高中数学必修2立体几何常考题型直线与平面、平面与平面平行的性质正式版

直线与平面、平面与平面平行的性质【知识梳理】1线面平行的性质定理(1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(2)图形语言：(3)符号语言：ab(4)作用：线面平行线线平行2面面平行的性质定理(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行(2)图形语言：(3)符号语言：ab(4)作用：面面平行线线平行【常考题型】题型一、线面平行的性质及应用【例1】如图所示，已知三棱锥ABCD被一平面所截，截面为EFGH，求证：CD平面EFGH.证明EFGH为平行四边形，EFGH.又GH平面BCD，EF平面BCD，EF平面BCD.而平面ACD平面BCDCD，EF平面ACD，EFCD.又EF平面EFGH，CD平面EFGH，CD平面EFGH.【类题通法】运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系【对点训练】1求证：如果一条线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行已知：l，a，a，求证：al.证明：如图，过a作平面交于b.a，ab.过a作平面交平面于c.a，ac，bc.又b且c，b.又平面过b交于l，bl.ab，al.题型二、面面平行的性质及应用【例2】如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面，分别交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中点求证：MN平面.证明过A作AECD交平面于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC.AECD，AE，CD确定平面AEDC.则平面AEDCDE，平面AEDCAC.，ACDE.又P，N分别为AE，CD的中点，PNDE.PN，DE，PN.又M，P分别为AB，AE的中点，MPBE.又MP，BE，MP.MP，PN平面MPN，且MPPNP，平面MPN.又MN平面MPN，MN.【类题通法】1把握面面平行性质定理的关键(1)成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面均相交(2)定理的实质：面面平行线线平行，体现了转化思想与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化2面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两平行平面间的平行线段相等(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例【对点训练】2.如图所示，在矩形ABCD中，AB2BC2a，E为AB上一点，将B点沿线段EC折起至点P，连接PA、PC、PD，取PD中点F，若有AF平面PEC，试确定E点的位置解：取PC的中点G，连接GE，GF.如右图由条件知GFCD，EACD，GFEA，则G，E，A，F四点共面AF平面PEC，平面GEAF平面PECGE，AFGE.四边形GEAF为平行四边形GFCD，EACDBA，E为AB的中点题型三、线面平行和面面平行的综合问题【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图(1)求证：平面AB1D1平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1EEFFC.解证明：(1)因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1C1D.又因为C1D平面C1BD，AB1平面C1BD.所以AB1平面C1BD.同理B1D1平面C1BD.又因为AB1B1D1B1，AB1平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以平面AB1D1平面C1BD.(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点下面证明A1EEFFC.因为平面A1C1C平面AB1D1EO1，平面A1C1C平面C1BDC1F，平面AB1D1平面C1BD，所以EO1C1F.在A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1EEF；同理可证OFAE，所以F是CE的中点，即CFFE，所以A1EEFFC.【类题通法】1在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质2要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化转化思想是解决这类问题的最有效的方法【对点训练】3.如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点(1)求证：PQ平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF平面BB1D1D.解：(1)证明：如图所示连接AC，CD1，P，Q分别是AD1，AC的中点，PQCD1.又PQ平面DCC1D1，CD1平面DCC1D1，PQ平面DCC1D1.(2)由(1)易知PQD1Ca.(3)证明：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1B1D1，EE1BB1，平面EE1F平面BB1D1D.又EF平面EE1F，所以EF平面BB1D1D.【练习反馈】1梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系只能是()A平行B平行或异面C平行或相交 D异面或相交解析：选B由题意，CD，则平面内的直线与CD可能平行，也可能异面2.如图，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN平面PAD，则()AMNPDBMNPACMNADD以上均有可能解析：选BMN平面PAD，平面PAC平面PADPA，MN平面PAC，MNPA.3过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是_解析：由于平面ABCD平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1平面A1C1BA1C1，平面ABCD平面A1C1Bl，所以lA1C1.答案：平行4.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面平行，且四边形ABCD在平面内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是_解析：由平行投影的定义，AA1BB1，而ABCD所在面与面平行，则ABA1B1，且四边形ABB1A1为平行四边形；同理四边形CC1D1D为平行四边形AB綊CD，从而四边形ABCD为平行四边形答案：平行四边形5.如图所示，P为ABCD所在平面外一点，点M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD平面PBCl.(1)求证：BCl；(2)MN与平面PAD是否平行？证明你的结论解：(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以BCAD.又因AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC平面PAD.又因为平面PBC平面PADl，BC平面PBC，所以BCl.(2)MN平面PAD.证明如下：如图所示，取PD的中点E，连接NE，AE，所以NECD，NECD.而CD綊AB，M为AB中点，所以NEAM，NEAM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MNAE.又AE平面PAD，MN平面PAD，所以MN平面PAD.学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有90的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划”、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为”、“消极的行为”，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括7个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达到书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统，游刃有余地攻克自己之前没接触的领域，提升自己的理解力，我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后，我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了，包括笔记的表格，辅助记忆的表格，帮助整理文档的夹子，应对考试的技巧，缓解紧张的方法我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的，我也相信通过实践作者在书上所提到的方法，定能在学习中得到提高。但是，那也不是一朝一夕的事情，就像我们大家都知道的那个故事，在美国得到诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理，就是说要和郭靖一样，不要贪多吃不烂，认定他就要好好地坚持去做，不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统，虽然不是学习过程中的技能，只属于学习准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维，对自己的收益将难以估量。稍显不足的地方是，第一，本书的语言太过精练，感觉就像没有主观感情一样，要命的是有很多词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思，书中也没做讲解，本来就看的比较费力，现在好了，作者也不等你，直接把你撂那。第二，作者很多地方就像立一个提纲一样，直接让你自己去参考多少多少页，这个太不习惯了。第三，作者在书中提到各种学习的类型，但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开展或者介绍，比如，将学习分为好几种类型的那个部分，有内省的，有外联的之类，然而并没有对各种类型进行针对性的指导。从而她的有些观点就不太适用，像成立学习小组的，这个对于内向的人，在我国这样的学习环境中是比较的困难，但作者没有就如何做提出建议，只是告诉读者这么做，会显得不够全面或者落空。