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1近似输入输出线性化近似输入输出线性化2一、线性化问题一、线性化问题非线性系统：两种折中的方法两种折中的方法:状态方程线性化 输入输出线性化(,)()xf x uyh xxAxBuyCx理想线性化,()xAxBuyh x(,),xf xABuyC3二、近似线性化问题二、近似线性化问题v 近似线性化是控制界早已熟知的系统设计方法，其中最常见、最原始的是取系统的一阶近似。这种方法虽然简便易行，但仅适用于工作点范围不大的情况。v 现代的近似线性化方法基本思想是通过坐标变换将强非线性系统变换成弱非线性系统，或是通过反馈以保持线性系统的部分特点。它是精确线性化问题的推广。近似线性化的两种思路：近似线性化的两种思路：1.状态方程近似线性化：伪线性化方法、扩展线性化方法、近似变换与近似线性化等2.输入输出近似线性化 4三、近似输入输出线性化三、近似输入输出线性化非正则情形：非线性系统对某些点x0U，其相对阶没有定义，即对某整数有 。但对充分靠近x0的点x却有 ，也即x0正好是 的零点。因此在该点不能直接利用输入输出方法实现精确线性化。10()0gfL Lh x1()0gfL Lh x1()0gfL Lh x 现实中确实存在不具有相对阶的系统，如球与连杆(The Ball and Beam)系统。1234()rxrxxxxyh xr 5 状态方程和输出方程为：122143(3)2244314()(),sin,cos2.a xb xyxyxyBx xBGxyBx xBGxxBx x u 2122143344()()1()00(sin)010g xf xh xxxxB x xGxuxxxyx 对输出y进行求导，直到输入u出现：6 虽然系统本身不具有相对阶，但其近似系统却可能具有。因此该方法的本质是寻找一个近似于原系统并具有相对阶的系统，然后用近似系统的控制策略控制原系统。()()()xf xg x uyh x 对单输入单输出仿射非线性控制系统：（1）输入输出线性化过程为重复对输出y进行求导，直到输入u首次出现在等式右边：()1()()fgfyL h xL Lh x u7 若 在x0点为零，即相对阶无定义，但在离x0点任意近的某些点不为零。也就是说，在x0点有 但不恒为零，即1()gfL Lh x10()0gfL Lh x10()()gfL Lh xO x 因此可以寻找一组关于状态x的函数 （i=1,）来近似系统的输出及各阶导数。因控制的目的是跟踪系统输出，因此第一个函数 必须逼近输出函数，即()ix1()x101()()(,)()yh xxx uyx 式中:200(,)()(,)x uxO x u 对其求导，得：11121()()()()(,)fgyxLxLx uxx u2()yx若 是O(x)或是更高阶，那么在选择 时将其忽略：1()gLx2()x8或者写为121()()(,)fguLxxx u式中：是含二阶及更高阶的非线性部分。继续该过程：21(,)(,)x uO x u()1()()(,)ifguiiiyLxxx u()1()iiyx直到在某一步有 ，即在第步成立：()()()()(,)fguyLxb xa x ux u()(1)gLxO或者写为 式中 a(x)=O(1)，即在原点邻域内非零，这使得原系统在忽略高阶项后，相对阶有定义（我们知此时近似系统的相对阶为），从而系统可以近似输入输出线性化。特别地，当=n时，就实现了系统所有状态的近似线性化。9四、鲁棒相对阶四、鲁棒相对阶 非线性系统(1)在x=0处有鲁棒相对阶，是指如果存在光滑函数 (i=1,)，使得()ix101()()(,)()()(,),1,.,1()()()(,)fguiiifguh xxx uLxxx uiLxb xa x ux u其中函数2(,)(,),(1,.,),()(1)ix uO x uia xO对仿射系统，满足以下形式：(,)ix u10012(,)()(,)()(),1,.,1iiix uxx uxx ui10注：1.2.的选取比较灵活，只要保证 即可。122()(),()()iixO xxO x()ix12()()ixO x 在球与连杆系统中，通过忽略高阶项来设计近似线性化系统。假设11()()xh x122231434324433()()sincossin(cos)b xa xxBGxBx xBGxxBGxxBGx u 1141222314234321422444314324()()sincos2(1)sin(cos2)b xa xxBGxBx xBGxxBx xBx x uBB xxB x xBGxBx xu 若非线性系统(1)的鲁棒相对阶为，那么光滑函数 在原点邻域U内是线性无关的。根据伏柔贝尼斯定理，可以选取一组函数 使得：()ix()ix()0,(1,.,)giLxin且和 一起构成一组基函数。因此系统(1)可变换为以下形式：()ix12式中 是 在坐标 下的表达式，在反馈控制律1211110(,)(,)(,)(,)(,)(,)x ux ubauqyx u (,)q fL(,)1(,)(,)ubva 作用下，系统(1)就近似实现了输入输出线性化。13参考文献参考文献v A New Approach to Dynamic Feedback Linearization Control of An Induction Motorv A Tool Box for Approximate Linearization of Nonlinear Systemsv Approximate Input-Output Linearization of Nonlinearization Using the Observability Normal Formv Approximate Normal Forms of Nonlinear Systemsv Pseudo-Linear Approximations for ARX Ciphers with Application to Threefishv Equivalent Linearization Techniquesv Nonlinear Control via Approximate Input-Output Linearization-the Ball and Beam Examplev On the Pseudo-Linearization and Quasi-Linearization Principlesv 14
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