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一、概率公式的题目1、已知 求 解:2、已知 求解:。3、已知随机变量,即有概率分布律,并记事件。 求:(1); (2) ; (3) 。解:(1); (2)(3)4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,它是甲射中的概率是多少?解: 设A=“甲射击一次命中目标”,B=“乙射击一次命中目标”, =5、为了防止意外,在矿内同时设两种报警系统,每种系统单独使用时,其有效的概率系统为0.92,系统为0.93,在失灵的条件下,有效的概率为0.85,求:(1)发生意外时,这两个报警系统至少有一个有效的概率;(2)失灵的条件下,有效的概率。解:设“系统有效”, “系统有效”, , 6、由长期统计资料得知,某一地区在4月份下雨(记作事件)的概率为,刮风(记作事件)的概率为,既刮风又下雨的概率为,求。解:;。二、已知密度(函数)求概率的题目1、某批晶体管的使用寿命X(小时)的密度函数 ,任取其中3只,求使用最初150小时内,无一晶体管损坏的概率。解:任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为 设Y为任取的5只晶体管中使用寿命超过150小时的晶体管数,则.故有2、某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时,该城市每天耗电率(即每天耗电量/百万瓦小时)是一个随机变量X,它的分布密度为,若每天供电量为80万千瓦小时,求任一天供电量不够需要的概率?解:每天供电量80万千瓦小时,所以供给耗电率为:80万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8,供电量不够需要即实际耗电率大于供给耗电率。所以。3、某种型号的电子管的寿命X(以小时计)具有以下的概率密度,现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立),任取5只,问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少?解:一个电子管寿命大于1500小时的概率为令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则,4、某些生化制品的有效成分如活性酶,其含量会随时间而衰减。当有效成分的含量降至实验室要求的有效计量下,该制品便被视为失效。制品能维持其有效剂量的时间为该制品的有效期,它显然是随机变量,记为X。多数情况下,可以认为X服从指数分布。设它的概率密度函数为: (的单位为月)(1)从一批产品中抽取样品,测得有50的样品有效期大于4个月,求参数的值。(2)若一件产品出厂12个月后还有效,再过12个月后它还有效的概率有多大?解:指数分布的分布函数为()()5、设K在(-1,5)上服从均匀分布,求的方程有实根的概率。解:要想有实根,则则,又因为,所以。三、分布函数、密度函数的题目1、设随机变量X的分布函数为,(1) 求系数A ,B; (2) 求; (3) 求X的分布密度。解:(1)由F(x)在处的右连续性知 解之得(2)(3)因为,则2、设随机变量的分布函数为 ,求:(1)常数; (2); (3)的密度函数。解:(1)由分布函数的右连续性知: ,所以;(2); (3) 。3、设随机变量的分布函数为 ,求:常数; ; 的密度函数。解:(1)由分布函数的右连续性知:,所以;(2);(3) 。4、设随机变量的分布函数为求:(1)系数; (2); (3)的密度函数。解: (1) 由于在内连续, 又 故 (2) =(3) 的密度函数为 5、设连续性随机变量的分布函数为 ,求:(1)常数A,B; (2); (3) 的密度函数。解:(1)由分布函数的右连续性及性质知:,所以;(2); (3) 。6、设随机变量X的概率密度函数为 ,(1) 求常数A; (2) 求; (3) 求X的分布函数。解: (1) 所以 (2) (3) 所以7、设连续型随机变量的密度函数为,求:系数; 的分布函数; 。解:(1)由,; (2);(3)8、设随机变量的密度函数为 ,求:(1)常数; (2); (3)的分布函数。解:(1)由,; (2); (3)9、设随机变量的密度函数为 ,求(1)常数; (2); (3)的分布函数。解:(1)由,; (2);(3)四、变一般正态为标准正态分布求概率1、调查某地方考生的外语成绩X近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3% 。试求:(1)考生的外语成绩在60分至84分之间的概率; (2)该地外语考试的及格率;(3)若已知第三名的成绩是96分,求不及格的人数。( , )解:依题意,(1) (2) (3)设全班人数为n, 由(2) 知不及格率为0.1587, 则,则不及格人数为2、某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布,如果85分以上为“优秀”,问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几。解:依题意,85分以上学生为优秀,则所以优秀学生为2.28%。3、设某工程队完成某项工程所需时间X(天)近似服从。工程队上级规定:若工程在100天内完工,可获得奖金7万元;在100115天内完工可获得奖金3万元;超过115天完工,罚款4万元。求该工程队在完成此项工程时,所获奖金的分布律。(参考数据:)解:设所获奖金为Y万元,Y是X的函数,可取值为4,3,7 Y-43 7P0.00130.49870.5000 所以,可获奖金Y 的分布律为 : 4、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的,设男子的身高,问车门的高度应如何确定?()解:设车门的高度为厘米,则, 所以。即车门的高度至少要厘米。5、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的,设男子的身高,问车门的高度应如何确定?() 解:设车门的高度为厘米,则, 所以。即车门的高度至少要厘米。6、某地区18岁的女青年的血压(以mm-Hg计)服从,在该地区任选一18岁女青年,测量她的血压X。求:(1)P (X105);(2)P (100X 120)。(,)解:(2) 五、数学期望、方差的题目1、 设随机变量的概率密度为:,求:解:所以 2、一工厂生产的某种设备的寿命(以年计) 服从指数分布,的密度函数为 工厂规定,出售的设备若售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费200元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。解:设表示厂方出售一台设备净赢利,有 所以每台的净赢利的数学期望为元3、假设有10只同种电器元件,其中有两只废品,从这批元件中任取一只,如是废品则扔掉重取一只,如仍是废品则扔掉再取一只,求:在取到正品之前,已取出的废品数的期望和方差。解:设为取到正品之前已取出的废品数,则的分布为 故 4、一袋中有张卡片,分别记为,从中有放回的抽取张来,以表示取出的张卡片的号码之和,求。解:设表示第次取出的号码,则的分布律为 ,所以,则5、已知随机变量的密度函数为,对独立观察3次,用表示观察值大于的次数。求:(1)的分布律; (2)的分布函数; (3)解:令(1)的分布律为:(2) ; (3) 6、某车间生产的圆盘直径在区间服从均匀分布,试求圆盘面积的数学期望。解:设为圆的直径,为圆的面积,则 ,因为所以 的密度函数为 所以7、某厂生产一种化工产品,这种产品每月的市场需求量(吨)服从区间 0 ,5 上的均匀分布这种产品生产出来后,在市场上每售出1吨可获利6万元。如果产量大于需求量,则每多生产1吨要亏损4万元如果产量小于需求量,则不亏损,但只有生产出来的那一部分产品能获利。问:为了使每月的平均利润达到最大,这种产品的月产量 应该定为多少吨?解:因为,的概率密度为 。 设为该厂每月获得的利润(单位:万元),根据题意 。该厂平均每月利润为: 。由 可解得 (吨)。可见,要使得每月的平均利润达到最大,月产量应定为吨。8、设随机变量的概率密度为 已知 求:(1)的值; (2)随机变量的数学期望。解:(1) ,解方程组 ;(2)9、设一部机器在一天内发生故障的概率为,机器发生故障时全天停止工作,若一周五个工作日里无故障,可获利润万元,发生一次故障可获利润万元,发生两次故障获利万元,发生三次或三次以上故障则亏损万元,求一周内的利润期望。解:设一周5个工作日内发生故障的天数为,则,设为一周内获得的利润,则为离散型随机变量,其所有可能取值为(万元)其分布律为: 即可获利润T 的分布律为 : T-2 0 510 P 0.057 0.205 0.410 0.328。六、点估计(矩估计和极大似然估计)的题目1、设总体概率密度为:,其中参数且未知,设为总体的一个样本, 是样本值,求的矩估计量和极大似然估计量。2、已知随机变量的密度函数为,其中为未知参数,求的矩估计量与极大似然估计量。3、设总体概率密度为,其中为未知参数,为总体的一个样本, 是样本值,求参数的矩估计量和极大似然估计量。X1234、设总体X具有分布律 :其中为未知参数,已知取得了样本值。试求的矩估计值和极大似然估计值。5、设总体的密度函数为:,其中为未知参数, 是来自总体的样本,求参数的矩估计量和极大似然估计量。6、设为总体的一个样本, 的密度函数(其中未知参数),是样本值,求参数的矩估计量和最大似然估计量。7、设为总体的一个样本, 的密度函数,其中未知参数,是样本值,求参数的矩估计量和最大似然估计量。8、已知随机变量的密度函数为 ,其中为未知参数,设为总体的一个样本, 是样本值,求参数的矩估计量和极大似然估计量七、区间估计1、为考察某大学成年男性的胆固醇水平,现抽取了样本容量为25的一个样本,并测得样本均值为,样本标准差为。假定胆固醇水平,与均未知,求总体标准差的置信度为90%的置信区间。( , )2、设某异常区磁场强度服从正态分布,现对该地区进行磁测,今抽测16个点,算得样本均值样本方差,求出的置信度为的置信区间。参考数据:3、某单位职工每天的医疗费服从正态分布,现抽查了天,得,求职工每天医疗费均值的置信水平为的置信区间。()4、某超市抽查80人,调查他们每月在酱菜上的平均花87费,发现平均值为元,样本标准差元。求到超市人群每月在酱菜上的平均花费的置信度为 的区间估计。(,)5、随机地取某种炮弹发做试验,测得炮口速度的样本标准差,设炮口速度服从正态分布,求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为的置信区间。6、从某商店一年来的发票存根中随机抽取26张,算得平均金额为78.5元,样本标准差为20元。假定发票金额服从正态分布,求该商店一年来发票平均金额的置信度为90%的置信区间。 八、假设检验1、设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取25位考生的成绩,算得平均成绩为=66分,标准差20分,问在显著性水平下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为71分?并给出检验过程。(参考数据:,)2、机器自动包装食盐,设每袋盐的净重服从正态分布,要求每袋盐的标准重量为500克。某天开工后,为了检验机器是否正常工作,从已经包装好的食盐中随机取9袋,测得样本均值样本方差. 问这天自动包装机工作是否正常()?(参考数据:)3、设有正态分布总体的容量为100的样本,样本均值均未知,而,在水平下,是否可以认为总体方差为?4、设总体服从正态分布,从中抽取一个容量为的样本,测得样本标准差,取显著性水平,是否可以认为总体方差为?(;)5、设某次概率统计课程期末考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为 分,样本标准差为分,问在显著性水平下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程。6、某百货商场的日销售额服从正态分布,去年的日均销售额为53.6万元,方差为36.今年随机抽查了10个日销售额,算得样本均值万元,根据经验,今年日销售额的方差没有变化。问:今年的日平均销售额与去年相比有无显著性变化()?()7、某广告公司在广播电台做流行歌曲磁带广告,它的广告是针对平均年龄为21岁的年轻人。广告公司想了解其节目是否为目标听众所接受。假定听众的年龄服从正态分布,现随机抽取400位听众进行调查,得岁,以显著性水平判断广告公司的广告策划是否符合实际? 检验假设 ()六、点估计(矩估计、极大似然估计)的答案1、解:,令,得的矩估计量似然函数为.由 得的极大似然估计量 。2、解: 故 的矩估计量为 似然函数, 故 3、解:令,得的矩估计量为 。似然函数为 .由 得的极大似然估计量为 。4、解 : 令,所以为的矩估计量,矩估计值为。 ,令,得。5、解: 由,令,得的矩估计量为。先写出似然函数 ,取对数得 . 似然方程为 解得的极大似然估计值为; 的极大似然估计量为。6、解: 令 故 的矩估计量为 似然函数 7、解: 令 故 的矩估计量为 似然函数 8、解: 故 的矩估计量为 似然函数, 故 七、区间估计的答案1、解:由公式知的置信度为的置信区间为 . 而,,,代入可得的置信区间为(9.74,15.80).2、解:的置信区间为3、解:已知,所以的置信度为95%的双侧置信区间为:4、解:样本容量,属大样本,则近似服从,按照正态分布均值的置信区间的求法, 而, ,可以类似得到酱菜平均花费的置信度为的置信区间是5、解:已知,所以的95%的置信区间为: 。6、解 :设总体为,因未知,则发票平均金额的置信度为的置信区间是,将,代入得到的置信区间为(71.8,85.2)。八、假设检验的答案1、解: 由于所以接受,即在显著水平0.05下,可以认为这次考试全体学生的平均成绩为71分。2、解: . 若成立, 统计量. 。 故接受.认为这天自动包装机正常。3、解: , 由于, 所以接受,即在显著水平0.05下,认为总方差为2.5。4、解: 由于,因为,所以接受,即在显著水平0.05下,可以认为总体方差为80。5、解: 由于所以接受,即在显著水平0.1下,可以认为这次考试全体学生的平均成绩为70分。6、解:今年日销售额总体,其中已知.建立假设当真时,检验统计量为. 拒绝域为由于. 查表得,代入得,故拒绝原假设,即认为今年的日平均销售额与去年相比有显著性变化。 7、解:建立假设当真时,检验统计量拒绝域为.查表得,由于,故拒绝原假设,
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