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第一章习题解答1解:(1) =0,1,10;(2) =0,1,100,其中为小班人数; (3) =, , ,其中表示击中,表示未击中; (4) =()|1。2解:(1)事件表示该生是三年级男生,但不是运动员; (2)当全学院运动员都是三年级学生时,关系式CB是正确的;(3)全学院运动员都是三年级的男生,ABC=C成立;(4)当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时,=B成立。3解:(1)ABC;(2)AB;(3);(4);(5);(6);(7);(8)4解:因ABCAB,则P(ABC)P(AB)可知P(ABC)=0所以A、B、C至少有一个发生的概率为P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=31/4-1/8+0=5/85解:(1)P(AB)= P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.8-0.2=0.9=P(A)-P(AB)=0.3-0.2=0.1(2)因为P(AB)= P(A)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B)=+,所以最大值maxP(AB)=min(+,1);又P(A)P(AB),P(B)P(AB),故最小值min P(AB)=max(,)6解:设A表示事件“最小号码为5”,B表示事件“最大号码为5”。由题设可知样本点总数,。所以; 7解:设A表示事件“甲、乙两人相邻”, 若个人随机排成一列,则样本点总数为, 若个人随机排成一圈.可将甲任意固定在某个位置,再考虑乙的位置。表示按逆时针方向乙在甲的第个位置, 。则样本空间= ,事件A= 所以 8解:设A表示事件“偶遇一辆小汽车,其牌照号码中有数8”,则其对立事件表示“偶遇一辆小汽车,其牌照号码中没有数8”,即号码中每一位都可从除8以外的其他9个数中取,因此包含的基本事件数为,样本点总数为。故 9解:设A、B、C分别表示事件“恰有2件次品”、“全部为正品”、“至少有1件次品”。由题设知样本点总数,, 而,所以10解:设A、B、C、D分别表示事件“5张牌为同一花色”、“3张同点数且另2张牌也同点数”、“5张牌中有2个不同的对(没有3张同点)”、“4张牌同点数”。样本点总数,各事件包含的基本事件数为 故所求各事件的概率为:11解: (1) (2) (3) 12解:令A=两件产品中有一件是废品,B=两件产品均为废品,C=两件产品中有一件为合格品,D=两件产品中一件是合格品,另一件是废品。则 所求概率为:(1) (2) 13解:设A、B、C分别表示事件甲、乙、丙得病,由已知有:P(A)=0.05 P(B|A)=0.4 P(C|AB)=0.8 则甲、乙、丙均得病的概率为:P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=0.01614解:令 B=从乙团中随机选一人是中国人,则:由全概率公式有:15解:令A=天下雨,B=外出购物 则:P(A)=0.3 , P(B|A)=0.2 ,P(B|)=0.9(1) P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.69(2) P(A|B)=16解:令A=学生知道答案,B=学生不知道答案,C=学生答对P(A)=0.5 PB=0.5 P(C|A)=1 P(C|B)=0.25由全概率公式:P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B) =0.5+0.50.25=0.625所求概率为:P(A|C)=17解:令事件 则(1)(2)18证明:因 则经整理得:即事件A与B 相互独立。19解:由已知有 ,又A、B相互独立,所以A与相互独立;与B相互独立。则可从上式解得:P(A)=P(B)=1/220解:设“密码被译出”,“第i个人能译出密码”,i =1,2,3则又相互独立,因此21解:设“第次试验中A出现”, 则此4个事件相互独立。由题设有: 解得P(A)=0.222解:设A、B、C分别表示事件:甲、乙、丙三门大炮命中敌机,D表示敌机被击落。于是有 D= 故敌机被击落的概率为:=0.90223解:设A、B、C分别表示事件:甲、乙、丙三人钓到鱼,则P(A)=0.4,P(B)=0.6,P(C)=0.9(1) 三人中恰有一人钓到鱼的概率为:=0.40.40.1+0.60.60.1+0.60.40.9=0.268(2) 三人中至少有一人钓到鱼的概率为: =1-0.60.40.1 =0.97624解:设D=“甲最终获胜”,A=“第一、二回合甲取胜”;B=“第一、二回合乙取胜”;C=“第一、二回合甲、乙各取胜一次”。则: 由全概率公式得: 所以 P(D)=25解:由题设500个错字出现在每一页上的机会均为1/50,对给定的一页,500个错字是否出现在上面,相当于做500次独立重复试验。因此出现在给定的一页上的错字个数服从二项概率公式,所以所求概率为: P=26解:设A=“厂长作出正确决策”。每个顾问向厂长贡献意见是相互独立的,因此5个顾问向厂长贡献正确意见相当于做5 次重复试验,则所求概率为: P(A)=0.3174附综合练习题解答一、 填空题10.3;3/7;0.620.829;0.98830.2;0.24052/367/1271/482/39103/64二、 选择题1. C; 2.D; 3.D; 4.D; 5.B; 6.B; 7.B; 8.C; 9.C; 10.D三、1.(1)假;(2)假;(3)假;(4)真;(5)真2. 解:设A=所取两球颜色相同样本点总数为,若A发生,意味着都取到黑球或白球,故A包含的基本事件数为,所以P(A)=2/93. 解:设A=“第三次才取得合格品” 则=4. 解:从0,1,9中不放回地依次选取3个数,组成一个数码。若0在首位,该数码为两位数,否则为三位数,于是可组成的数有1098=720个。(1) 设A=“此数个位为5”, ,P(A)=1/10(2) 设B=“此数能被5整除”,P(B)=1/55. 解:设A=“系统可靠”,由全概率公式有:当第3号元件工作不正常时,系统变为如下: 1 2 4 5 图1当第3号元件工作正常时,系统变为如下: 1 2 4 5 图2 从而 6. 解:设A=“某人买到此书”,=“能从第个新华书店买到此书”,由题设故所求概率为: 第二章习题解答1.设与分别是随机变量X与Y的分布函数,为使是某个随机变量的分布函数, 则的值可取为( A ). A. B. C. D. 2. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个产品中的次品数的分布律.解:因为随机变量这4个产品中的次品数的所有可能的取值为:0,1,2,3,4.且;.因此所求的分布律为:X01234P0.28170.46960.21670.03100.00103 如果服从0-1分布, 又知取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出的分布律和分布函数.解:设,则.由已知,所以的分布律为:X01P1/32/3当时,;当时,;当时,.的分布函数为: .4. 一批零件中有7个合格品,3个不合格品,安装配件时,从这批零件中任取一个,若取出不合格品不再放回,而再取一个零件,直到取得合格品为止,求在取出合格品以前,已取出不合格品数的概率分布. 解:设X=在取出合格品以前,已取出不合格品数.则X的所有可能的取值为0,1,2,3.;.所以X的概率分布为:X01 2 3P7/107/30 7/120 1/1205. 从一副扑克牌(52张)中发出5张,求其中黑桃张数的概率分布. 解:设X其中黑桃张数.则X的所有可能的取值为0,1,2,3,4,5.;.所以X的概率分布为:X01 2 3 4 5P0.22150.4114 0.2743 0.0815 0.0107 0.00056. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p, 当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间生产的合格品数的概率函数.解:由已知,所以.7. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿是相互独立的,且红、绿两种信号显示时间相同. 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数. 求X的概率分布.解:的所有可能的取值为0,1,2,3.且;所以X的概率分布为X0123P1/21/41/81/88. 一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训,据以前的培训情况,估计大约有4%的培训者不能完成培训任务. 求:(1) 恰有6个人不能完成培训的概率;(2) 不多于4个的概率. 解:设X不能完成培训的人数.则,(1);(2).9. 一批产品的接收者称为使用方,使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率p接受一批产品的概率. 假设你是使用方,允许次品率不超过,你方的验收标准为从这批产品中任取100个进行检验,若次品不超过3个则接受该批产品. 试求使用方风险是多少?(假设这批产品实际次品率为0. 06). 解:设X100个产品中的次品数,则,所求概率为.10. 甲、乙两人各有赌本30元和20元,以投掷一枚均匀硬币进行赌博. 约定若出现正面,则甲赢10元,乙输10元;如果出现反面,则甲输10元,乙赢10元. 分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数.解:设投掷一次后甲的赌本,投掷一次后乙的赌本.则的取值为20,40,且,所以与的分布律分别为: 20 40 10 30 1/2 1/2 1/2 1/2 , 11. 设离散型随机变量的概率分布为:(1); (2),分别求(1)、(2)中常数的值. 解:(1)因为即 ,所以.(2) 因为 即,所以 .12. 已知一电话交换台服从的泊松分布,求:(1)每分钟恰有8次传唤的概率;(2)每分钟传唤次数大于8次的概率.解:设X每分钟接到的传唤次数,则,查泊松分布表得(1);(2).13. 一口袋中有5个乒乓球,编号分别为1、2、3、4、5,从中任取3个,以示3个球中最小号码,写出的概率分布.解:的所有可能的取值为1,2,3.;.所以X的概率分布为:X123P6/103/101/1014. 已知每天去图书馆的人数服从参数为的泊松分布. 若去图书馆的读者中每个人借书的概率为,且读者是否借书是相互独立的. 求每天借书的人数X的概率分布. 解:设每天去图书馆的人数,则,当时,即X的概率分布为.15. 设随机变量的密度函数为,且,试求常数和. 解:;,由得,16. 服从柯西分布的随机变量的分布函数是F(x)=A+B, 求常数A, B; 以及概率密度f(x).解:由得.所以;.17. 设连续型随机变量的分布函数为求:(1)常数的值;(2)的概率密度函数;(3). 解:(1)由的连续性得即,所以,;(2);(3).18. 设随机变量的分布密度函数为试求:(1)系数;(2);(3)的分布函数. 解:(1)因为所以,; (2);(3) 当时,当时,当时,所以 19. 假设你要参加在11层召开的会议,在会议开始前5 min你正好到达10层电梯口,已知在任意一层等待电梯的时间服从0到10 min之间的均匀分布. 电梯运行一层的时间为10 s,从11层电梯口到达会议室需要20 秒. 如果你不想走楼梯而执意等待电梯,则你能准时到达会场的概率是多少?解:设=在任意一层等待电梯的时间,则,由题意,若能准时到达会场,则在10等电梯的时间不能超过4.5 min,所求概率为.20. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间(min)服从的指数分布. 某顾客在窗口等待服务,若超过10 min,他就离开. 若他一个月到银行5次,求:(1) 一个月内他未等到服务而离开窗口的次数的分布;(2) 求. 解:(1)由已知,其中所以的分布为;(2).21. 设随机变量,求使: (1);(2). 解:由得(1)查标准正态分布表得:,所以;(2)由得,所以即,查标准正态分布表得,所以22. 设,求. 解:由得;.23. 某地8月份的降水量服从的正态分布,求该地区8月份降水量超过250 的概率. 解:设随机变量该地8月份的降水量,则,从而所求概率为24. 测量某一目标的距离时,产生的随机误差服从正态分布,求在3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 的概率. 解:由得设在3次测量中误差的绝对值不超过30 的次数,则其中所以P3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 =25. 已知测量误差,X的单位是mm,问必须进行多少次测量,才能使至少有一次测量的绝对误差不超过的概率大于0. 9. 解:设必须进行n次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过的概率大于0. 9.由已知,设n次测量中,绝对误差不超过的次数,则其中所求概率为,即,解之得,必须进行3次测量,才能使至少有一次测量的绝对误差不超过的概率大于0. 9.26. 参加某项综合测试的380名学生均有机会获得该测试的满分500分. 设学生的得分,某教授根据得分将学生分成五个等级:A级:得分;B级:;C级:;D级:;F级:. 已知A级和C级的最低得分分别为448分和352分,则: (1)和是多少?(2)多少个学生得B级?解:(1)由已知,解之得(2)由于0.3413380=129.66,故应有130名学生得B级。27. 已知随机变量的概率分布如下, -1 0 1 2 0. 2 0. 25 0. 30 0. 25 求及的概率分布. 解:的所有可能的取值为4,1,-2,-5.且;.所以的分布律为-5 -2 1 40.25 0.3 0.25 0.2的所有可能的取值为1,2,5且;.所以的分布律为 1 2 50.25 0.5 0.2528. 设随机变量,求的密度函数.解:由XN(0,1),得 ,设的分布函数为FY(y),则当y1时,;当y0时Z的密度函数为当时,所以第四章习题解答1设随机变量XB(30,),则E(X)( D ). A.; B.; C.; D.5.2已知随机变量X和Y相互独立,且它们分别在区间-1,3和2,4上服从均匀分布,则E(XY)=( A ).A. 3;B. 6; C. 10; D. 12. 因为随机变量X和Y相互独立所以3设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则X2的数学期望E(X 2)_18.4_4某射手有3发子弹,射一次命中的概率为,如果命中了就停止射击,否则一直射到子弹用尽设表示X耗用的子弹数求E(X).解:X123P2/32/91/95设X的概率密度函数为求 解:,.6设随机向量(X,Y)的联合分布律为:YX-112-10.250.10.320.150.150.05求 解:X-12P0.650.35.Y-112P0.40.250.357设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为求(1); (2) . 解:8设随机变量X与Y相互独立,且D(X)=1,D(Y)=2,则D(X-Y)= 3 .9设正方形的边长在区间0,2服从均匀分布,则正方形面积A=X2的方差为_64/45_. X的密度函数10设随机变量X的分布律为X-1012P1/51/21/51/10求 D(X). 解:,,.11设随机变量X的概率密度函数为,求D(X )解:,.12设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为 求D(X ),D(Y ),D(X-Y )解:由本章习题5知,于是有.由知.由于随机变量X,Y相互独立,所以.13设D(X)=1,D(Y)=4,相关系数,则cov(X,Y)=_1_.cov(X,Y)=14设二维随机变量(X, Y )的联合密度函数为求cov(X,Y ), 解:,.由对称性 , .cov(X,Y )=15设二维随机变量(X, Y )有联合概率密度函数试求E(X),E(Y),cov(X, Y), 解:,由对称性.,cov(X,Y )= .,. 由对称性.16设X, Y相互独立,XN(0,1),Y N(1,2),Z = X+2Y,试求X与Z的相关系数解:,.17设随机变量(5,3),Y在0,6上服从均匀分布,相关系数,求(1);(2).解:,18设二维随机向量(X,Y)的概率密度为求(1)E(XY);(2)E(XY);(3). 解:; cov(X,Y )= ,第五章习题解答 1. 设随机变量X的方差为2,则根据车比雪夫不等式有估计 1/2 . 2. 随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,相关系数为-0.5,则根据车比雪夫不等式有估计 1/12 . 3. 电站供应一万户用电设用电高峰时,每户用电的概率为09,利用中心极限定理,(1)计算同时用电的户数在9030户以上的概率;(2)若每户用电200 w,电站至少应具有多大发电量才能以095的概率保证供电? 解: 设表示用电户数,则 由中心定理(定理4)得 设发电量为,依题意即 4. 某车间有150台同类型的机器,每台机器出现故障的概率都是002,设各台机器的工作是相互独立的,求机器出现故障的台数不少于2的概率解:设表示机器出故障的台数,则 5.用一种对某种疾病的治愈率为80%的新药给100个患该病的病人同时服用,求治愈人数不少于90的概率解:设表示治愈人数,则 其中 6. 设某集成电路出厂时一级品率为0.7,装配一台仪器需要100只一级品集成电路,问购置多少只才能以99.9%的概率保证装该仪器是够用(不能因一级品不够而影响工作)解:设购置台,其中一级品数为,有 7. 分别用切比雪夫不等式与隶美弗拉普拉斯中心极限定理确定:当掷一枚硬币时,需要掷多少次,才能保证出现正面的频率在0.40.6之间的概率不小于90%解:设投,其中正面出现的次数为,由切贝雪夫不等式只要 中心极限定理8. 某螺丝钉厂的废品率为0.01,今取500个装成一盒问废品不超过5个的概率是多少?解:设表示废品数,则习 题 七1.解:因为,由于,即,解之得,的矩估计量为.2.解:正态分布的密度函数为似然函数:所以,似然方程组: 解之得,所以和的极大似然估计分别是,所以的极大似然估计为,其中.3. 解:(1)因为,由于,即,解之得,的矩估计量为.(2)似然函数:,所以, ,似然方程:,解之得,的极大似然估计为.4.解:(1)似然函数:, 所以,似然方程:,解之得,的极大似然估计为.(2)似然函数:, 所以,似然方程:解之得,的极大似然估计为.(3)似然函数:, 所以,似然方程:,解之得,的极大似然估计为.5.解:由于,所以,且之间相互独立,从而,对于任意,所以也是的无偏估计.6.解:因为总体均值为,总体方差为,由于样本均值是总体均值的无偏估计,样本方差是总体方差的无偏估计,所以,因此,分别是总体均值,总体方差的无偏估计量.7.解:由已知,且之间相互独立,所以,若使为的无偏估计,只要,即.8.解:(1)由于,对于给定的0.05,查附表可确定,使,即,因此的0.95置信区间是.(2), 取 ,对于给定的0.05,查附表可确定,使,即,因此的0.95置信区间是.9. 由于, 取 ,对于给定的0.05,查附表可确定,使,即,因此的0.95置信区间是.10. 由于, 取 ,对于给定的0.05,查附表可确定,使,即,因此的0.95置信区间是.11. 由于,由 ,因而的0.95置信区间为,从而的0.95置信区间为12. 由于,取 .由,可得的0.95置信区间为13. 由于,因为,,我们可以用、的无偏估计量、来代替、进行计算,即可得到大样本时的0.95置信区间为14. 由于,取 由,可得的0.95置信区间为39
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