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第三章随机变量的数学特征,分赌本问题(17世纪)甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲嬴2局、乙羸1局时，中止了赌博.问如何分赌本?,两种分法,1.按已赌局数分：则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/32.按已赌局数和再赌下去的“期望”分：因为再赌二局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4,“期望”所得,若按已赌局数和再赌下去的“期望”分，则甲的所得X是一个可能取值为0或100的随机变量，其分布列为：,X0100,P1/43/4,甲的“期望”所得是：01/4+1003/4=75.,3.1数学期望,定义3.1设离散随机变量X的分布列为P(X=xn)=pn,n=1,2,.若级数,绝对收敛，则称该级数为X的,数学期望，记为,连续随机变量的数学期望,定义3.2设连续随机变量X的密度函数为p(x),若积分,绝对收敛，则称该积分为X的,数学期望，记为,例,则,E(X)=,10.2+00.1+10.4+20.3=0.8.,X1012,P0.20.10.40.3,注意点,数学期望简称为期望.数学期望又称为均值.数学期望是一种加权平均.,3.2数学期望的性质(P64),(1)E(c)=c,(2)E(X+b)=E(X)+b,(3)E(aX)=aE(X),(4)E(aX+b)=aE(X)+b,(5)E(X+Y)=E(X)+E(Y),(6)若X与Y独立,则E(XY)=E(X)E(Y),数学期望的性质,定理(P66)设Y=g(X)是随机变量X的函数，若E(g(X)存在，则,例设随机变量X的概率分布为,求E(X2+2).,=(02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4,=1+3/4+6/4=13/4,解:E(X2+2),X012,P1/21/41/4,例,设Xp(x)=2x,0x0,令,则有E(Y)=0,D(Y)=1.,称Y为X的标准化.,常用离散分布的数学期望,0-1分布的数学期望=p,二项分布b(n,p)的数学期望=np,泊松分布P()的数学期望=,常用离散分布的方差,0-1分布的方差=p(1p),二项分布b(n,p)的方差=np(1p),泊松分布P()的方差=,常用连续分布的数学期望,均匀分布U(a,b):E(X)=(a+b)/2,指数分布Exp():E(X)=1/,正态分布N(,2):E(X)=,常用连续分布的方差,均匀分布U(a,b)的方差=(ba)2/12,指数分布Exp()的方差=1/2,正态分布N(,2)的方差=2,例已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2.4,D(X)=1.44,则参数n,p的值为多少？,例设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则E(X2)的值为多少？,解：从2.4=np,1.44=np(1p)中解得,解：因为E(X)=np=4,Var(X)=2.4,所以,n=6,p=0.4.,E(X2)=D(X)+(E(X)2=2.4+16=18.4,(三)多维随机变量的特征数,本节主要给出X与Y的相关系数,数学期望与方差的运算性质,1.E(X+Y)=E(X)+E(Y),当X与Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).,讨论X+Y的方差,1.D(XY)=D(X)+D(Y)2EXE(X)YE(Y),3.当X与Y独立时，EXE(X)YE(Y)=0.,4.当X与Y独立时，D(XY)=D(X)+D(Y).,2.EXE(X)YE(Y)=E(XY)E(X)E(Y),协方差,定义3.5称Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y),为X与Y的协方差。,协方差的性质,若X与Y独立，则Cov(X,Y)=0.,Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y).,D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y),课堂练习(1),X与Y独立，Var(X)=6，Var(Y)=3，则Var(2XY)=().,27,课堂练习(2),XP(2)，YN(2,4)，X,Y独立，则E(XY)=();E(XY)2=().,4,22,相关系数,定义3.6称=,为X与Y的相关系数。,相关系数的性质,(1)1Corr(X,Y)1.,(2)Corr(X,Y)=1,X与Y几乎处处有线性关系。,P(Y=aX+b)=1,注意点,Corr(X,Y)的大小反映了X与Y之间的线性关系：,Corr(X,Y)接近于1，X与Y间正相关。,Corr(X,Y)接近于1，X与Y间负相关。,Corr(X,Y)接近于0，X与Y间不相关。,没有线性关系,习题,P7723,24,
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