4.1正项级数(2)4.2交错级数与任意项级数

4.1正项级数(2)4.2交错级数与任意项级数一、相关问题31.无穷级数迟少,另宜nJn,有什么特点？怎样讨论其收敛性?解是交错级数，需有特殊的判别法：Leibniz审敛法讨论其敛散性。Esinnpsinn和口乙有什么特点？怎样讨论其收敛性?nn2n=1n=1解是任意项级数，可分析其条件收敛性、绝对收敛性。二、相关内容1. 如何用比值审敛法、根值审敛法和极限审敛法判定级数的收敛性？2. Leibniz定理使用时需要满足哪两个条件？3. 条件收敛与绝对收敛的区别和联系。4. 如何判断任意项级数是否收敛，是否绝对收敛？解见教材，略。三、练习题1.运用Leibniz判别法考察级数E(-1)n-1的敛散性。nn=11解u=显然uunnn，且limu=0，所以由Leibniz判别法知级数收敛。n+1nns(1)nn2判别级数E的敛散性。-1-(1+x)2：x(x-1)22)，所以函数亠二单调递减，uunn+1又limu=lim“=0，所以由Leibniz判别法知级数收敛。nTsnnTsn13.判别下列级数的敛散性。E沁n2n=1an(2)乙(awR)n!n=1(-1)n-1sinEn+i3n+1n=1解(i)考虑加绝对值后的级数Ennn=1lim(n+1)!n=lim(丄(n+1)n+1n!nTgn+1u又lim士=nTgunTgn故原级数收敛且为绝对收敛。)n=1，所以收敛。ennn=12)考虑加绝对值后的级数n=1n!因为limn卄=limnTgunTgn故原级数收敛且为绝对收敛。n+1(n+1)!a=limnn*n+101，所以n!n=1nr收敛。sinn1sinnn2n2n23)因为1-n2艺丄而n=1n2收敛，si则n=1sinn收敛，故原级数收敛且为绝对收敛。|u.兀sin|=，limnTgn3n+1un+1un=30,xn+12(1+x)=n2+x(n=0,1,2,3)，证明数列x收敛，并求极限limx。nnnTg证x0，可得x0(n=0,l,2,3)0n，2(1+x)2+x2(2+x)22(1+x)=L=x2+xn+1nx0(n=0,l,2,3)考虑级数工lx-x丨,n，n+1nx由于丨一x一xnn-1一x丨丨f(x)一f(x)丨丨f(g)(x-x)丨1沪1=1nnI=Inn一1Kx-xx-x2nn-1nx一xnn-1所以级数工|x1n=0-xl收敛，从而工(x-x)1收敛。n+1nn=0n+1n令s=(x-x)l=x-x，nk+1kn+10k=0lims存在nnfg.limx=x+lims=l存在n+10nnfgnfg对蔦+i表达式两边取极限有1=罟,.l=J2或1=一/2(舍)limx=:2、思考题1. 能由比值审敛法判别收敛性的级数，它是否也能由根值审敛法判别？解凡能由比值审敛法判别收敛性的级数，它也能由根值审敛法来判断，而且根值审敛法较之比值审敛法更有效。2. 若级数工u绝对收敛，且其和等于S，则任意重排后所得到的级数是否收敛，是否nn=1绝对收敛，和为多少？解绝对收敛，和为S。3. 若区u=A和区v=B都绝对收敛，那么它们的乘积是否收敛？若收敛，乘积为nnn=1n=1多少？解收敛且绝对收敛，和等于AB。