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第1章随机事件及其概率(1)排列组合公式Pn-m!从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。m(mn)!Cn-m!从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。mn!(mn)!加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mXn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mXn种方法来完成。(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 壬何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用，来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用0表示。一个事件就是由Q中的部分点(基本事件，)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,表示事件，它们是q的子集。Q为必然事件，0为不可能事件。不可能事件(0)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。事件的关系与运算 关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(A发生必有事件B发生)：AB如果同时有AB，BA，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=BOA、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+Bo属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AnB，或者ABoAnB=0，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。q-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为Ao它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 运算：结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)n(BUC)(AUB)DC=(AC)U(BC)德摩根率：何a,=也a,auB=AAB，AAB=AUB(刀概率的公理化定义设,为样样本空间,A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件：10WP(A)W1,2P(Q)=13对于两两互不相容的事件A,A,有PUA.卜艺P(A.)T常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件人的概率。JA1古典概型1,=to,0,则称P(AB)为事件A发生条件P(A)下，事件B发生的条件概率，记为P(B/A)_P(AB)。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Q/B)=1nP(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)_P(A)P(B/A)更一般地，对事件A,A,A,若P(AAA)0,则有12n12n-1P(4A2A”)P(AJP(A2IAJP(A3IA/2)P(A”1A/2A一J。(14)独立性两个事件的独立性设事件A、b满足P(AB)_P(A)P(B)，则称事件a、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A)0，则有P(B1A)_P(AB)_P(A)P(B)_P(B)P(A)P(A)若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件0与任何事件都相互独立。0与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)二P(A)P(B)；P(BC)二P(B)P(C)；P(CA)二P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公式设事件bb.b满足o12，”丄宀广B,B2,Bn两两互不相容，p(B),0(i=1,2,n)，2AuUb，I则有1二1P(A)二P(BJP(A1BJP(B2)P(A1B2)P(B”)P(A1B”)。(16)贝叶斯公式设事件斗，為，B及A满足1B，B，B两两互不相容，P(Bi)0，i=1，2，n，12n2AutB.，P(A),0，则iP(B/A)=P(B)P(A/B)p(b/A)一，i=1，2，n。P(B)P(A/B)此公式即为贝叶斯公式。P(B)，(i=1，2，)，通常叫先验概率。P(B/A)，(i=1，2，n)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。(17.伯努利概型我们作了n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则a发生的概率为_p=q，用p(k)表示n重伯努利试验中A出现k(k0，k1,2,，(2),pk1。连续型随机变量的分布密度设F(x)是随机变量x的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x，有F(x)*f(x)dx，则称x为连续型随机变量。f(x)称为x的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1f(x)0。2卜f(x)dx1。离散与连续型随机变量的关系gP(Xx)皑P(xXx+dx)皑f(x)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与p(X耳)Pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x)p(Xx)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aXb)F(b)F(a)可以得到X落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-g,x内的概率。分布函数具有如下性质：10F(x)1,gx+g;2F(x)是单调不减的函数,即x1x2时，有F(x1)F(x2);3F(g)limF(x)0，F(+g)=limF(x)=1；xT-gxT+g4F(x+0)F(x)，即F(x)是右连续的；5P(Xx)F(x)F(x0)。对于离散型随机变量，F(x)，匕；XXk对于连续型随机变量，F(x)f(x)dx。八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,n。P(X=k)=P(k)=Ckpkqn-k，其中nnq=1-p,0,p,1,k=0,1,2,n，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为XB(n,p)o当n=1时，P(X=k)=pkqi-k,k=0.1,这就是.(OT)分布，所以(0T)分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为九kP(X=k)=e-九,X0,k=0,1,2,k!则称随机变量X服从参数为X的泊松分布，记为X(X)或者P(X)o泊松分布为二项分布的极限分布(np二入，nTs)o超几何分布CkCn-kk=0,1,2,lP(X=k)=MN-M,Cnl=min(M,n)随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)o几何分布P(X=k)=qk-1p,k=1,2,3,，其中p$0,q=1-po随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)o均匀分布设随机变量X的值只落在a,b内，其密度函数f(x)在a,b上为常数1,即b一afiaWxWbf(x)=|b-/其他，则称随机变量X在a,b上服从均匀分布，记为XU(a,b)o分布函数为0,xva,Cx-ab一aaWxWbF(x)=b。当aWxxWb时，X落在区间(x,x)内的概率为1212xxP(x,X,x)一Lo12b一a指数分布九e-心,x”0厂，f(X)0x0J其中九0，则称随机变量X服从参数为九的指数分布。X的分布函数为1-e-抵，x”0F(x)/0丿_5xv0。记住积分公式：Jxne-xdx，n!0正态分布设随机变量X的密度函数为1(Y-八2f(x)e2o2，x0为常数，则称随机变量X服从参数为卩、G的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为XN(p,G2)f(x)具有如下性质：1f(x)的图形是关于x，卩对称的；12当x，卩时，f(卩)，-为最大值；厂J2兀G若XN(卩Q2)，则X的分布函数为1fF(x)Jxe-2g2dtJ2曲-参数卩0、G，i时的正态分布称为标准正态分布，记为XN(0,1)，其密度函数记为(x)，丄e-亍，x，分布函数为11f2(x)，Je2dtJ2兀(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x)=1一(x)且(0)=1Xu2如果XN(u,G2)，贝HN(0,1)x-uJx-u)P(xX“x)112G丿G丿(6)分位数下分位表：P(X，卩)=；上分位表：P(X卩)=。(刀函数分布离散型已知X的分布列为VVv.v.Xx卩x%P(Xx，)p,p2，,p“，Yg(X)的分布列(yg(x)互不相等)如下：Yg(x1),g(x2),i,g(x“)，P(Yy)pp.p，若有某些g(x.)相等，则应将对应的p相力口作为g(x.)1i1的概率。连续型先利用X的概率密度f(X)写出Y的分布函数F(y)XY=P(g(X)Wy),再利用变上下限积分的求导公式求出f(y)。Y第三章二维随机变量及其分布联合离散型分布如果二维随机向量(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称为离散型随机量。设=(X,Y)的所有可能取值为(x,y)(i,j1,2,),且事件=(x,y)的概率为ij-iP，称ij,P(X,Y)(x.,y)p/i,j1,2,)为=(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：7yiy2yjX1piiP12P1jX2p21P22P2jXiP11p这里P具有亍下面两个性丿贡：p0(i,j=1,2,);为工P.1-ij连续型1)对于二维随机向量g(X,Y),如果存在非负函数f(x,y)(-sx+8,-8y+s)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)|axb,cyd有P(X,Y)eDJJf(x,y)dxdy,则称g为连续型随机向量；并称f(x,y)为g=(X,Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质：f(x,y)$0;(2)卜卜f(x,y)dxdy二1.MM(2)二维随机变量的本质g(Xx,Yy)(XxYy)联合分布函数设(X，Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F(x,y)PXx,Yy称为二维随机向量(X，Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件(,)1X()x,Y()y的概率为函数值的一个实卷函数。分布函数攵F(x,y)具有以下的基本性质：(1) 0F(x,y)x时，有F(x,y)$F(x,y);当yy时，有F(x,y)鼻2121212F(x,y);1,(3) F(x,y)分别对x和y是右连续的，即F(x,y)F(x,0,y),F(x,y)=F(x,y,0)；(4) F(g,g)F(-,y)F(x,s)0,F(+y,+s)=1.(5) 对于xx,yy,1212F(x,y)-F(x,y)-F(x,y),F(x,y)0.22211211离散型与连续型的关系P(Xx,Yy)P(xXx,dx,yYy,dy)f(x,y)dxdy边缘分布离散型X的边缘分布为PP(Xx)工p(i,j1,2,)；iijY的边缘分布为7PP(Yy)工p(i；j1,2,)ojjji连续型X的边缘分布密度为f(x)J+mf(x,y)dy；XY的边缘分布密度为f(y)二卜f(x,y)dx.Y-M条件分布离散型在已知X二X的条件下，Y取值的条件分布为iP(Y=y1X二x)二仝；j1p在已知丫二y的条件卡，X取值的条件分布为jpP(X-x1Y-y)-j,ijp/连续型在已知丫二y的条件下，X的条件分布密度为f(x1y)-f(;f(y)Y在已知X二X的条件下，丫的条件分布密度为f(yix)-f(乙(x)(刀独立性一般型F(X,Y)=F(x)F(y)X丫离散型pppij有零不独立连续型f(x,y)=f(x)f(y)XY直接判断，充要条件： 可分离变量 正概率密度区间为矩形二维正态分布f(x.y)-e2(i-P2)。J叩222“n。Jl-p212P=0随机变量的函数若X,X,X,X，X相互独立，h,g为连续函数,12mm+1n则：h(X,X,X)和g(X，X)相互独立。12mm+1n特例：若X与丫独立，贝：h(X)和g(Y)独立。例如：若X与丫独立，则：3X+1和5丫-2独立。9(8)二维均匀分布设随机向量(X,1SDY)的分布密度函数为(X,y)Df(x,y)，100,其他其中S。为区域D的面积，则称(X,Y)服从D上的均匀分布,记为(X,Y)U(D)。例如图3.1、图3.2和图3.3。y-1n1图3.1#(9)二维正态分布2x图3.2C_Oa-图3.3设随机向量(X,Y)的分布密度函数为_e2(1-2)222-(x-)();-出)“”12f(X,y)2”J1P12其中,”0,”0,1pl1是5个参数，则称(X,Y)服从二12,12维正态分布，记为(X,Y)N(,”2,”2,P).12,12由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即X7(，”2),YN(”2).112,2但是若X7(，”2),YN(”2),(X,Y)未必是二维正态分布。112,2#(10)函数分布Z二X+Y根据定义计算：F(z)，P(Zz)，P(X+Yz)z对于连续型，fz(z)=ff(x,z-x)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布(p+p,(y2+c2)。1212n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。卩，工Cp(2，工C2(2iiiiiiZ二max,min(X,X,12X)n若X,XX相互独立，其分布函数分别为12nF(x),F(x)F(x),则Z=max,min(X,X,X)的兀无c无12n分布函数为：F(x)，F(x)F(x)F(x)maXxix2xnF(x)，1-1-F(x)1-F(x).1-F(x)minxxxX2分布设n个随机变量X,X，,X相互独立,且服从标12n准正态分布，可以证明它们的平方和W，工X2i的分布密度为11皿仏0,f(u)，2；-n12丿0,u0.我们称随机变量W服从自由度为n的X2分布，记为wX2(n),其中n“fnr，J+x2-1e-xdx.2丿0所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。X2分布满足可加性：设Y-X2(),ii则Z，工YX2(+).i12ki-111t分布F分布设X,Y是两个相互独立的随机变量，且XN(0,1),Y2(n),可以证明函数T丄yYTn的概率密度为(n+1)、丁丿/Jn兀寸2j我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。(n)二-1(n)Iaa”,12(-gt+s).设X2(n),Y2(n),且X与Y独立，可以证明12F二孚伫的概率密度函数为Y/n212#I2(n)r亠r亠I2丿n+n、吟(n2&-11n1+亠yLy2Ln丿L化丿LX丿I2丿0,y8)8)的一种估计，它在理论上有重要意义。(21)期望)的性3)质4)E(C)二CE(CX)=CE(X)E(X+Y)二E(X)+E(Y),E(cx)二工CE(X)iiiiE(XY)=E(X)E(Y)，充分峯件：X和1Y独立；充要条件：X和Y不相关。(31)方差的性3)质4)5)D(C)=O；E(C)=CD(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+bD(X)=E(X2)-E2(X)D(XY)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(XY)=D(X)+D(Y)士2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。(4)常见分布的期望和期望方差0-1分布B(1,p)pp(1-p)二项分布B(n,p)npnp(1-p)泊松分布P()几何分布G(p)1p1-pp2方差超几何分布H(n,M,N)nMNnM(M，N-n,1-NN人N-1丿均匀分布U(a,b)a+b2(b一a)212指数分布e(九)1I1九2正态分布N(卩Q2)卩c22)n一2二维随机变量的数字特征期望E(X)二工xpiii=1E(Y)二工ypjjj=1E(X)=fxf(x)dxX-gE(Y)=fyf(y)dyY函数的期望EG(X,Y)=工工G(x,y)pijijijEG(X,Y)=JJG(x,y)f(x,y)dxdygg方差D(X)二工x-E(X)2piiD(Y)二丫x-E(Y)2pjj/D(X)=fxE(X)2f(x)dxX-gD(Y)=fy-E(Y)2f(y)dyY协方差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩卩为X与Y的协方差或相关矩，记为c或cov(X,Y),即1XYC=卩=E(X-E(X)(Y-E(Y).XY11与记号c相对应，X与Y的方差D(X)与D(Y)也可XY分别记为c与c。XXYY相关系数对于随机变量X与Y,如果D(X)0,D(Y)0,则称cXYJD(X)JD(Y)为X与Y的相关系数，记作Py(有时可简记为P)。|P|W1,当|P|=1时，称上与丫完全相关：P(X=aY+b)=1完全相关”正相关，当1时丫-()，负相关，当P=-1时(a0),而当P=0时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的： P=0；XY cov(X,Y)=0； E(XY)二E(X)E(Y)； D(X+Y)=D(X)+D(Y)； D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵cc,XXXYcc)vYXYYy混合矩对于随机变量X与Y,如果有E(XkYi)存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为；k+l阶混合中心kl矩记为：u，E(X-E(X)k(Y-E(Y)1.kl协方)差的i)性质)cov(X,Y)二cov(Y,X)；cov(aX,bY)=abcov(X,Y)；cov(X+X,Y)=cov(X,Y)+cov(X,Y)；1212cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(7)独立L和不相关若随机变量X与Y相互独立，则p，0；反之不真。若(X,Y)N(，2,2,p),1212则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章大数定律和中心极限定理切比设随机变量X,X,相互独立，均具有有限方差，雪夫12且被同一常数C所界:D(X)C(i=1,2,),则对大数于任意的正数E,有1定律(limP1工X-1工E(X)，1.nT2nJi，iin1i,1i丿扌特殊情形：若X,X,具有相同的数学期望E(X)I二u.12则上式成为limPnT21工X-Jni,1z丿,1.伯努设U是了T次独立试验中事件A发生的次数，p是利大事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数定数,有律limP11，1.7-Pnfg，”伯努利大7匕数定律说明,当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即/limP-p，0.nTgn丿这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦设X,x,，X9是相互独立同分布的随机变量大数序列,2且En(X)=u,则对于任意的正数有定律/114n,1.limPlnfgnJi，1i丿(1)大数定律X15（2）中心极卩限列维设随机变量X,X,相互独立，服从同一分布，定理林1Z.且具有相同的数学期望和方差:2X,N(卩,)n德伯E(X)=卩，D(X)=20(k=1,2,),则随机变量格定理kk工Xkn卩Y二-k=1y/nn的分布函数F（x）对任意的实数x,有n:Exk-np1falimF(x)=limP-X=1=x*=fxe2dt.nn,8n,8vnJ2-8此定理也称为独立同分布的中八H极限定理。棣莫设随机变量X为具有参数n,p（0p1）的二项分弗一n布，则对于任意实数;X,有拉普=limPr1X-np1f2拉斯ns)，0,nnT8则称为的一致估计量(或相合估计量)。n若0为的无偏估计，且D(G)T0(ntg),则为的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。区间估计置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本x,x,x出发，找出两个统计量，(x,x,x)与，(x,x,x)()，使得区间,以2212n12121-(01)的概率包含这个待估参数，即P，1-,那么称区间,为的置信区间，1-为该区间的置信度(或置信水1平)。19单正态总体的期望和方差的区间估计设x,x,，,x为总体XN(卩,2)的一个样本，在置信度12n为1-,下，我们来确定卩和2的置信区间,。具体步12骤如下：(i) 选择样本函数；(ii) 由置信度1-,，查表找分位数；(iii) 导出置信区间,。12已知方差，估计均值(i)选择样本函数u-x-卩N(01)/Jn(ii)查表找分位数(一IIP九x-卩九一1,/Jn丿v0丿(iii)导出置信区间x九;,x+九4n4n未知方差，估计均值(i)选择样本函数t-Xt(n-1).S/Qn(ii)查表找分位数P-XxX1-,.(S/亦丿(iii)导出置信区间x-X卫,x+Xyin4n方差的区间估计(i)选择样本函数(n1)S2w2(n一1).2(ii)查表找分位数P仁(n-1)S2X-1-,.1122丿(iii)导出的置信区间in-1丨n-1X*X1-1211第八章假设检验20基本思想假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。为了扌检验一个假设H是否成立。我们先彳假定H是成立的。如00果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H是不正确的，我们拒绝接受H；如果由此没有导出不合理-00的现象，则不能拒绝接受H，我们称H是相容的。与H相对的假000设称为备择假设，用H表示。1这里所说的小概率事件就是事件KgR，其概率就是扌检验水平a,通常我们取a=0.05,有时也取0.01或0.10。基本步骤）i）ii）v）假设检验的基本步骤如下：提出零假设H；0选择统计量K；对于检验水平a查表找分位数入；由样本值x,x,x计算统计量之值K；12n将K与，进行比较，作出判断：当|K1,（或左,）时否定H。，否则认为H相容。0两类错口误第一类错误当H为真时，而样本值却落入了否定域，按照我0们规定的检验法则，应当否定H。这时，我们把0客观上H成立判为H为不成立（即否定了真实的00假设），称这种错误为“以真当假艮”的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即P否定H|H为真=；此处的a恰好予为检验水平。第二类错误当H为真时，而样本值却落入了相容域，按照我1们规定的检验法则，应当接受H。这时，我们把0客观上H。不成立判为H成立（即接受了不真实00的假设），称这种错误为“以假艮当真”的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即P接受H|H为真=。01两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n定时，变小，则变大；相反地，变小，则变大。取定要想使变小，则必须增力口样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平a。a大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，贝应把a取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把a取得大些。单正态总体均值和方差的假设检验条件零假设统计量对应样本函数分布否定域已知2H:p，p00xpU-/Jn0N（0,1）Iu1u1占2H:pp00ut（n一1）1-a2H:pt（n一1）1CtH:pp00tt（n一1）1Ct未知2H:2，20（n1）S2w20k2（n一1）wk2（n一1）1_必2H:2k2（n一1）1CtH:2200wk2（n一1）a22
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