核反应堆物理分析课后习题参考答案.pdf

核 反 应 堆 物 理 分 析 答 案 第 一 章 1 -1 .某 压 水 堆 采 用 UO2 作 燃 料 ， 其 富 集 度 为 2 .4 3 %（ 质 量 ） ， 密 度 为 1 0 0 0 0 kg /m3 。 试 计 算 ： 当 中 子 能 量 为 0 .0 2 5 3 eV时 ， UO2 的 宏 观 吸 收 截 面 和 宏 观 裂 变 截 面 。解 ： 由 1 8 页 表 1 -3 查 得 ， 0 .0 2 5 3 eV时 ： 由 2 8 9 页 附 录 3 查 得 ， 0 .0 2 5 3 eV时 ：以 c 5 表 示 富 集 铀 内 U-2 3 5 与 U的 核 子 数 之 比 ， 表 示 富 集 度 ， 则 有 ：所 以 ， 1 -2 .某 反 应 堆 堆 芯 由 U-2 3 5 ,H2 O和 Al组 成 ， 各 元 素 所 占 体 积 比 分 别 为 0 .0 0 2 ,0 .6 和 0 .3 9 8 ， 计 算 堆 芯 的 总 吸 收 截 面 (E=0 .0 2 5 3 eV)。解 ： 由 1 8 页 表 1 -3 查 得 ， 0 .0 2 5 3 eV时 ： 由 2 8 9 页 附 录 3 查 得 ， 0 .0 2 5 3 eV时 ：可 得 天 然 U核 子 数 密 度 则 纯 U-2 3 5 的 宏 观 吸 收 截 面 ：总 的 宏 观 吸 收 截 面 ： 1 -3 、 求 热 中 子 （ 0 .0 2 5 电 子 伏 ） 在 轻 水 、 重 水 、 和 镉 中 运 动 时 ， 被 吸 收前 平 均 遭 受 的 散 射 碰 撞 次 数 。 - 解 ： 设 碰 撞 次 数 为 t 1 -4 、 试 比 较 ： 将 2 .0 MeV的 中 子 束 强 度 减 弱 到 1 /1 0 分 别 需 要 的 Al， Na ， 和 Pb的 厚 度 。解 ： 查 表 得 到 E=0 .0 2 5 3 eV中 子 截 面 数 据 ： a s Al： 0 .0 1 5 0 .0 8 4 Na： 0 .0 1 3 0 .1 0 2 Pb ： 0 .0 0 6 0 .3 6 3 Al和 Na的 宏 观 吸 收 截 面 满 足 1 /v 律 。Q： 铅 对 2 MeV中 子 的 吸 收 截 面 在 屏 蔽 中 是 否 可 以 忽 略 ？ (在 跨 越 了 可 分 辨 共 振 区 后 截 面 变 得 非 常 小 ) a=a(0 .0 2 5 3 )(0 .0 2 5 3 /2 1 0 6 )1 /2 a Al 0 .0 1 6 9 1 0 -4 Na 0 .0 1 4 6 1 0 -4 窄 束 中 子 衰 减 规 律 ： I=I0 e -x I=(1 /1 0 )I0 x =(ln 1 0 )/ 因 此 若 只 考 虑 吸 收 衰 减 ： x Al=1 3 6 .2 5 1 0 4 m x Na=1 5 7 .7 1 1 0 4 m对 于 轻 核 和 中 等 质 量 核 ， 弹 性 散 射 截 面 在 eV 几 MeV范 围 内 基 本 不 变 。 所 以 只 考 虑 弹 性 散 射 截 面 时 ， 结 果 如 下 ： (相 比 较 之 下 能 量 为 2 MeV时 ， 弹 性 散 射 截 面 要 比 吸 收 界 面 大 很 多 ) 但 是 不 清 楚 对 于 重 核 铅 弹 性 截 面 基 本 不 变 的 假 设 是 否 成 立 ？ x Al=2 7 .4 1 m x Na=2 2 .5 7 m x Pb =6 .3 4 m 1 -6 1 -7 有 一 座 小 型 核 电 站 ， 电 功 率 为 1 5 万 千 瓦 ， 设 电 站 的 效 率 为 2 7 %，试 估 算 该 电 站 反 应 堆 额 定 功 率 运 行 一 小 时 所 消 耗 的 铀 -2 3 5 数 量 。 解 ： 热 能 ：裂 变 U2 3 5 核 数 ： 俘 获 加 裂 变 U2 3 5 核 数 ： 消 耗 U2 3 5 总 质 量 量 ： 8 、 某 反 应 堆 在 额 定 功 率 5 0 0 兆 瓦 下 运 行 了 3 1 天 后 停 堆 ， 设 每 次 裂 变 产生 的 裂 变 产 物 的 放 射 性 活 度 为 1 .0 8 1 0 -1 6 t-1 .2 居 里 。 此 处 t为 裂 变 后 的 时 间 ， 单 位 为 天 ， 试 估 算 停 堆 2 4 小 时 堆 内 裂 变 产 物 的 居 里 数 解 ： 1 -9 设 核 燃 料 中 铀 -2 3 5 的 浓 缩 度 为 3 .2 %（ 重 量 ） ， 试 求 铀 -2 3 5 与铀 -2 3 8 的 核 子 数 之 比 。 1 -1 0 .为 使 铀 的 1 .7 ， 试 求 铀 中 U-2 3 5 富 集 度 应 为 多 少 (E=0 .0 2 5 3 eV)。解 ： 由 1 8 页 表 1 -3 查 得 ， 0 .0 2 5 3 eV时 ： 由 定 义 易 得 ：为 使 铀 的 1 .7 ， 富 集1 1 .、 为 了 得 到 1 千 瓦 时 的 能 量 ， 需 要 使 多 少 铀 -2 3 5 裂 变 解 ： 设 单 次 裂 变 产 生 能 量 2 0 0 MeVU2 3 5 裂 变 数 ： U2 3 5 质 量 ： 1 -1 2 反 应 堆 的 电 功 率 为 1 0 0 0 兆 瓦 ， 设 电 站 的 效 率 为 3 2 %。 问 每 秒 有 多 少 个 铀 -2 3 5 发 生 裂 变 ？ 问 运 行 一 年 共 需 消 耗 多 少 公 斤 易 裂 变 物 质 ？一 座 相 同 功 率 煤 电 厂 在 同 样 时 间 需 要 多 少 燃 料 ？ 已 知 标 准 煤 的 燃 烧 热 为 Q=2 9 兆 焦 /公 斤 。 每 秒 钟 发 出 的 热 量 ： 每 秒 钟 裂 变 的 U2 3 5 ：运 行 一 年 的 裂 变 的 U2 3 5 ： 消 耗 的 u 2 3 5 质 量 ：需 消 耗 的 煤 ： . 一 核 电 站 以 富 集 度 2 0 %的 U-2 3 5 为 燃 料 ， 热 功 率 9 0 0 MW,年 负 荷 因 子(实 际 年 发 电 量 /额 定 年 发 电 量 )为 0 .8 5 , U-2 3 5 的 俘 获 裂 变 比 取 0 .1 6 9 ,试 计 算 其 一 年 消 耗 的 核 燃 料 质 量 。解 ： 该 电 站 一 年 释 放 出 的 总 能 量 = 对 应 总 的 裂 变 反 应 数 =因 为 对 核 燃 料 而 言 ： 核 燃 料 总 的 核 反 应 次 数 =消 耗 的 U-2 3 5 质 量 = 消 耗 的 核 燃 料 质 量 = 第 二 章 .某 裂 变 堆 ， 快 中 子 增 殖 因 数 1 .0 5 ， 逃 脱 共 振 俘 获 概 率 0 .9 ， 慢 化 不 泄 漏概 率 0 .9 5 2 ， 扩 散 不 泄 漏 概 率 0 .9 4 ， 有 效 裂 变 中 子 数 1 .3 3 5 ， 热 中 子 利 用 系 数 0 .8 8 2 ， 试 计 算 其 有 效 增 殖 因 数 和 无 限 介 质 增 殖 因 数 。解 ： 无 限 介 质 增 殖 因 数 ： 不 泄 漏 概 率 ： 有 效 增 殖 因 数 ：2 -1 .H和 O在 1 0 0 0 eV到 1 eV能 量 范 围 内 的 散 射 截 面 近 似 为 常 数 ， 分 别 为 2 0 b和 3 8 b。 计 算 H2 O的 以 及 在 H2 O中 中 子 从 1 0 0 0 eV慢 化 到 1 eV所 需 的 平 均 碰 撞 次 数 。解 ： 不 难 得 出 ， H2 O的 散 射 截 面 与 平 均 对 数 能 降 应 有 下 述 关 系 ： H2 OH2 O = 2 HH + OO 即 ： (2 H + O ) H2 O = 2 HH + OO H2 O =（ 2 HH + OO） /(2 H + O )查 附 录 3 ， 可 知 平 均 对 数 能 降 ： H=1 .0 0 0 ， O=0 .1 2 0 ， 代 入 计 算 得 ： H2 O = (2 2 0 1 .0 0 0 + 3 8 0 .1 2 0 )/(2 2 0 + 3 8 ) = 0 .5 7 1可 得 平 均 碰 撞 次 数 ： Nc = ln (E2 /E1 )/ H2 O = ln (1 0 0 0 /1 )/0 .5 7 1 = 1 2 .0 9 1 2 .1 2 -6 .在 讨 论 中 子 热 化 时 ， 认 为 热 中 子 源 项 Q(E)是 从 某 给 定 分 界 能 Ec以 上 能 区 的 中 子 ， 经 过 弹 性 散 射 慢 化 而 来 的 。 设 慢 化 能 谱 服 从 (E)=/E分布 ， 试 求 在 氢 介 质 内 每 秒 每 单 位 体 积 内 由 E c以 上 能 区 ， （ 1 ） 散 射 到 能量 E（ EE）（ 2 ） 利 用 上 一 问 的 结 论 ： 2 -8 .计 算 温 度 为 5 3 5 .5 K， 密 度 为 0 .8 0 21 0 3 kg /m3 的 H2 O的 热 中 子 平 均 宏 观 吸 收 截 面 。 解 ： 已 知 H2 O的 相 关 参 数 ， M = 1 8 .0 1 5 g /mo l， = 0 .8 0 2 1 0 3 k g /m3 ， 可 得 ： m-3 已 知 玻 尔 兹 曼 常 数 k = 1 .3 8 1 0 -2 3 JK-1 ， 则 ：kT M = 1 .3 8 1 0 -2 3 5 3 5 .5 = 7 3 9 .0 (J) = 0 .4 6 1 9 (eV)查 附 录 3 ， 得 热 中 子 对 应 能 量 下 ， a = 0 .6 6 4 b ， = 0 .9 4 8 ， s = 1 0 3 b ， a= 0 .6 6 4 b ， 由 “1 /v ”律 ： 0 .4 9 1 4 (b ) 由 5 6 页 （ 2 -8 1 ） 式 ， 中 子 温 度 ： 5 7 7 .8 (K)对 于 这 种 ”1 /v ”介 质 ， 有 ： n 0 .4 1 9 2 (b ) 所 以 ： 1 .1 2 3 (m-1 ) 三 章 3 .1 有 两 束 方 向 相 反 的 平 行 热 中 子 束 射 到 2 3 5 U薄 片 上 ， 设 其 上 某 点 自 左 面 入 射 的 中 子 束 强 度 为 1 0 1 2 cm-2 s-1 。 自 右 面 入 射 的 中 子 束 强 度 2 1 0 1 2 cm-2 s-1 。 计 算 ：（ 1 ） 该 点 的 中 子 通 量 密 度 ； （ 2 ） 该 点 的 中 子 流 密 度 ； （ 3 ） 设 a = 1 9 .2 1 0 2 m-1 ， 求 该 点 的 吸 收 率 。 解 ： （ 1 ） 由 定 义 可 知 ： 3 1 0 1 2 (cm-2 s-1 ) （ 2 ） 若 以 向 右 为 正 方 向 ： -1 1 0 1 2 (cm-2 s-1 )可 见 其 方 向 垂 直 于 薄 片 表 面 向 左 。 （ 3 ） 1 9 .2 3 1 0 1 2 = 5 .7 6 1 0 1 3 (cm-3 s-1 )3 .2 设 在 x 处 中 子 密 度 的 分 布 函 数 是 其 中 ： ， 为 常 数 ， 是 与 x 轴 的 夹 角 。 求 ： （ 1 ） 中 子 总 密 度 n( x )；（ 2） 与 能 量 相 关 的 中 子 通 量 密 度 ( x , E )； （ 3 ） 中 子 流 密 度 J ( x , E )。解 ： 由 于 此 处 中 子 密 度 只 与 与 x轴 的 夹 角 有 关 ， 不 妨 视 为 极 角 ， 定 义 在 Y-Z平 面 的 投 影 上 与 Z轴 的 夹 角 为 方 向 角 ， 则 有 ：（ 1 ） 根 据 定 义 ： 可 见 ， 上 式 可 积 的 前 提 应 保 证 0的 区 域 进 行 讨 论 。 燃 料 内 的 单 能 中 子 扩 散 方 程 ：边 界 条 件 ： i. ii. 通 解 形 式 为 ：利 用 Fick s Law： 代 入 边 界 条 件 i： 代 入 边 界 条 件 ii：所 以 （ 2 ） 把 该 问 题 理 解 为 “燃 料 内 中 子 吸 收 率 / 燃 料 和 慢 化 剂 内 总 的 中 子 吸收 率 ”， 设 燃 料 和 慢 化 剂 的 宏 观 吸 收 截 面 分 别 为 和 ， 则 有 ： 回 顾 扩 散 长 度 的 定 义 ， 可 知 ： ， 所 以 上 式 化 为 ：（ 这 里 是 将 慢 化 剂 中 的 通 量 视 为 处 处 相 同 ， 大 小 为 S， 其 在 b 处 的 流 密 度 自 然 为 0 ， 但 在 a处 情 况 特 殊 ： 如 果 认 为 其 流 密 度 也 为 0 ， 就 会 导 致 没 有向 燃 料 内 的 净 流 动 、 进 而 燃 料 内 通 量 为 0 这 一 结 论 ！ 所 以 对 于 这 一 极 度 简 化 的 模 型 ， 应 理 解 其 求 解 的 目 的 ， 不 要 严 格 追 究 每 个 细 节 。 ）3 -2 1 解 ： （ 1 ） 建 立 以 无 限 介 质 内 任 一 点 为 原 点 的 球 坐 标 系 （ 对 此 问 题 表 达式 较 简 单 ） ， 建 立 扩 散 方 程 ： 即 ：边 界 条 件 ： i. , ii. 设 存 在 连 续 函 数 满 足 ：可 见 ， 函 数 满 足 方 程 ， 其 通 解 形 式 ： 由 条 件 i可 知 ： C = 0 ，由 方 程 （ 2 ） 可 得 ： 再 由 条 件 ii可 知 ： A = 0 ， 所 以 ：（ 实 际 上 ， 可 直 接 由 物 理 模 型 的 特 点 看 出 通 量 处 处 相 等 这 一 结 论 ， 进 而 其 梯 度 为 0 ） （ 2 ） 此 时 须 以 吸 收 片 中 线 上 任 一 点 为 原 点 建 立 一 维 直 角 坐 标 系 ， 先 考虑 正 半 轴 ， 建 立 扩 散 方 程 ： 即 ： ， x 0边 界 条 件 ： i. , ii. , iii. 对 于 此 “薄 ”吸 收 片 ， 可 以 忽 略 其 厚 度 内 通 量 的 畸 变 。参 考 上 一 问 中 间 过 程 ， 可 得 通 解 形 式 ： 由 条 件 ii可 得 ： 由 条 件 iii可 得 ： C = 0所 以 ： 对 于 整 个 坐 标 轴 ， 只 须 将 式 中 坐 标 加 上 绝 对 值 号 ， 证 毕 。 3 -2 2解 ： 以 源 平 面 任 一 点 为 原 点 建 立 一 维 直 角 坐 标 系 ， 建 立 扩 散 方 程 ： 边 界 条 件 ： i. ; ii. ; iii.; iv . ;通 解 形 式 ： ， 由 条 件 i： （ 1 ）由 条 件 ii： （ 2 ）由 条 件 iii、 iv ： （ 3 ） （ 4 ） 联 系 （ 1 ） 可 得 ：结 合 （ 2 ） 可 得 ： 所 以 ：3 -2 3 证 明 ： 以 平 板 中 线 上 任 一 点 为 原 点 建 立 一 维 直 角 坐 标 系 ， 先 考 虑 正 半轴 ， 建 立 扩 散 方 程 ： 即 ： ， x 0边 界 条 件 ： i. , ii. , iii. 参 考 2 1 题 ， 可 得 通 解 形 式 ：由 条 件 ii可 得 ： 再 由 条 件 iii可 得 ： 所 以 ：由 于 反 曲 余 弦 为 偶 函 数 ， 该 解 的 形 式 对 于 整 个 坐 标 轴 都 是 适 用 的 。 证 毕 。 3 -2 4 设 半 径 为 R的 均 匀 球 体 内 ， 每 秒 每 单 位 体 积 均 匀 产 生 S个 中 子 ， 试 求 球 体 内 的 中 子 通 量 密 度 分 布 。解 ： 以 球 心 为 原 点 建 立 球 坐 标 系 ， 建 立 扩 散 方 程 ： 即 ：边 界 条 件 ： i. , ii. , iii. 通 解 ：由 条 件 iii： 再 由 条 件 ii：所 以 ： （ 此 时 ， ） 第 四 章 4 -1 试 求 边 长 为 a ， b ， c（ 包 括 外 推 距 离 ） 的 长 方 体 裸 堆 的 几 何 曲 率和 中 子 通 量 密 度 分 布 。 设 有 一 边 长 a =b =c=0 .5 m， c=0 .6 m（ 包 括 外 推 距 离 ） 的 长 方 体 裸 堆 ， L=0 .0 4 3 4 m， =6 cm2 。 （ 1 ） 求 达 到 临 界 时 所 必 须 的 k ； （ 2 ） 如 果 功 率 为 5 0 0 0 kW， f=4 .0 1 m-1 ， 求 中 子 通 量 密 度 分 布 。解 ： 长 方 体 的 几 何 中 心 为 原 点 建 立 坐 标 系 ， 则 单 群 稳 态 扩 散 方 程 为 ： 边 界 条 件 ：（ 以 下 解 题 过 程 中 不 再 强 调 外 推 距 离 ， 可 以 认 为 所 有 外 边 界 尺 寸 已 包 含 了 外 推 距 离 ）因 为 三 个 方 向 的 通 量 变 化 是 相 互 独 立 的 ， 利 用 分 离 变 量 法 ： 将 方 程 化 为 ：设 ： 先 考 虑 x 方 向 ， 利 用 通 解 ：代 入 边 界 条 件 ： 同 理 可 得 ：其 中 0 是 待 定 常 数 。其 几 何 曲 率 ： 1 0 6 .4 ( m-2 ) （ 1 ） 应 用 修 正 单 群 理 论 ， 临 界 条 件 变 为 ： 其 中 ： 0 .0 0 2 4 8 ( m2 )1 .2 6 4 （ 2 ） 只 须 求 出 通 量 表 达 式 中 的 常 系 数 0 1 .0 0 7 1 0 1 8 ( m-2 s-1 ) 4 -2 设 一 重 水 -铀 反 应 堆 堆 芯 的 k =1 .2 8 ， L2 =1 .8 1 0 -2 m2 ， =1 .2 0 1 0 -2 m2 。 试 按 单 群 理 论 ， 修 正 单 群 理 论 的 临 界 方 程 分 别 求 出 该 芯 部 材 料 曲率 和 达 到 临 界 时 总 的 中 子 不 泄 漏 概 率 。 解 ： 对 于 单 群 理 论 ： 1 5 .5 6 ( m-2 )在 临 界 条 件 下 ： 0 .7 8 1 3 (或 用 ) 对 于 单 群 修 正 理 论 ： 0 .0 3 ( m2 ) 9 .3 3 ( m-2 )在 临 界 条 件 下 ： 0 .6 8 0 .7 8 1 3 ? （ 注 意 ： 这 时 仍 能 用 ， 实 际 上 在 维 持 临 界 的 前 提 条 件 下 修 正 理 论 不 会 对不 泄 漏 概 率 产 生 影 响 ， 但 此 时 的 几 何 曲 率 、 几 何 尺 寸 已 发 生 了 变 化 ， 不 再 是 之 前 的 系 统 了 ）4 -4 解 ： = 4 .7 9 1 0 2 4 (m-3 )， 4 .7 9 1 0 2 8 (m-3 ) 堆 总 吸 收 截 面 ： = 0 .3 4 4 (m-1 ) 总 裂 变 截 面 ： = 0 .2 8 0 (m-1 ) = 2 .6 1 1 0 -2 (m2 )= 1 .9 7 则 材 料 曲 率 ： = 3 7 .3 (m-2 )在 临 界 条 件 下 ： = 0 .5 1 4 (m)考 虑 到 外 推 距 离 ： = 0 .0 1 8 (m) （ 如 有 同 学 用 也 是 正 确 的 ， 但 表 达 式 相 对 复 杂 ） 再 考 虑 到 堆 的 平 均 密 度 ： = 9 5 7 (k g /m3 )（ 或 者 由 ） 实 际 的 临 界 质 量 ： = 1 5 6 (k g )4 -5 证 明 ： 以 球 心 为 坐 标 原 点 建 立 球 坐 标 系 ， 单 群 稳 态 扩 散 方 程 ：边 界 条 件 ： i. ； ii. ； （ 如 果 不 认 为 R2 包 括 了 外 推 距 离 的 话 ， 所 得 结 果 将 与 题 意 相 悖 ） 球 域 内 方 程 通 解 ：由 条 件 i可 得 ： 由 条 件 ii可 得 ：由 此 可 见 ， ， 证 毕 -7 一 由 纯 2 3 5 U金 属 （ =1 8 .7 1 0 3 kg /m3 ） 组 成 的 球 形 快 中 子 堆 ， 其 周 围 包 以 无 限 厚 的 纯 2 3 8 U（ =1 9 .0 1 0 3 kg /m3 ） ， 试 用 单 群 理 论计 算 其 临 界 质 量 ， 单 群 常 数 如 下 ： 2 3 5 U： f=1 .5 b, a =1 .7 8 b, tr=3 5 .4 m-1 , =2 .5 1 ； 2 3 8 U： f=0 , a =0 .1 8 b, tr=3 5 .4 m-1 。 解 ： 以 球 心 为 坐 标 原 点 建 立 球 坐 标 系 ， 对 于 U-2 3 5 和 U-2 3 8 分 别 列 单 群 稳 态 扩 散 方 程 ， 设 其 分 界 面 在 半 径 为 R处 ：U-2 3 5 ： 方 程 1 U-2 3 8 ： 方 程 2边 界 条 件 ： i. ii. iii. iv .令 （ 在 此 临 界 条 件 下 ， 既 等 于 材 料 曲 率 ， 也 等 于 几 何 曲 率 ） ， 球 域 内 方 程 1 通 解 ：由 条 件 i可 知 A 5 = 0 ， 所 以 ：球 域 内 方 程 2 通 解 ： 由 条 件 iv 可 知 C8 = 0 ， 所 以 ： 由 条 件 ii可 得 ：由 条 件 iii可 得 ： 所 以 （ 由 题 目 已 知 参 数 ： ）即 ： 代 入 数 据 ： 4 .7 9 1 0 -2 8 ( m-3 ) 4 .8 1 1 0 -2 8 ( m-3 ) 2 .1 1 5 1 .3 1 1 0 -3 ( m2 ) 2 9 .1 7 ( m-1 ) 0 .1 0 4 3 ( m )0 .0 6 4 7 4 ( m ) 2 1 .3 ( k g ) 4 -8证 明 ： （ 1 ） 如 图 4 -8 所 示 的 柱 坐 标 系 下 ， 单 群 稳 态 扩 散 方 程 可 写 为 （ 临 界 条 件 下 ， 几 何 曲 率 与 材 料 曲 率 相 等 ） ：， （ ） 边 界 条 件 （ 不 考 虑 外 推 距 离 ） ： i. ii. iii.（ 注 意 ， 这 里 不 能 用 线 性 微 分 方 程 解 的 存 在 唯 一 性 定 理 ： 如 果 都 是 区 间 上 的 连 续 函 数 ， 则 对 于 任 一 及 任 意 的 ， 方 程 存 在 唯 一 解定 义 于 区 间 上 ， 且 满 足 初 值 条 件 ， 而 此 扩 散 方 程 并 非 线 性 微 分 方 程 。 ）对 于 表 达 式 ： ， 不 难 证 明 其 满 足 上 述 全 部 三 个 边 界 条 件 。 （ ）（ 2 ） 将 表 达 式 代 入 方 程 ， 其 中 ， 已 知 如 下 关 系 ： 可 推 得 ：所 以 ： 所 以 ：再 有 ： 所 以 方 程 化 为 ： 可 知 该 表 达 式 为 方 程 的 解 。 证 毕 。（ 也 可 如 此 推 出 解 的 形 式 ： 分 离 变 量 ： 方 程 变 形 ：设 ： （ n 为 任 意 实 数 ） ， ： 变 量 替 换 ： ，此 为 n 阶 Bessel方 程 ， 通 解 为 ： 由 边 界 条 件 i可 得 ， n 须 取 使 的 值 ， 在 其 中 ， 我 们 只 取 基 波 ， 即 n =1 ， 相应 的 ： 相 应 的 ：由 边 界 条 件 ii可 得 ， ， 对 于 z有 ： 由 边 界 条 件 ii可 得 ，所 以 ： ） 4 -1 0解 ： （ 1 ） 对 于 均 匀 圆 柱 体 裸 堆 ， 其 几 何 曲 率 ： 可 得 ， 在 临 界 条 件 下 ：临 界 体 积 ： 其 取 最 小 值 时 ： ， 即 ：所 以 ： 0 .5 4 1 2 （ 2 ） 由 上 可 得 临 界 最 小 体 积 ：由 于 临 界 条 件 下 ： 所 以 ： 4 -1 1 设 有 一 由 纯 2 3 9 Pu（ =1 4 .4 1 0 3 kg /m3 ） 组 成 的 球 形 快 中 子 临 界 裸堆 ， 试 用 下 列 单 群 常 数 ： =2 .1 9 , f=1 .8 5 b, r=0 .2 6 b, tr=6 .8 b计 算 其临 界 半 径 与 临 界 质 量 。 解 ： 4 -1 1 解 ： 由 已 知 条 件 可 得 ： 3 .6 4 1 0 2 8 ( m-3 )1 .9 2 1 .7 7 1 0 -3 ( m2 )设 临 界 半 径 为 R， 则 由 临 界 条 件 ： ， 可 得 ： 0 .1 3 8 ( m )对 于 这 一 实 际 问 题 ， 需 考 虑 外 推 距 离 ： 0 .0 2 8 8 ( m ) 所 以 实 际 临 界 体 积 为 ： 5 .4 0 1 0 -3 ( m3 )临 界 质 量 ： 7 7 .8 ( k g ) -1 2 试 求 下 列 等 效 裸 堆 内 热 中 子 通 量 密 度 的 最 大 值 与 平 均 值 之 比 ，即 热 中 子 通 量 密 度 的 不 均 匀 系 数 ： （ 1 ） 半 径 为 R的 球 形 堆 ， 反 射 层 节 省 为 T； （ 2 ） 半 径 为 R， 高 度 为 H的 圆 柱 体 堆 ， 反 射 层 节 省 分 别 为 r和 H； （ 3 ） 边 长 为 a ， b ， c的 长 方 体 堆 ， 反 射 层 节 省 分 别 为 x ， y ， z。 解 ： 可 利 用 裸 堆 结 论 ： 球 ：圆 柱 ： 立 方 体 ：详 细 推 导 ： 根 据 9 7 页 表 4 -1 裸 堆 的 通 解 形 式 可 得 ： 球 ： 圆 柱 ：（ 与 教 材 上 数 值 的 差 异 在 于 对 所 取 的 近 似 值 的 不 同 ， 在 此 取 的 是 0 .5 1 9 1 ）立 方 体 ： 4 -1 6解 ： 以 平 板 厚 度 方 向 上 的 几 何 中 心 为 原 点 建 立 坐 标 系 ， 对 两 区 分 别 建 立 单 群 稳 态 扩 散 方 程 （ 由 于 几 何 上 的 对 称 性 ， 对 于 本 题 只 需 考 虑 一 侧 ， 如x 为 正 一 侧 ） ： 方 程 1 方 程 2 边 界 条 件 ： i. ; ii.由 表 3 -1 查 得 方 程 1 的 通 解 ： 其 中 第 二 项 明 显 有 悖 于 对 称 性 条 件 ， 故 CI = 0 ， 同 理 有 ： （ 由 于 本 题 是 求 解 临 界 尺 寸 ， 默 认 的 前 提 是 几 何 曲 率 等 于 材 料 曲 率 ， 故 以 下 不 再 对 其 进 行 区 别 ， 统 一 用 B2 表 示 ）由 条 件 ii可 得 ： 整 个 系 统 的 临 界 条 件 为 ：即 ： （ 注 意 ， 此 处 的 泄 漏 仅 仅 是 II区 外 表 面 上 的 泄 漏 ， I-II区 之 间 的 净 流 动 是通 过 对 通 量 分 布 产 生 影 响 从 而 作 用 于 泄 漏 率 的 ） 可 见 ， 临 界 尺 寸 a与 b 负 相 关 ， 从 物 理 上 理 解 ： 由 于 I区 增 殖 性 质 弱 于 II区 ， 故 存 在 由 II区 向 I区 的 净 流 动 ， 相 当 于 II区 的 泄 漏 。 I区 尺 寸 越 小 ， 则 这 一 泄 漏 越 弱 ， 当 b = 0 时 ， 则 无 此 项 泄 漏 ， 此 时 的 临 界 尺 寸 a最 小 。 但不 要 认 为 ab 之 和 为 固 定 常 数 ！ 这 里 用 几 何 曲 率 只 是 考 虑 基 波 ， 求 出 的 a + b 相 当 于 同 一 材 料 曲 率 下 最 小 的 临 界 尺 寸 ， 而 实 际 上 对 于 任 意 n 平 方 倍的 几 何 曲 率 ， 临 界 条 件 都 可 以 满 足 。 由 条 件 i可 得 ： 中 子 通 量 分 布 为 ： ， ， 其 中 的 AII由 临 界 时 的 功 率 条 件 确 定 。 4 -1 7解 ： 自 己 设 定 材 料 有 关 参 数 。 以 几 何 中 心 为 原 点 建 立 柱 坐 标 系 ： 方 程 1 方 程 2 由 于 I区 进 行 了 通 量 展 平 ， 即 为 常 数 ， 易 知 ， 而 必 须 大 于 1 。边 界 条 件 ： i. ; ii. ; iii.: iv . ; 查 1 7 5 页 表 7 -2 得 (U-2 3 5 裂 变 产 生 )： 1 3 5 I 1 3 5 Xe 1 4 9 Pm 裂 变 产 额 /% 6 .3 8 6 0 .2 2 8 1 .1 3 衰 变 常 数 /s-1 2 .8 7 1 0 -5 2 .0 9 1 0 -5 3 .5 8 1 0 -6 第 七 章 7 -1 两 个 体 积 、 功 率 密 度 相 同 的 超 热 堆 （ ； b ） 和 热 中 子 反 应 堆 （ ； b ） 中 氙 平 衡 浓 度 之 比 值 ？ （ 此 题 疑 似 印 错 ， 应 为 3 1 0 6 b ， 但 以 原 题 条 件计 算 亦 不 算 错 ， 以 下 同 ） 解 ： 由 已 知 条 件 可 得 ：超 热 堆 ： 热 堆 ：二 者 之 比 ： 2 4 3 7 -4 设 在 某 动 力 反 应 堆 中 ， 已 知 平 均 热 中 子 通 量 密 度 为 2 .9 3 1 0 1 3 cm-2 s-1 ， 燃 料 的 宏 观 裂 变 截 面 = 6 .6 m-1 ， 栅 元 中 宏 观 吸 收 截 面 = 8 .2 9 5 m-1 ， 燃 料 与 栅 元 的 体 积 比 = 0 .3 1 5 5 ， 试 求 1 3 5 I， 1 3 5 Xe， 1 4 9 Pm和 1 4 9 Sm的平 衡 浓 度 和 平 衡 氙 中 毒 。 解 ： 由 已 知 条 件 可 得 ： 2 .0 8 2 (m-1 ) 1 .3 6 1 0 2 1 (m-3 ) 3 .7 1 1 0 2 0 (m-3 ) -1 .3 4 % 1 .9 3 1 0 2 1 (m-3 ) 5 .7 7 1 0 2 1 (m-3 ) 7 -5 试 求 当 热 中 子 通 量 密 度 分 别 为 1 1 0 1 0 ， 1 1 0 1 1 ， 1 1 0 1 2 ， 1 1 0 1 3 ， 1 1 0 1 4 ， 1 1 0 1 5 cm-2 s-1 时 习 题 4 情 况 的 平 衡 氙 中 毒 。解 ： 根 据 上 题 结 论 ： 与 不 同 通 量 相 应 的 平 衡 氙 中 毒 分 别 为 ： -2 .3 8 1 0 -5 、 -2 .3 5 1 0 -4 、 -2 .0 8 1 0 -3 、 -9 .7 9 1 0 -3 、 -1 .5 5 1 0 -2 、 -1 .6 5 1 0 -2 。