. （2012山东莱芜10分）)如图，在菱形ABCD中，AB2，A60，以点D为圆心的D与边AB相切于点E(1)求证：D与边BC也相切；(2)设D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积(结果保留)；(3)D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当SHDFSMDF时，求动点M经过的弧长(结果保留)【答案】解：（1）证明：连接DE，过点D作DNBC，垂足为点N。 四边形ABCD是菱形，BD平分ABC。 D与边AB相切于点E，DEAB。DN=DE。 D与边BC也相切。（2）四边形ABCD是菱形，AB2，ADAB2。又A60，DEADsin6003，即D的半径是3。又HDFHADC60，DHDF，HDF是等边三角形。过点H作HGDF，垂足为点G，则HG3sin600。（3）假设点M运动到点M1时，满足SHDFSMDF，过点M1作M1PDF，垂足为点P，则，解得。 。M1DF30。此时动点M经过的弧长为：。过点M1作M1M2DF交D于点M2，则满足，此时M2DF150，动点M经过的弧长为：。综上所述，当SHDFSMDF时，动点M经过的弧长为或。【考点】菱形的性质，角平分线的性质，切线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，扇形的面积和弧长公式。【分析】（1）连接DE，过点D作DNBC，垂足为点N，则根据菱形的性质可得BD平分ABC，根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质可得DN=DE，即BC垂直于过D上点N的半径，从而得到D与边BC也相切的结论。（2）求出HDF和扇形HDF即可求得阴影部分的面积。（3）根据SHDFSMDF求出圆心角即可求动点M经过的弧长。注意有两点。33. （2012四川南充8分）如图，C的内接AOB中，AB=AO=4,tanAOB=,抛物线经过点A(4，0)与点（-2，6）（1）求抛物线的函数解析式（2）直线m与C相切于点A交y轴于点D，动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动;同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动，点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQAD时,求运动时间t的值（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当ROB面积最大时，求点R的坐标.【答案】解：（1）把点A(4，0)与点（-2，6）代入抛物线，得： ，解得，。抛物线的函数解析式为：。 （2）连接AC交OB于E，过点O作OFAD于点F。 直线m切C于A ，ACm。 弦AB=AO， 。ACOB。mOB。OAD=AOB。OA=4，tanAOB=，tanOAD=，sinOAD=。OD=OAtanOAD=4=3，OF=OAsinOAD=4=2.4。t秒时，OP=t，DQ=2t，若PQAD， 则FQ=OP=t，DF=DQ-FQ=t。在 ODF中，t=DF=（秒）。当PQAD时,运动时间t的值为 1.8秒。 （3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当ROB面积最大时，点R到OB的距离最大。此时，过点R平行于直线OB的直线与抛物线只有一个交点。 tanAOB=，直线OB为。 设过点R平行于直线OB的直线l：， 联立和得，整理得。 直线l与抛物线只有一个交点，=，解得。 将代入得，解得。 将代入得。 R（）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，直线与圆相切的性质，弦和弧的关系，垂径定理，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，勾股定理，一元二次方程根的判别式。【分析】（1）将点A(4，0)与点（-2，6）代入抛物线y=ax2+bx，得方程组，解之即可得出解析式。（2）先得到OAD=AOB ，作OFAD于F，再求出OF的长，t秒时，OP=t,DQ=2t,若PQAD 则FQ=OP=t，DF=DQ-FQ=t。在ODF中，应用勾股定理即可求得结论。（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当ROB面积最大时，点R到OB的距离最大。此时，过点R平行于直线OB的直线与抛物线只有一个交点。求出直线OB的解析式，设过点R平行于直线OB的直线l：，联立和，根据一元二次方程根的判别式求出，即可求得点R的坐标。37. （2012河北省10分）如图，A（5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，CBO=45，CDABCDA=90点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒（1）求点C的坐标；（2）当BCP=15时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的P随点P的运动而变化，当P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值【答案】解：（1）BCO=CBO=45，OC=OB=3。又点C在y轴的正半轴上，点C的坐标为（0，3）。（2）分两种情况考虑：当点P在点B右侧时，如图2，若BCP=15，得PCO=30，故PO=COtan30=。此时t=4+当点P在点B左侧时，如图3，由BCP=15，得PCO=60，故OP=COtan60=3。此时，t=4+3t的值为4+或4+3（3）由题意知，若P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：当P与BC相切于点C时，有BCP=90，从而OCP=45，得到OP=3，此时t=1。当P与CD相切于点C时，有PCCD，即点P与点O重合，此时t=4。当P与AD相切时，由题意，得DAO=90，点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9t）2，PO2=（t4）2。于是（9t）2= PO2=（t4）2，即8118tt2=t28t169，解得，t=5.6。综上所述，t的值为1或4或5.6。【考点】动点问题，切线的性质，坐标与图形性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）由CBO=45，BOC为直角，得到BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标。（2）分点P在点B右侧和点P在点B左侧两种情况讨论即可。（3）当P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况讨论：当P与BC边相切时，当P与CD相切于点C时，当P与CD相切时。