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1 习 题 一 1写出下列随机试验的样本空间 .S 一枚硬币掷两次,观察朝上一面的图案. 向蓝筐投球直到投中为止,记录投篮的总次数. 公交车五分钟一辆,随机到车站候车,记录候车时间. 解 ;样本空间为 ；1S正 正 ， 正 反 ， 反 正 ， 反 反 21,3.S 样本空间为 .305t 2. 设 表示三个事件,试用 表示下列事件.ABC,ABC 与 都发生,而 不发生; 至少有一个发生; 都发生; ,ABC 都不发生; 不都发生; , 至少有两个发生; ABC 中最多有一个发生. , 解 ; ; ; ; ; ;ABCABCA 或 .ABC 3.设 是三个事件,计算下列各题. 若 求 发生,但 不发生的概率.()04().25,()0.25PBPABA 若 ,求 都不发生的概率. .,6A 若 ,求 发生,但 不发生的概率. ()7()0.3 若 ,求 至25()()0,().125PBCPABCPA,BC 少有一个发生的概率; 都不发生的概率; 发生, 都不发生的概率. ,A 2 若 求 至少发生一个的概率. 111(),(|),(|),432PABPAB 若 分别求事件 的概率.0.2|0.5|06,AB 解 发生,但 不发生的概率：()()().15 ; .1PBAPB ()1()0.2A; ， 发生,但 不发生的概率： ；(B()0.4PAB ， 至少有一个发生的概率：()0()PABC, ； ()()()().625PBAPCC 都不发生的概率： ；, 10.375B 发生, 都不发生的概率：C,A ;()()()()()0.125PBPCBPACPABC )1| (,(2A)(|)(,(6PABPB 至少发生一个的概率： ; , 1)()()3APBA , ()(| 0.4P)()(| (.561BPAB 4.从 0,1,2,9 这十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率. 三个数字中不含 0 和 5; 三个数字中不含 0 或 5; 三个数字中含 0 但不含 5. 解 设事件 分别表示三个数字中不含 0 和 5，则三个数字中不含 0 和 5 的概率：,AB 3 ； 38107()5CPAB 三个数字中不含 0 或的概率： ; 3398104()()()5CPABPAB 三个数字中含 0 但不含 5 的概率： . 398107()() 5.把 3 个球随机地放入 4 个杯子中,求有球最多的杯子中球数是 1,2,3 的概率各是多少. 解 设事件 分别表示有球最多的杯子中球数是 1,2,3，则有球最多的杯子中球,ABC 数是 1 的概率是： ；有球最多的杯子中球数是 3 的概率是： 34()8P ；有球最多的杯子中球数是 2 的概率是： .34()6PC 9()1()16PBAPC 6.12 个球中有 4 个是白色,8 个是红色.现从这 12 个球中随机地取出两个,求下列事件的 概率. 取到两个白球; 取到两个红球; 取到一个白球, 一个红球. 解 取到两个白球的概率： ； 241()CPA 取到两个红球的概率： ； 281()3B 取到一个白球, 一个红球的概率： 。 14826()3CP 7.有 50 件产品,已知其中有 4 件次品,从中随机取 5 件,求（结果保留三位小数）: 恰有一件是次品的概率； 没有次品的概率； 至少有一件是次品的概率. 解 恰有一件是次品的概率： ； 14650().38CPA 4 没有次品的概率： ； 5460().7CPB 至少有一件是次品的概率： 。1()0.35PB 8. 从 1,2,9 这九个数字中,有放回地取三次,每次取一个,试求下列事件的概率（结果保 留三位小数）. 三个数字全不同; 三个数字没有偶数; 三个数字中最大数字为 6; 三个数字形成一个严格单调数列; 三个数字之乘积能被 10 整除. 解 三个数字全不同的概率： ; 39()0.61AP 三个数字没有偶数的概率： ; 35().7B 三个数字中最大数字的概率： ; 36()0.1259PC 三个数字形成一个严格单调数列的概率： ; 39().D 三个数字之乘积能被 10 整除的概率： 。 32438(!)(156()1 0.214979CPE 9.掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为 7,求其中有一颗为 1 点的概率. 解 设事件 分别表示两颗骰子点数之和为 7，两颗骰子中有一颗为 1 点，则所求概率：,AB21()63P 10. 个人排成一排, 已知甲排在乙的前面,求甲乙相邻的概率.n 解 设事件 分别表示甲排在乙的前面，甲乙相邻，则所求概率：AB 5 .()1!)/2()PABn 11. 已知在 10 件产品中有 2 件是次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样, 求下列事件的概率. 两件都是正品; 两件都是次品; 一件是正品,一件是次品; 第二次取出的是次品. 解 两件都是正品的概率： ; 2810()45CPA 两件都是次品的概率： ; 210()B 一件是正品,一件是次品的概率： ; 12806()45CP 设事件 分别表示第一，二次取出的是次品，由全概率公式，12,A .21121821()()()095PA 12.袋中有 5 个红球,4 个白球,从中取 3 次,每次取 1 个球. 如果作不放回抽样,求前 2 次取到红球,后 1 次取到白球的概率; 如果取到红球,将红球拿出,放回 2 个白球,否则不放回,求前 2 次取到红球,后 1 次取 到白球的概率. 解 设事件 表示第 次取出红球，前 2 次取到红球,后 1 次取到白球的概,12,3iAi 率： ；12313125410()()().58798763PPA 前 2 次取到红球,后 1 次取到白球的概率：132312()()().0A 13. 8 支步枪中有 5 支已校准过,3 支未校准.一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概 率为 0.8;用未校准的枪射击时, 中靶的概率为 0.3.现从 8 支步枪中任取一支,求击中靶子 的概率;若已知中靶了,求所使用的枪是校准过的概率. 解 设事件 表示击中靶子，事件 表示校准过步枪，则AB 6 ， ，()0.8,()0.3PAB53(),()8PB ; .549().40()()9AB 14.现有 6 盒粉笔,其中的 3 盒,每盒有 3 只白粉笔,6 只红粉笔,记作第一类;另外 2 盒, 每盒有 3 只白粉笔,3 只红粉笔, 记作第二类;还有 1 盒, 盒内有 3 只白粉笔,没有红粉笔,记 作第三类.现在从这 6 盒中任取 1 只粉笔,求取到红粉笔的概率;如果知道取到了红粉笔,求 红粉笔取自第一类的概率. 解 设事件 表示取到红粉笔，事件 表示在第 类取出的，则A,2,3iBi1236(),(),()96PBPA ; .3101 15.若事件 相互独立，证明：,C 与 相互独立；AB 与 相互独立; 与 相互独立. 证明： ， 与 相互独()()()()(PCABPCBPCAB 立； ()()()()()A ， 与 相互独立;PBPABA ()()()()CC()1()PC ， 与 相互独立.A 16 .若事件 相互独立, 计算:B()0.5,()0.8,PAB ;()P .A 解 ()()()(0.6BPABP 7 ; .()()0.2PAB()1()()07PABPAB 17.证明: 若事件 的概率 ,则 与任意事件独立;() 若事件 的概率 ,则事件 相互独立的充分必要条件是A01P,AB .(|)(|)PB 证明 设 是任一事件，则 ，得 ， 与()0P()()ABPA 任意事件独立； 必要性：若事件 相互独立，则 ，有,AB()()AB ， ，因此，()(|)(PB|()P|A 充分性：若 ，则 ，(|)(|)PBA()()()()1BAPBAP 因此，事件 相互独立。, 18. 三个人独立地去破译一份密码,他们译出的概率分别为 .问能译出此密码的1,534 概率. 解设事件 表示第 个人独立地破译了密码，则能译出此密码的概率：,12,3iAi12123()()()0.6PPA 19.当危险情况发生时,自动报警器的电路即自动闭合而发出警报,我们可以用两个或多 个报警器并联,以增加可靠性.当危险情况发生时,这些并联中的任何一个报警器电路闭合,就 能发出警报,已知当危险情况发生时,每一警报器能闭合电路的概率为 0.96.试求: 如果两个警报器并联,则报警器的可靠性是多少? 若想使报警器的可靠性达到 0.999 9,则需要用多少个报警器并联? 解 设事件 表示第 个自动报警器能闭合电路,12,iAni 两个警报器并联,则报警器的可靠性是： ;1212()()0.984PAPA 8 .11()()0.4.93nn ni iiPAPn 若想使报警器的可靠性达到 0.999 9,则至少需要 3 个报警器并联. 20.设甲盒子中装有 3 只蓝球,2 只绿球,2 只白球;乙盒子中装有 2 只蓝球,3 只绿球,4 只白 球.独立地分别在两只盒子中各取一只球. 求至少有一只蓝球的概率; 求有一只蓝球一只白球的概率; 已知至少有一只蓝球,求有一只蓝球一只白球的概率. 解 至少有一只蓝球的概率： ；325()79PA 有一只蓝球一只白球的概率： ；4163B 已知至少有一只蓝球,则有一只蓝球一只白球的概率： 。()5PBA 21.一大楼装有 5 台同类型的供水设备,调查表明在一小时内平均每个设备使用 6 分钟, 问在同一时刻， 恰有 2 台设备被使用的概率是多少? 至少有 2 台设备被使用的概率是多少? 解 恰有 2 台设备被使用的概率： ；235519()(0.72PC 至少有 2 台设备被使用的概率： 。10846 习题二 1将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，记 为正面出现的次数,求X 的分布律.X 解 310(),28P ，3C ，2()X 。318P 2.有 4 个小球和两个杯子,将小球随机地放入杯子中,随机变量 表示有小球的杯子数,X 求 的分布律 .X 9 解 4210.5,PX20.875,PX 3.一袋中装有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 只, 随机变量 表示取出的 3 只X 球中的最大号码,求 的分布律. 解 3510.,PXC25340.,CPX50.6P 4一球队要经过四轮比赛才能出线.设球队每轮被淘汰的概率为 ，记 表示.pX 球队结束比赛时的比赛次数，求 的分布律. 解 10.5,PX205.,30.5,PX40.125P 5.进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为,失败的概率为 .qp (1)将试验进行到出现一次成功为止,以 表示所需的试验次数,求 的分布律(此时称 服从参数为 的几何分布).Xp (2)将试验进行到出现 次成功为止,以 表示所需的试验次数 ,求 的分布律( 此时称rYY 服从参数为 的负二项分布分布或巴斯卡分布).Y,r 解 (1) ；1,2,kPpq (2) 1rrkC 6.设离散型随机变量 的分布律为X2(),1,3kPA 求 A 的值及概率 .13 解 ，12()32kA191327PXPX 7.一大批电子元件有 10%已损坏 ,若从这批元件中随机选取 20 只来组成一个线路,问这 线路能正常工作的概率是多少？ 解 设随机变量 表示线路中电子元件损坏的个数，则 ，线路能正常(20,.1)XB 工作的概率： 。20(.9).158PX 10 8某高速公路每周发生的汽车事故数服从参数为 3 泊松分布， (1)求每周事故数超过 4 个的概率； (2)求每周事故数不超过 3 个的概率. 解 设随机变量 表示事故数，则 ，(1)每周事故数超过 4 个的概率：X(3)XP ， 410.1847iPPi (2)每周事故数不超过 3 个的概率： 。 310.6472iXPi 9某城市在长度为 （单位：小时）的时间间隔内发生火灾的次数 服从参数为t X 的泊松分布，且与时间间隔的起点无关，求下列事件的概率：0.5t （1）某天中午 12 时至下午 15 时发生火灾； （2）某天中午 12 时至下午 16 时至少发生两次火灾. 解 (1) ，中午 12 时至下午 15 时发生火灾的概率：(.5)XP1.034695;e (2) ，中午 12 时至下午 16 时至少发生两次火灾的概率：(2)21130.59.PXPXe 10一工厂有 20 台机器，每台机器在某日发生故障的概率是 005，每台机器是否发 生故障相互独立。 (1)用二项分布计算其中有 2 台机器发生故障的概率； (2)用泊松分布近似计算 2 台机器发生故障的概率。 解 设随机变量 表示机器发生故障的个数，则 ，(1)有 2 台机器发X(20,.5)XB 生故障的概率： 2180(.5).9.7PC (2)用泊松分布近似计算 2 台机器发生故障的概率： 1.8392Pe 11若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于 0.005，现有 10000 个人参加这类人寿 保险，试求在未来一年中在这些保险者里面， 有 40 个人死亡的概率; 死亡人数不超过 70 个的概率. 11 解 设随机变量 表示死亡人数，则 ，X(10,.5)XB （1）有 40 个人死亡的概率 ；440960.(.214PC （2）死亡人数不超过 70 个的概率 。 7 010.5).97kkk 12. 设随机变量 的分布律为X 0 2 4 kp 0.04 0.32 0.64 求随机变量 的分布函数.X 解 0,.42()36,1xF 13. 设随机变量 的概率密度X ,()fx 2,10,x其 他 求 随机变量 的分布函数 . X()F 解 。2 21 ,10,1() 1arcsin,12,x xxFdx x 14. 已知随机变量 的概率密度X ()fx ,01cx其 他 (1)确定常数 c； (2)求 分布函数 ；()Fx （3）求概率PX 0.5和PX=0.5 . 解 (1) ;1012cdcx 12 (2) ;0 ,0,1()112,x xFd (3) PX 0.5 ，PX=0.5=0.2.5(0.)F 15.设随机变量 的概率密度 ,01()2,xfA其 他 （1）确定常数A； （2）求分布函数 ；()Fx （3）求概率 .15.0XP 解(1) ;120()2xdAxd (2) ; 20101 0, 11()(2), ,2, ,x xFxddxx (3) .3(.5)(0.5)8PXF 16.设连续型随机变量 的分布函数为 .求：xBAxFarctn)( （1）常数 A，B； （2）随机变量 的概率密度 . X)(xf 解 (1) ； 1()112,020FAB (2) .2()(arctn)2(1)fxx 17.设随机变量X 在 2，5 上服从均匀分布， 现对X 进行三次独立观测，试求至少有 13 两次观测值大于3 的概率. 解 随机变量X 在 2，5 上服从均匀分布， ；23PX 设随机变量 表示三次独立观测中观测值大于3的次数，则Y (3,)YB 至少有两次观测值大于3 的概率： 。2310()27YC 18.设某类日光灯管的使用寿命X ( 小时) 服从参数为1/2000的指数分布， (1) 任取一只这种灯管，求能正常使用1000 小时以上的概率； (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以上，求还能使用 1000 小时以上的概 率. 解（1） ； 1120210 0.67xPXed （2） 122 .1PXe （这是指数分布的重要性质：“无记忆性”）. 19从某地乘车往火车站有两条路线可走,第一条路线穿过市区,路程较短,但交通拥挤,所 需时间 ；第二条路线走环线,路程较远,但意外阻塞少,所需时间 X(501)N Y .(6,) 若有 70 分钟时间可用,问应走哪条路线? 若只有 65 分钟时间可用,问又应走哪条路线？ 解 ，705()()(20.971PX ，670.384Y 若有 70 分钟时间可用,走线路一赶到的概率是 0.9772, 走线路二赶到的概率是 0.9938,应 走第二条路线. ，650()()(1.5)0932PX ，2844Y 若只有 65 分钟时间可用, 走线路一赶到的概率是 0.9332, 走线路二赶到的概率是 0.8944, 应走第一条路线. 14 20. 设 ，求 的概率密度 .1,2XU2xYeyf 解 ；2 241ln,xdyeye1,0Xfx其 他 24,0yyf其 他 21. 设随机变量 的概率密度其 它,01),1(6)(xxfX 求随机变量 的概率密度 .2Y)(yfY 解 ；1,32ydxyx6(),(1),32400y yyf其 他 其 他 22. 设随机变量 的概率密度X,()xXef （1）求随机变量 的概率密度 ；XY()Yfy (2）求概率 .(12)P 解 （1） ；1ln,xdxyey ；ln21(),yYf （2） . 21()05Pdy 23. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且服从同一分布，X 的分布律为 PX = 0 = P X = 1 )= 1/2，求：Z = max X, Y 的分布律. 解 15 0, 0,0.25PZmaxXYPXY75.21),( 习题三 1. 设随机变量 在 1，2，3，4 四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量 在X Y 1X 中等可能取一整数值。试求 的分布律.),(Y 解 的分布律：),(Y X Y 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 2. 若甲袋中有 3 个黑球 2 个白球，乙袋中有 2 个黑球 8 个白球。现抛掷一枚均匀硬币， 若出现正面则从甲袋中任取一球，若出现反面则从乙袋中任取一球，设 0,0,11XY反 面 向 上 取 到 白 球正 面 向 上 取 到 黑 球， ， 求:（1） 的联合分布律；(,)Y （2）判断 与 是否独立. 解 （1） ， 联合分布律：184(0,)(0)(0)2PXPXY(,)XY X Y 0 1 0 4/10 2/10 1 1/10 3/10 （2） ， 与 不独立.4(0,)PX13()(025PXYXY 3. 将一枚均匀硬币抛掷三次，以 表示在 3 次中出现正面的次数，以 表示在 3 次中 出现正面的次数与出现反面次数之差的绝对值. 求:（1） 的联合分布律； (,)Y （2）判断 与 是否独立.X 16 解 ， 的取值有 1 和 3. (3)23YXY ，(0,0,2)0PPX ，)( ()8PX 的联合分布律：(,)XY X Y 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 （2） ， 与 不独立。(0,)PX13()(842PXYXY 4. 设二维随机变量 的分布函数为,(,)(arctn)(arct)FxyABxCy 求:（1）常数 、 、 ； （2） 的概率密度 ;),(YX),(f (3)边缘分布函数 .XYxFy 解 (1) ， , , (,)()120, 0(,)()2FABC 2/A/2BC (2) ， , 2,(,)Fxyf221(,)()fxyxy (3) .1(),arctn,X(,)YF1(arctn)2y 5. 设二维随机变量 的联合概率密度为YX, (6)02,4,kxyyf其 他 求:(1)常数 ; (2)概率 ;1,3PXY 17 (3) 概率 .4PXY 解 (1) ,20(6)1kdxyd8k (2) 3/8,130231,()8xy (3) .42PXY 6. 设二维随机变量 的联合概率密度YX, .其 它,00,),()(yxeyxfy 求：（1）随机变量 和 的边缘概率密度 和 ；Y)(xfXyfY （2）概率 .)(XP 解 (1) , (0,0,xyxedefx , ()0,0,xyyYfy (2) ()0().5xyPXde 7.设二维随机变量 的联合概率密度,其 它,00,6),()32(yxeyxfy 求:（1）随机变量 和 的边缘概率密度 ， ；XY)(xfXyfY （2）随机变量 与 独立是否独立？ 解（1） ， (23) 206,0() ,xyxXedefx ， (23) 30,0() ,xyyYfy （2） ， 与 独立。,()XYfxf 8. 设随机变量 的联合概率密度函数为 18 . 其 他,0),(yxeyxfy 求:(1)边缘密度函数 ;）（） ，（ ffYX (2)概率 ;）（ 1P (3) 是否独立?Y, 解 (1) ,0, yxxXedef0,0,yyYf (2) = , 120 xyPXde（ ） =1/2e (3) ， 不独立.(,)()YfxyfX, 9. 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的 时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的 任何一艘都不需要等候码头空出的概率（结果保留使三位小数 ）. 解 设甲船到达的时刻是 ，乙船到达的时刻是 ，则 独立同分布均匀分布 ，XYX, (0,24)U 任何一艘都不需要等候码头空出 ： ，D1,2 任何一艘都不需要等候码头空出的概率： 。 22231(,) 0.87944DPXYdxy 10. 一负责人到达办公室的时间均匀分布在 812 时，他的秘书到达办公室的时间均匀 分布在 79 时，设他们两人到达的时间相互独立。求他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟的概率. 解 设负责人到达办公室的时间是 ，秘书到达办公室的时间 是 ，则 独立，XYX, ，他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟 ：(8,12)(7,9)XUY D12 他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟的概率： 19 。11248DPXYdxy 11. 设随机变量 ，随机变量 的概率密度为.0,UY ,5)(yefY 且 与 相互独立.求：X （1） 的联合概率密度 ；),( ),(xf （2） .YP 解 （1） ，X5,0.20,.2()XxUf其 他 ， 5,.,0(,)()0yXYeyfxyf其 他 （2） =)(P 1052.),( edxdyxf yy 12. 设 的联合密度函数,YXyxyxcyf , ,)1(),(2 求:(1)常数 ；c (2) ；0,YXP (3) 、 ；)(xfyf (4) 、 是否独立？ 解（1） ；221()1/+cdcx (2) 22010,()6PXYdx (3) ,222()(1)()fxyx ;2221()()()Yfyd 20 (4) ， 独立.(,)()XYfxyfy, 13. 设随机变量 相互独立，且 ，求随机变量 的)1(,0(eYUXYXZ 概率密度. 解 1,0(,)(),Xxf其 他(),0,0(1)()y zxYYeeeffz()0+1(),1,1()()=()0,zx zzzXYdeffxzde 14. 设随机变量 相互独立，且都服从0,2上的均匀分布，求（1）随机变量, 的概率密度；（2） . YXZ)0(ZP 解（1） 1,2(0,2)(),0XxUfx其 他 1, ,02(,)()()22YYyxzYfyfxz其 他 其 他 ，+ 1,4()()(),022zXY zffxzdxz （2） .103()4(2)8PZdz 15. 在一电路中，两电阻 和 串联联接，设 ， 相互独立，它们的概率密度均1R21R2 为 21 10,10()5xf其 他 求总电阻 的概率密度.21R 解 0+1(),01()()=2,zR zfxdzfzfxzdx 其 他 231,0150(),zz（ 6-+）其 他 16.设随机变量 的联合密度函数(,)XY 他其0,2, xyxAyxf 求：(1)常数 A ； (2)条件密度函数 )(xfXY 解 (1) 2014xdyA （2） 1,02,24xX xf 其 他 其 他 当 时， 。0x 1,(,)()20YXXxyfxyfy其 他
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