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江苏省扬州中学高三模拟考试 数学试题 2016.5.20一、填空题：(共14题，总分70分)1已知集合，则等于 2已知虚数满足，则 3对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图根据产品标准，单件产品长度在区间25，30)的为一等品，在区间20，25)和30，35)的为二等品，其余均为三等品则样本中三等品的件数为 10152025304035（第3题）0.01250.05000.06250.02500.0375长度/毫米4.在平面直角坐标系xOy中，“双曲线的标准方程为”是“双曲线的渐近线方程为”成立的 条件(填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“非充分非必要”中的一种)5. 下图是一个算法流程图，则输出的的值是 。6如果实数满足线性约束条件，则的最小值等于 7. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是 8 设，为三条不同的直线，给出如下两个命题： 若，则；若，则 试类比以上某个命题，写出一个正确的命题：设，为三个不同的平面， 9.若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，k称为公比和已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，则 10函数的所有零点之和为 11已知，则的值为 12如果将直线：向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得直线与圆：相切，则实数的值构成的集合为 13已知点为的重心，且，则的值为 14若幂函数(a)及其导函数在区间(0，)上的单调性一致(同为增函数或同为减函数)，则实数a的取值范围是 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，A3C.(1) 求cosC的值；(2) 求sinB的值；(3) 若b3，求ABC的面积16. (本小题满分14分)如图，四边形AA1C1C为矩形，四边形CC1B1B为菱形，且平面CC1B1B平面AA1C1C，D、E分别为A1B1、C1C的中点求证：(1) BC1平面AB1C；(2) DE平面AB1C.17.(本小题满分14分)如图，某水域的两直线型岸边l1，l2 成定角120o，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D处有一固定桩现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC（B，C分别在l1和l2上），围出三角形ABC养殖区，且AB和AC都不超过5公里设ABx公里，ACy公里 （1）将y表示成x的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？18（本题满分16分） 定义：如果一个菱形的四个顶点均在一个椭圆上，那么该菱形叫做这个椭圆的内接菱形，且该菱形的对角线的交点为这个椭圆的中心如图，在平面直角坐标系中，设椭圆的所有内接菱形构成的集合为（1）求中菱形的最小的面积；（2）是否存在定圆与中的菱形都相切?若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由；（3）当菱形的一边经过椭圆的右焦点时，求这条边所在的直线的方程19（本题满分16分） 设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数， 其中为自然对数的底数. （1）求，的表达式； （2）设，证明：.20. 己知数列是公差不为零的等差数列，数列是等比数列（1）若（nN*），求证：为等比数列；（2）设（nN*），其中是公差为2的整数项数列，若，且当时，是递减数列，求数列的通项公式；（3）若数列使得是等比数列，数列的前项和为，且数列满足：对任意，N*,或者恒成立或者存在正常数，使恒成立，求证：数列为等差数列附加题1. （本小题满分10分）已知矩阵（1）求；（2）满足AX=二阶矩阵X2. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），且曲线上的点对应的参数，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线的普通方程；（2）若是曲线上的两点，求的值3、（本小题满分10分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为和(1)(1) 如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益回收资金投资资金)，求X的概率分布列及数学期望E(X)；(2) 若10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围4（本小题满分10分）设为虚数单位，为正整数（1）证明：；（2）结合等式“”证明： 江苏省扬州中学高三数学五月质量检测参考答案一、填空题：(共14题，总分70分)1已知集合，则等于 12已知虚数满足，则 23 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图根据产品标准，单件产品长度在区间25，30)的为一等品，在区间20，25)和30，35)的为二等品，其余均为三等品则样本中三等品的件数为 3. 【答案】100 4.在平面直角坐标系xOy中，“双曲线的标准方程为”是“双曲线的渐近线方程为”成立的 条件(填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“非充分非必要”中的一种)4.【答案】充分非必要5. 下图是一个算法流程图，则输出的的值是 5.596如果实数满足线性约束条件，则的最小值等于 6. 7. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是 来源:学#科#网Z#X#X#K7. 8 设，为三条不同的直线，给出如下两个命题： 若，则；若，则 试类比以上某个命题，写出一个正确的命题：设，为三个不同的平面， 8.若，则9.若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，k称为公比和已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，则 9.10函数的所有零点之和为 10.答案：8 方程即，令，这两个函数的图象都关于点对称，在区间内共有8个零点，从左往右记为，则，故所有零点和为811已知，则的值为 11.【解析】 12如果将直线：向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得直线与圆：相切，则实数的值构成的集合为 12.易得直线：，即，圆：的圆心到直线：的距离，解得或13如图，点为的重心，且，则的值为 13.以AB的中点M为坐标原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，则， 设，则， 因为OAOB，所以，从而， 化简得， 所以14若幂函数(a)及其导函数在区间(0，)上的单调性一致(同为增函数或同为减函数)，则实数a的取值范围是 14【答案】【解析】易得，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，综上得，二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知c(b)3(3)，A3C.(1) 求cosC的值；(2) 求sinB的值；(3) 若b3，求ABC的面积15. 解：(1) 因为ABC，A3C，所以B2C.(2分)又由正弦定理，得sinB(b)sinC(c)，c(b)sinC(sinB)，3(3)sinC(2sinCcosC)，化简，得cosC3(3).(5分)(2) 因为C(0，)，所以sinC3(1)3(6).所以sinBsin2C2sinCcosC23(6)3(3)3(2).(8分)(3) 因为B2C，所以cosBcos2C2cos2C123(1)13(1).(10分)因为ABC，所以sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC3(2)3(3)3(1)3(6)9(6).(12分)因为c(b)3(3)，b3，所以c2(9).所以ABC的面积S2(1)bcsinA2(1)32(9)9(6)4(2).(14分)16. (本小题满分14分)如图，四边形AA1C1C为矩形，四边形CC1B1B为菱形，且平面CC1B1B平面AA1C1C，D、E分别为A1B1、C1C的中点求证：(1) BC1平面AB1C；(2) DE平面AB1C. 16. 证明：(1) 四边形AA1C1C为矩形， ACC1C.(1分)又平面CC1B1B平面AA1C1C，平面CC1B1B平面AA1C1CCC1， AC平面CC1B1B.(3分) C1B平面CC1B1B, ACC1B.(4分)又四边形CC1B1B为菱形， B1CBC1.(5分) B1CACC，AC平面AB1C, B1C平面AB1C， BC1平面AB1C.(7分)(2) 取AA1的中点F，连结DF，EF. 四边形AA1C1C为矩形，E，F分别为C1C，AA1的中点， EFAC.又EF平面AB1C，AC平面AB1C， EF平面AB1C.(9分) D，F分别为边A1B1，AA1的中点， DFAB1.又DF平面AB1C，AB1平面AB1C， DF平面AB1C. EFDFF，EF平面DEF，DF平面DEF， 平面DEF平面AB1C.(12分) DE平面DEF, DE平面AB1C.(14分)17.(本小题满分14分)如图，某水域的两直线型岸边l1，l2 成定角120o，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D处有一固定桩现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC（B，C分别在l1和l2上），围出三角形ABC养殖区，且AB和AC都不超过5公里设ABx公里，ACy公里 （1）将y表示成x的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？ 试题解析：解：(1)由SABDSACDSABC得xsin60ysin60xysin120 2分所以x+y=xy，所以y 4分又0y5，0x5，所以x5 所以定义域为x|x5 6分 18（本题满分16分） 定义：如果一个菱形的四个顶点均在一个椭圆上，那么该菱形叫做这个椭圆的内接菱形，且该菱形的对角线的交点为这个椭圆的中心如图，在平面直角坐标系中，设椭圆的所有内接菱形构成的集合为（1）求中菱形的最小的面积；（2）是否存在定圆与中的菱形都相切?若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由；（3）当菱形的一边经过椭圆的右焦点时，求这条边所在的直线的方程 18.解：（1）如图，设， 当菱形的对角线在坐标轴上时，其面积为； 当菱形的对角线不在坐标轴上时，设直线的方程为：， 则直线的方程为：， 又椭圆， 由得， 从而， 同理可得，（3分） 所以菱形的面积为 (当且仅当时等号成立), 综上得，菱形的最小面积为；（6分）（2）存在定圆与中菱形的都相切，设原点到菱形任一边的距离为，下证：， 证明：由(1)知，当菱形的对角线在坐标轴上时， 当菱形的对角线不在坐标轴上时， ，即得， 综上，存在定圆与中的菱形都相切；（12分）（3）设直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 解得， 所以直线的方程为（16分）19（本题满分16分） 设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数， 其中为自然对数的底数. （1）求，的表达式； （2）设，证明：. 解：（1）由得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 从而，(4分) （2）当时， 所以，.(6分) 由（1）得，(8分) 当时， ， 设函数，(10分) 则，(12分) 若，则，故为上增函数， 所以， 若，则，故为上减函数， 所以， 综上知，.（16分）20. 己知数列是公差不为零的等差数列，数列是等比数列（1）若（nN*），求证：为等比数列；（2）设（nN*），其中是公差为2的整数项数列，若，且当时，是递减数列，求数列的通项公式；（3）若数列使得是等比数列，数列的前项和为，且数列满足：对任意，N*,或者恒成立或者存在正常数，使恒成立，求证：数列为等差数列（1）证明：，设公差为且，公比为，=常数，为等比数列3分（2）由题意得：对恒成立且对恒成立，5分 对恒成立 7分对恒成立 9分而或或. 10分（3）证明：设不妨设，即. 13分若，满足，若，则对任给正数M，则取内的正整数时，与矛盾.若，则对任给正数T=，则取内的正整数时=，与矛盾.，而是等差数列，设公差为，为定值，为等差数列. 16分附加题答案 1.已知矩阵（1）求；（2）满足AX=二阶矩阵X1.解：(1) 4分 (2) 10分2.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），且曲线上的点对应的参数，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线的普通方程；（2）若是曲线上的两点，求的值(1) (2) 3、某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为2(1)，4(1)，4(1)；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为和(1)(1) 如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益回收资金投资资金)，求X的概率分布列及数学期望E(X)；(2) 若10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围3. 解：(1) 依题意，X的可能取值为1，0，1，(2分)X的分布列为X101P2(1)4(1)4(1) (4分)E(X)12(1)14(1)4(1).(5分)(2) 设Y表示10万元投资乙项目的收益，则Y的分布列为Y22P (8分) E(Y)2242，依题意要求424(1)， 16(9)1.(10分)23（本小题满分10分）设为虚数单位，为正整数（1）证明：；（2）结合等式“”证明： 证明：（1）当时，即证； 假设当时，成立， 则当时， ， 故命题对时也成立， 由得，；（5分） （2）由（1）知， 其实部为； ， 其实部为， 根据两个复数相等，其实部也相等可得： （10分）
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