第七章_弹性力学平面问题的极坐标系解答

第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答在平面问题中，有些物体的截面几何形状(边界)为圆形、扇形，对 于这类形状的物体采用极坐标(r,0)来解，因为此时边界条件用极坐标易 描述、简便。本章将讨论采用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以 及算例。第1节平面极坐标下的基本公式采用极坐标系则平面内任一点的物理量为r,0函数。体力:f=K”, f0=KKr = F.，K0= F % Q0 ,T.0=T0 . 即 80，丫.0=丫0 r面力:应力:应变:u , u0r 0直角坐标与极坐标之间关系：x=rcos0, y=rsin088 8r 8 80=+= cos8x 8r 8x 80 8x88 8r8 80=+ _ 8y 8r 8y 80 8y位移:sin 0 8r 80co0 888r=sii08rr 801.1平衡微分方程8c1 8t1匚 +肛 + _(c -c ) + f = 0 8rr 80r丫 0 r8t1 8c2t厂 八r0 +_0 +r0 + f = 08rr 80r 01.2几何方程dur_dr，u 1 du= _匚 +0_e r r de ，1 duV =rrer 30duu+ _l - _edrr13变形协调方程r2 de 2 r dr 2+1工(r )-丄轧(.e r 2 drdere1 d(r?e)-才=0 rer dr14物理方程平面应力问题：1 / 、 =方(O -VOe)r E re1 /(O -VO E eE丫 re叱TEre平面应变问题将上式中E T 1_V 2 ,VT1-V即得。15边界条件1.位移边界条件：Ur = Ur，ue = ue在Su上2.力的边界条件:O COS(n r) +T cos, s)= K = Fre rr r寿 cos, r) +0 cos, s) = K=Fe在环向边界n / r : O = K , T = KrrreeG=r0)径向边界n S (”)Sr=Kr，ae =Ke(e=e0)16按位移法求解基本未知函数为位移u r , ue，应变、应力均由位移导出。平面应力问题时的应力由位移表示旦()二已1V2r e1 -V 2drdu1 duu、匚+v(匕+ 匚)r derTre厶(E +ve )二厶(1 de+ 匕 +v1 v 2 e r1 v 2 r derEE 1 dudu u xY =(匚 + _- e ) 2(1 +V) re 2(1 +V) r dedrr上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程，即位移法的基本方程。doL + drr de1 乙 + (o roe)+ K = 0rdT re +1 doedr r der2t+re + Ke力的边界条件也同样可以用位移表示。1. 7按应力法求解在直角坐标系中按应力求解的基本方程为（平面应力问题）竺+仏+ f = 0xdxdydTdoxy + y + f = 0，J ydxdyV2(0 +o ) = -(1 +Vx y+d 2d 2其中V 2=+dx2dy2在极坐标按应力求解的基本方程为(平面应力问题)dQ1 dTq -q门匚 +乩 + r E + f = 0dr r d9rrdT1 dQ2t厂 c+ 匕 + 乩 + f = 0drr d9r 9V 2（Q +Q ） = -（1 +V ）（f + 1 ff）r 9drr d9 r其中V 2=工+12+丄工dr 2r dr 丫 2 d 2力的边界条件如前所列。1.8应力函数解法当体力为零时，应力法基本方程中的应力分量可以转为一个待求的未知函数9( r，9丿表示，而应力函数9( r，9丿所满足方程为V 4W r，9丿=或（工+1 +丄孚）2帖0 dr 2 r dr r 2而极坐标系下的应力分量Q,Q9，Tr0 由r, 丿的微分求得，即:1 d 20Q = 一r r 2 d9 2r+1理 dr，d 29dr 2，T =Tr99rd（1 d9）=dr rr 21 d 29 r drd9第2节轴对称问题2.1轴对称问题的特点1. 截面的几何形状为圆环、圆盘。2. 受力和约束对称于中心轴，因此，可知体积力分量f9 = 0 ；在边界上r=r0 :花=0 , u0 = 0 （沿环向的受力和约束为零）3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴对称的:在 V 内u9=0，Y闭=0，瞩=0，u=u(r)，q=or(r丿,严9(r丿,r=r(r丿,9=9(r)各待求函数为r的函数（单变量的）。2.2轴对称平面问题的基本公式doQ Q1.平面微分方程（仅一个）：广+ =2.几何方程（二个）:du = r_r dr ，3. 变形协调方程（一个）:丄甞+i鼻佗)1r2 a9 2 r dr29r 2 drdG(J) 1 翌=0 r9r drn 1 負(r )r dr 291也二0r drdn dr变形协调方程由几何方程：rd89_drd /、 dun(r )= 匚=dr 9 dr r r 9r4.物理方程（两个）_ 1 / 、平面应力问题S r = E (y r89)s =丄(y vy )9 E 9 ry =旦()r 1 v 2 r 9，y二丄)91 V 29r平面应变问题时弹性系数替换。5. 按位移法求解将q、用u表示，并代入平衡微分方程，E zdu u 、 cy =(匚 + v _r_)对于平面应力问题r1 v 2 dr rE udu、( _匸 + Vr )1 v 2 Fdr位移法的基本方程为:d2u1 duur +j - _dr 2r drr 2巴 1 (ru ) + dr r dr(1V 2)相应边界条件：轴对称问题边界r=r0(常数)位移边界条件:Su上y = + Frr平面应力问题的力边界条件用位移表示:力的边界条件:1 -v 2 du u 、 (c +V _r_)二 + F E dr rr在SG上当ur由基本方程和相应边界条件求出后,则相应应变、应力均可求出。6. 按应力法解应力法基本方程d00 -0r +rdrV 2(Q+0)=-(1+v)( dfr0dr+ r）平面应力问题r其中v 2 亠+1 dr 2 r dr边界条件为力的边界条件:= Frrs.上7. 按应力函数求解do0-0r + r0drr当无体力时应力法基本方程为:V2(0 +0 ) = 0r0选取应力函数e = e（r）单变量的函数 应力分量与o（厂丿的关系：01 dd 20=十0=_Lr r dr，0dr 2 ，自然满足平衡微分方程，则应力函数 （r）应满足的基本方程为相容方程，即V2(0 +0 ) = V2(L +r01 d + 缈)=V 2 V 2 = 0 r drdr 2或 V 4 = 0四阶变系数的微分方程（尤拉方程）V2 =而d 2 1 d 1 / d 2 dY +_ Y =_ (r YY dr2 r 刁r r dr1 d / d、 +)=询 %)V 4 =+ dr 2r dr1 d 1 d d)両=d 1 d / d、门,.(r) = 0r dr I dr r dr dr逐次积分（四次）可将轴对称问题的 （r丿基本形式得到:（ r）= Ain r+Br2 lnr+Cr2+D其中A 、B、C、D为任意常数，D可去掉。将e（r）代入应力分量与应力函数的关系式，可得平面应力、平面应变问题应力表达式：1 dA “O = + B (1 + 2ln r) + 2Cr r dr r 2d 2 = + B (3 + 2ln r) + 2Cdr 2r 2T = T = 0r99r对于圆环或圆筒，力边界条件仅两个，不能确定三个系数。但圆环或圆筒为复连域，除了力的边界条件满足外还要考虑位移单值条件。下面将Ur表达式导出（平面应力问题为例） 将物理方程代入几何方程：du 1 /、8=_ r = _ (O VO )r drE r 9xu 1 = _=(a -Va )9 r E 9rr ,u :r E 9 r E将应力分量表达代入几何方程的第二式，得=-(Q9-VQ )=丄-(1 +V)仝 +八lrA - Brf3-V + 2(1 -V )ln r 1+ 2Cr(1 -V )j(a)应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得1u = I (a -Va )dr + F r E r9=； (1+V) + Br 1 1 -V + 2(1 -V )ln r 1+ 2Cr (1 -V) + F(b)考虑位移单值性比较 Q）和（b）式:4Br-F=0 n B=F=O轴对称问题的应力和位移解为:a = A + 2C ar r 2，9A + 2Cr 2对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题,则根据圆盘（或圆柱）中心应力和A(1+V)_ + 2Cr (1 -V)rA、C由两个力的边界条件确定。位移有限值，得A=0图示圆盘受力情况，得应力为Q =6=2C= -qr 62.3轴对称问题举例例题1等厚圆盘在匀速3转动中计算（按位移法解）符合轴对称问题（平面应力问题）。位移法的基本方程:L 1L (ru ) + dr r dr r(1v 2)p 2 r = 0EY积分两次:确定C1和C2：当小 C(1 v 2)u = C r +2 p 2 r3r 1 r8 EYr = 时，ur为有限值，须C2 = 0然后，利用 r = a 时，Kr = Fr = (q r)r=a = 0，得(1 v 2)21 vC =p 2 a 2(1 +) =(3 +v) p 2 a 2181+v 8，代回位移表达式并求应力pe 2 a 3u =r 8 Err 3(3 +v)_ (1 +v)a(1 -v)Q =(3 +v)p 2a 2(1 二)r 8a 21 + 3v r 23 +v a2如果圆环匀速（3）转动，则ur表达公式中的C尹0 ,C和C2由力的边界条件定: （Q ）=0,r r=a(Q )=0r r=b例题2 圆环（或圆筒）受内外压力作用。a已知：体力fr=f9 = 0 (或Kr=K9 = 0)，力的边界条件:在r = a边界（内径）:Qr= -qa，臨=0在r = b边界（外径）:qCr= -qb，臨=0b本问题仍为轴对称问题，且体力为零,可采用前述的应力函数求解方程，也可按位移法求解。1.按应力函数法求解按应力函数求解前面已导出应力分量和位移表达式: q = _A + 2Cq =-_A + 2C工r r 2，9r 2，平面应力问题的位移：1u 二r EA-(1 +v)_ + 2Cr (1 -v)r利用力的边界条件:_A + 2C = - qaa 2及+2C，得A a 2b2(qb - qa)b 2 - a 2按位移法求解:由基本方程dr岂(ru)= 0c C e u C r + _2 得r1r代入应力与位移之间关系式，对于平面应力问题，有r同样利用力的边界条件导出同样结果。讨论:(1)(1 +v )C - (1 -v) C2ir 2当qa主，qb= 仅受内压，以及qb = 当 q = ，aqb丰仅受外压;组合圆筒。内筒：内径a，外径b，弹性系数E、外筒：内径b,外径c弹性系数E、内筒应力和位移:、1 +v平面应变问题ur r外筒应力和位移:、bg 时;Tr 9= -_A + 2C9r 2A-+ 2Cr(1 - 2v),r，A一 + 2Cr(1 -2v),r，组合圆筒应力和位移表达式中共有四个待定系数A、C、A C，,利用四个条件定。如果内筒受内压qa外筒外径无面力，则确定系数的四个条件为:（Q ）= -q ,（Q，） =0r r=a a r r=c9） =（Q，）， （u） = （u，）r r=br r=br r=br r=b又如：内筒无内压qa= 0，外筒无外压qc= 0，但内筒外径大一 Cl-V点，内筒外径为b+A，外筒内径仍为b，过盈配合问题，边界条件如何写：（c）= 0, （Q，）=0 , 9）= （c，）人，r r=ar r=cr r=b r r=b（u，）= （u）+A （或 | （u，） ,|+| （u）I =A）r r=br r=br r=br r=b第3节轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁为单连域，当无体力作用，且受纯弯曲作用时，从受力分析 知曲梁e =c的截面上内力为M，各截面上的应力分布也相同与e无关 的，因此属于轴对称应力问题。但位移不是轴对称的，即ue 0，所以 不能按轴对称问题的位移法求解，但可按轴对称应力（应力函数）解法求 应力并由应力导出位移。按轴对称应力函数解：应力函数e=w r）r）= Alnr+Br2lnr+Cr2 （已导出）y1 色A + B (1 + 2ln r) + 2C r drr 2空_ A + B (3 + 2ln r) + 2Ca r bdr 2r 2000 0 卩利用力的边界条件确定A、B、C在主要边界上r = a：(o)r r=aA_ + B (1 + 2ln a) + 2C 0a 2=0, (P r=a= 0，(1)r = b：(o) br r=bA_ + B (1 + 2ln b) + 2C = 0 b 2=0,(Tr0)r=b= 0，(2)在次要边界上不清楚垂直边界的面力具体分布，利用圣维南原理:在 0 = 0:b dr 0ao 0 dr 由于主要边界满足，则此式自然满足;C1-在 0 = 0:I bo rdr M0a(r20 )b -1b (Q) + (Q) Mb主要边界满足时，由（1）、（2）、求出A、B、C，应力求出后,依次可求出应变和位移表达式，详细推导在徐芝纶（上册）P.9192。在徐芝纶（4-13丿中/、K、H为刚体位移，I = u0K = v0, H = 3。可利用约束确定，如令r0 =（a+b）/2，0 = 0处u 二 u= 0r0Qr得 H=K =0,(1 +v) drJHHHH ILq4tq2)/2t 12 图(c)+ B(1 +v)r - 2(1 -v)Br ln r - 2C(1 -v)r0 0 0 0孔的孔边应力集中问题从本节和后面两节讨论一些工程中经常用到的一些解，仍采用应力函数解法。本节讨论一个无体力的矩形薄板，薄板内有一个小圆孔（圆孔 半径a很小），薄板两个对边分别受均匀拉力q1和q2作用，由于板内有微 小圆孔，孔边应力将远大于距孔稍远处的应力称应力集中问题。V=q1一 /2,图(b丿解相当圆环内径无内压qa 压qb = q作用情况，已有解，只须将 必 t 代入，得 a2、 a、(q + q )o =(1-)q = (1-) 12rr 2r 2O (b) = (1+f)q = (1+t)(q1+ q2)0r 2r 2t (b) = 0图(c丿情况，远离孔的位置应力为 qf=(q1 -q2)/2,通过应力转换式可得 P 一 = -q Sin20。r0=，Txy= 0，其中 qcos20, O0 = -qcos20,o = - oxyO =r用 P-。可见，图(c丿的应力不是轴对称的(结构为轴对称)，关键是要设应力函数( r, 0)，采用半逆解法:(1)根据应力函数与应力分量的关系式判断0( r, 0)应有cos2B项(因子)。1 d 21 Q頁 O0T + r 石在较远处 T qcs20d 20 c = _L 0dr 2在较远处t -q，cos20d(1 d0)dr r(2)假设应力函数0( r, 0丿可以分离变量，设为Tr0在较远处 t - qsin20( r, 0 )=f(r)g(0)=f(r)cos20将所设0( r, 0)的形式，代入v 4 0 = 0，得c o 20d 4 f2 d 3 f9 d 2 f 9 df+ + r 3 dr+ 一dr 4r dr 3r 2 dr 2解出 f (r)二 Ar4 + Br2 + C + D ,r2代回应力函数0( r, 0),得0 (r ,0) = (Ar 4 + Br 2 + C+ D )co20 r 2可求得应力分量表达式为c =(2B + 4C + 6D )co20rr 2 r 4c = (12 Ar 2 + 2 B + 6D )co200r 4T = (6Ar2 + 2B 一一 6D) s i n0r0r 2r 4应力分量中的四个系数由四个力边界条件确定，即(c)= 0,r r=a(c)=r r=b(：0)qcos20,=0,r=a(Tr0)r=b=；由此四各方程解得B=_ 2N1+3( a)4 - 4( a)6b bA 二 q (a)2(1 - a2)Nb2 bb2 丿,C 二 q a 2-2Ni - 6( a)6 bd 一 qa 42Ni-( a)4ba、 一a、“a、,a、 小a 2、其中N = 1 - 4()2 + 6()4 - 4()6 + ( )8 = (1 -)4bbb bb 2当a/b T 0 （无限大板中有小孔）代入上述各系数表达式，得N=l, A=0, B= -q/2, C=qa2, D= -qa4/2再代入上面图（c丿应力表达式，可得应力最后表达式:“ a2、“a2、“Q(c) = q(1 - _)(1 -3)c o 20rr 2r 2a 4Q (c) = q(1 + 3)c o 200r 4T (c)二-q(1 -t)(l + 3fl)sin0r0r 2r 2最后图（a丿应力由图（b丿应力解和图（c丿应力解相加而得。门 a2、(q + q )(q - q )“ a2、“ a2、 心Q (a) = (1 -)吕 上 +1 上(1 -)(1 - 3) cos 20rr 222r 2r 2z, a 2 (q + q ) (q - q ) a 2、“Q (a) = (1 +) Z 2 -12 (1 + 3 )C O 200r 222r 2T (a) =-(q1- q 2)(1 - a2 )(1 + 3 t)sin0r02r 2r 2当q1 = q，q2 = 0代入上式，可得齐尔西解，徐芝纶(上册)Pioi(4-i7)式。-9伽一4三三二第5节曲梁的一般弯曲曲梁无体力作用，曲梁顶部受集中力P作用。=P C O esT =erd(1 帥) dr r根据应力函数与应力分量的关系式判断W r, e)应有sine项(因 子)。假设应力函数e( r, e)可以分离变量，设为0( r, e )=f(r)g(e)=f(r)sine代入 V 4Q = 0,得. d 4 f 2 d 3 f3 d 2 f 3 df 3 f、八sin e (_ + L +丄)=0dr 4 r dr 3 r2 dr 2r 3 drr 4解得f(r)=Ar3 + Br +Crlnr + D/r则 r, 0 )= (Ar3 + Br +Crlnr + D/r) sin0其中BrsinQ =By 可略去。将g r, 0 ）代入应力分量表达式-1+1 空=(2Ar + C/r 一 2D/r3)s i nr 2 60 2 r dr=(6Ar + C r + 2D r3)s i n aT?T r0 = 一乔(7 芮)=-(2Ar + Cr 一 2 D/厂3 )C O 於d 1 dA、C D由力的边界条件来定。力的边界条件:在主要边界上,足。在 r = a：在 r = b:在次要边界上,在0 =0g = 0, t = 0, 2Aa+C/a-2D/a3 = 0rr0g = 0, t = 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0rr0，环向方向的面力为零，G 0 = F0 = k0 = 0满径向方向的面力F的分布未给出，但给出F的合力卩Fdr = _prrf b () dr = P利用圣维南原理V r0丿0=0an b (2Ar + C/r - 2 D r3)dr = Pab b 2 a 2或A(b 2 a 2) Cll + D= P或aa 2 b 2由上述方程解出PP小P 7A = 2N，C 一+ b2)，二一2Na2 2b其中N = (a2 一b2) + (a2 + b2)ln_ a代回应力分量表达式P / a 2 + b 2a 2 b 2+ )rr 3a 2 + b 2a 2 b 2)rr 3a 2 + b 2a 2 b 2-+rr 3)cos 0c =(r 一T = P (r -r0Nr N注意：这个应力解在曲梁两端是不能用的。应变和位移可由物理和几何方程导出。第6节楔形体在楔顶或楔面受力本节讨论楔形体分别受三种不同荷载作用时，其应力解答如何， 并将其中某些解答推广到半无限体情况。楔形体分别受三种不同荷载作用时，应力函数W r, 0)的选取考虑:(1) 采用分离变量法0( r, 0)=g(r)f(0)；(2) 考虑应力函数在楔形体边界上的变化规律，将0( r,0)中的g( r)的形式假设出来，然后利用 4 0 = 0求斤0)的形 式；(3)利用边界条件确定f(0)的表达式的待定系数。情况1 楔形体不考虑体力，楔形体顶部受集中力P作用。已知：顶角为U的楔形体受集中力P作用，P的作用方向与楔形体顶角平分线(x轴)夹角为B,设应力函数0( r。丿=g(rf(。丿且利用无体力时，应力函数( r, 6)在边界上的值及偏微分 与边界上面力的关系式来确定g(r)的形式。0 一0 =JB(x 一 x )Yds JB( y 一 y ) XdsBAABAB首先可设边界上始点A的0A = 0,则边界上在OA段任意点B的0值为0B = 0，任意点经过O点在OB段的0值为0=Prsin(+o/2)； 0与r 一次式有关。可设0( r, 6 ) = g(r)f(6) = r f(Q )0( r, 6 )的假设也可以由0( r, 6 )与应力分量的关系及应力分量与集 中力P之间量纲关系来设。由 0( r, 6 ) = r f(6 )代入 4 0 = 0，得：d 4 f d6 4d2 f d6 2+ f (6)篇+2 需+f (6)=0解得 f(6) = Acos6+Bsin6 +6 (Ccos6+Dsin6)而应力函数0( r, 6)= A r cos6 + B r sin6 + 6 r (Ccos6+Dsin6)由0( r, 6丿可得应力分量表达式Q r - TT 器 + 7 嚳-7(D cos 0-C sin 0)，Q0 Tr 0 0系数C、D的确定:首先应考虑边界条件来定，即0 = Q/2时，产0,臨=0,自然满足。可见仅靠力的边界条件不能确定所有待定系数，这是由于本问题时,的载荷是作用于一点的集中力，在顶点有奇点，待定系数需靠部分楔形体的平衡而确定，即= 0:yI a 2 Q c o 0rd 0 + P s i = 0 a 2 rP cos BD a + sin a0:I a 2 Q sin 0 rd 0 + Pa 2rP sin 卩C 二a sin a代回应力分量表达式2P cos B cos0 sin B sin0、 ( + ) r a + sin aa sin aC0=T r 0= 0讨论:Q = r r a + s i a ；当 B =兀/2, Qr2 P sin 0r a - sin a ；2. 当a =兀时楔形体变为半无限体，受集中力作用:2 Pg - -（ c 0险 o 0 + s i 0 s i 0）r兀rG0=Tr0= 02P cos0Txy1 1 i I/丿x1a G0=Tr0= 0利用应力转换公式，可得到直角坐标中的应力分量:2P co30-2P （ X3 兀厂兀 2 + y 22 P2 Psin0 c o su - - 兀厂兀士2 + y2 , 卩ab 1 1）/ 、*/:y2、12Psinco20-2P丫 x2y 兀厂兀 2 + y 2将上式代入物理方程和几何方程并积分求得位移:cos 0 In r - （1卩）卩 0 sin 0 +1 cos 0 + K sin 0兀E兀Esin 0 In r + （1 +卩）P sin 0 - （1 + 卩）P 0 cos 0 兀E兀E兀E+ Hr -1 sin 0 + K cos 0（H、/、K任意数）由对称性，（U0）0=o= Hr+K = 0而1表示刚体位移。srMoH = K = 0, BB点：-5）0上2B点相对M点沉陷:n = 2P ln L 兀Er情况 2 楔形体不考虑体力，楔形体顶部受集中力偶M作用。与情况1类似步骤，可设W r, 0 ) = g(r)f(B) = f(B )代入v4 e = o，得:W( r, 0)= Acos20 + Bsin20 + C0 +D（D可略去）M2x由e( r, 0)可得应力分量表达式1 dW1d 26_ +r drr 2 d0 2i=(一4 A cos 20 - 4B sin 20)r 2T0r字一 0dr 2上(!叟)一丄(2Asin0 + 2Bco20 + C)dr r d0 r 2系数A、B、C仍是利用力的边界条件和部分楔形体的平衡而确半无限体边界上任意点沉陷（0= 土兀/2）：（）-2P （1 +卩）P 丁M 丿兀一 ln r +1M点： 0 0石兀E兀E2 P （1 +卩）P了ln s + I兀E兀E定。2 M sin 29b =r(sina -a cos2a)r2，Tr0M (cos 29 一 cos a)(sina -a cos2a)r2与顶点受集中力情况一样，本解在顶点附近是不能用的。情况3楔形体(无体力)在一面受均布压力q。设 W r, 9 ) = g(r)f(9) = r对轴对称问题解法给予了较详细的讨论并举例。 非轴对称问题解法：采用叠加法、半逆解法与分离变量的作法设应 f(9 )代入 V 力函数e( r, 9丿=g(r)f(9丿，并通过几个例子，较详细介绍了半逆解的求 解过程。 = 0 ， 得：f(9) = Acos9+Bsin9 +C9 +DQ( r, 9 ) = r2(Acos9+Bsin9 +C9 +D)由力边界条件：(be)e=0= -q,9=0= 0，(be)e=a= 0, (9) 9=a=可确定四个待定系数。A 二一qtga解得4(tga-a),b = q4(tga a),C = -q2(tga a),q(a 一 2 tga) D =22(tga a)本章小结：1. 对极坐标问题的基本公式和基本解法进行了讨论。