【备考2014 志鸿优化设计】湖南专用2013版中考数学总复习 专题三 开放与探索专题讲练 名师解读 考向例析 提升演练含解析 湘教版

【备考2021 志鸿优化设计】湖南专用2021版中考数学总复习 专题三 开放与探索专题讲练+名师解读+考向例析+提升演练含解析 湘教版 专题三 开放与探索 开放探索型问题有条件开放与探索、结论开放与探索、条件结论都开放与探索等,这类题目新颖,思考方向不确定,因此比一般综合题更能考查学生综合运用知识的能力,从而深受命题者的青睐.题型以填空题、解答题为主. 考向一 条件开放问题 条件开放探索问题的特征是缺少确定的条件,所需补充的条件不能由结论直接推出,而满足结论的条件往往也是不唯一的. 【例1】 如图,ACBD于点P,AP=CP,请增加一个条件:使ABPCDP不能添加辅助线,你增加的条件是_. 解析:要证明ABPCDP,已经给出了两个条件:AP=CP,ACBD即APB=CPD=90,根据证明两个三角形全等的判断方法,可以添加一个条件角或者边. 答案:A=C,B=D,AB 方法归纳 解决此类题的方法是:从所给的结论出发,设想出符合要求的一些条件,逐一列出,运用所学的定理,进行逻辑推理,从而找出满足结论的条件. 考向二 结论开放问题 结论开放探索问题是给出问题的条件,让解题者根据条件探索相应的结论,符合条件的结论往往呈现多样性. 【例2】 2021广东河源如图1,线段AB的长为2a,点P是AB上的动点P不与A,B重合,分别以AP,PB为边向线段AB的同一侧作正APC和正PBD. 1当APC与 2连接AD,BC,相交于点Q,设AQC=,那么的大小是否会随点P的移动而变化?请说明理由. 3如图2,假设点P固定,将PBD绕点P按顺时针方向旋转旋转角小于180,此时的大小是否发生变化?只需直接写出你的猜测,不必证明 图1 图2 分析:1设等边APC边长为x,高为x,那么面积为x2,那么等边BDP边长为2a-x,高为2a-x,那么面积为2a-x2, 面积之和为S=x2+2a-x2=x2-ax+a2,这是一个二次函数的最值问题. 当x=a时,S最小=a2. 2判别的大小是否会随点P的移动而变化,只需计算AQC. 3根据2证明过程或直观可得结论. 解:1a 2的大小不会随点P的移动而变化. 理由:APC是等边三角形, PA=PC,APC=60. BDP是等边三角形, PB=PD,BPD=60,APC=BPD, APD=CPB,APDCPB, PAD=PCB. QAP+QAC+ACP=120, QCP+QAC+ACP=120, AQC=180-120=60. 3此时的大小不会发生改变,始终等于60. 方法归纳 解答此题将等边三角形的面积用二次函数表示是解答此题的难点.解答结论开放性问题常常需要借助直观或特殊化方法探求. 考向三 条件与结论开放问题 条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一,此类问题没有明确的条件和结论,并且符合条件的结论具有开放性,它要求学生通过自己的观察和思考,将的信息集中进行分析,通过这一思维活动揭示事物的内在联系. 【例3】 1如图1,在正方形ABCD中,M是BC边不含端点B,C上任意一点,P是BC延长线上一点,N是AMN=90,求证:AM=MN. 下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明. 证明:在边AB上截取AE=MC,连接ME.正方形ABCD中,B=BCD=90,AB=BC. NMC=180-AMN-AMB=180-B-AMB=MAB=MAE. 下面请你完成余下的证明过程 图1 图2 2假设将1中的“正方形ABCD改为“正三角形ABC如图2,N是ACP的平分线上一点,那么当AMN=60时,结论AM=MN是否还成立?请说明理由. 3假设将1中的“正方形ABCD改为“正n边形ABCDX,请你作出猜测:当AMN=_时,结论AM=MN仍然成立.直接写出答案,不需要证明 分析:证两条线段相等,最常用的方法是证明两条线段所在三角形全等.1中给出了线段EM,即想提示考生证明AEMAEMMCN.3是将12中特殊问题推广到一般情况,应抓住本质:AMN与正多边形的内角度数相等. 解:1AE=MC,BE=BM, BEM=EMB=45,AEM=135. CN平分DCP,PCN=45,AEM=MCN=135. 在AEM和MCN中, AEMMCN,AM=MN. 2仍然成立. 在边AB上截取AE=MC,连接ME. ABC是等边三角形, AB=BC,B=ACB=60, ACP=120. AE=MC,BE=BM, BEM=EMB=60, AEM=120. CN平分ACP,PCN=60, AEM=MCN=120. CMN=180-AMN-AMB=180-B-AMB=BAM,AEMMCN,AM=MN. 3. 方法归纳 解答此题的关键是结合已给出的材料借助类比思想进行.一般地,解答条件、结论开放探索问题,即条件和结论都不确定,首先要认定条件和结论,然后组成一个新的命题并加以证明或判断. 一、选择题 1.如图,在网格中有一个直角三角形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度,假设以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形,要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外,没有其他的公共点,新三角形的顶点不一定在格点上,那么符合要求的新三角形有 2.根据图1所示的程序,得到了y与x的函数图象如图2,过点M作PQ x0时,y随x的增大而增大, MQ=2PM, POQ可以等于90. 图1图2 其中正确的结论是 A. B.C. D. 二、填空题 三、解答题 5.如图,将ABC的顶点A放在O上,现从AC与O相切于点A如图1的位置开始,将ABC绕着点A顺时针旋转,设旋转角为0120,旋转后AC,AB分别与BAC=60,C=90,AC=8,O的直径为8. 图1 图2 备用图 1在旋转过程中,有以下几个量:弦EF的长;的长;AFE的度数;点O到EF的距离.其中不变的量是_填序号. 2当BC与O相切时,请直接写出的值,并求此时AEF的面积. 6.如图1,ABC与EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=AC=EF=9,BAC=DEF=90,固定ABC,将DEF绕点A顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE,DF或它们的延长线分别交BC或它的延长线于G,H点,如图2. 1问:始终与AGC相似的三角形有_及_; 2设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式只要求根据图2情形说明理由; 3问:当x为何值时,AGH是等腰三角形? 图1 图2 7.:如下图的一张矩形纸片ABCDADAB,将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连接AF和CE 1求证:四边形AFCE是菱形; 2假设AE=10 cm,ABF的面积为24 cm2,求ABF的周长; 3在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=AC?AP?假设存在,请说明点P的位置,并予以证明;假设不存在,请说明理由. 8.:二次函数y=x2+bx-3的图象经过点P-2,5. 1求b的值,并写出当10时,y=,y随x的增大而减小,错误;设OM=a,当y=a时,P点的横坐标为-,Q点的横坐标为,那么PM=,MQ=,那么MQ=2PM,正确;当点M在y轴的正半轴上由下向上运动时,POQ由180逐渐变小至0,POQ可以等于90,正确. 3.A=90或B=90或C=90或D=90或AC=BD答案不唯一,写出一种即可 由条件AB=DC,AD=BC,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,再要使ABCD是矩形,根据判定矩形的方法,只需有一个角为直角的平行四边形即为矩形,或者对角线相等的平行四边形是矩形,所以可添的条件为角是直角或对角线相等. 4.答案不唯一,所填写的数值只要满足m212即可,如4等 由于这个方程有实数根,因此=b2-4ac=-m2-12=m2-120,即m212. 5.解:1 2=90.依题意可知,ACB旋转90后AC为O直径,且点C与点E重合,因此AFE=90.AC=8,BAC=60,AF=AC=4,EF=4,SAEF=44=8. 6.解:1HGA HAB 2由1可知AGCHAB, =,即=, y=. 3由1知AGCHGA. 要使AGH是等腰三角形,只要AGC是等腰三角形即可. 有两种情况,1CG为底,AC=AG时,得AG=9,此时CG等于9,2CG为腰,CG=AG时,此时CG=. 7.解:1证明:由折叠可知EFAC,AO=CO. ADBC, EAO=FCO,AEO=CFO. AOECOF. EO=FO. 四边形AFCE是菱形. 2由1得AF=AE=10. 设AB=a,BF=b,得 a2+b2=100,ab=48. +2得a+b2=196,得a+b=14另一负值舍去. ABF的周长为24 cm. 3存在,过点E作AD的垂线交AC于点P,那么点P符合题意. 证明:AEP=AOE=90,EAP=OAE, AOEAEP. =,得AE2=AO?AP,即2AE2=2AO?AP. 又AC=2AO, 2AE2=AC?AP. 8.解:1把点P代入二次函数解析式,得5=-22-2b-3,解得b=-2. 所以二次函数解析式为y=x2-2x-3. 当x=1时,y=-4,当x=3时,y=0, 所以当1x3时,y的取值范围为-4y0. 2m=4时,y1,y2,y3的值分别为5,12,21, 由于5+1221,不能成为三角形的三边长. 当m取不小于5的任意实数时,由图象知y1y20,即y1+y2y3成立. 所以当m取不小于5的任意实数时,y1,y2,y3一定能作为同一个三角形三边的长.