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1.2函数及其表示 1.2.1函数的概念自主学习1理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用2通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域3了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作：yf(x)，xA.其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域2函数的三要素是定义域、值域和对应关系3由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相同4(1)满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a,b(2)满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)(3)满足不等式axb或aa，xb，xb的实数x的集合分别表示为a，)，(a，)，(，b，(，b)对点讲练判断对应是否为函数【例1】 判断下列对应是否为函数：（1）x，x0，xR；（2）xy，这里y2x，xN，yR；(3)集合AR，B1,1，对应关系f：当x为有理数时，f(x)1；当x为无理数时，f(x)1，该对应是不是从A到B的函数？分析函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值y与之对应解(1)对于任意一个非零实数x，被x唯一确定，所以当x0时，是函数，这个函数也可以表示为f(x)(x0)（2） 当x=4时，y2 =4，得y=-2,不是有唯一值和x对应，所以，xy(y2x)不是函数(3)是函数，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯一确定的值和它对应规律方法判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B，一个对应关系f，A中任一对B中唯一(即多对一或一对一)变式迁移1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数：（1）A=R，B=R，对任意的xA，xx2；（2）A=（x，y）|x，yR，B=R，对任意的（x，y）A，（x，y）x+y；（3）A=B=N*，对任意的xA，x|x-3|.解(1)是(2)不是，因为集合A不是数集(3)不是，因为当x3时，在集合B中不存在数值与之对应已知解析式求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域：(1)y；(2)y；(3)y.分析求函数定义域，其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值范围解(1)要使函数有意义，需x1且x0，所以函数y的定义域为(，0)(0,1(2)要使函数有意义，需x0且x.故函数y的定义域为.(3)要使函数有意义，需解得x2且x0，所以函数y的定义域为(0,2)规律方法求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等变式迁移2 求下列函数的定义域：(1)f(x)； (2)f(x)4； (3)f(x).解(1)由x23x20，得x1，x2.f(x)的定义域是xR|x1且x2(2)由，得x.f(x)4的定义域是.(3)由，得x0且x1，原函数的定义域为x|x0，B1，f(x)x0答案B解析在B项中f(0)无意义，即A中的数0在B中找不到和它对应的数2设f(x)，则等于()A1 B1 C. D答案B解析f(2)，f1.3函数y的定义域是()A(0，) B(，0)C(0,1)(1，) D(，1)(1,0)(0，)答案C解析由，得x0且x1.4下列各组函数表示同一函数的是()Ay与yx3 By1与yx1Cyx0(x0)与y1(x0) Dy2x1，xZ与y2x1，xZ答案C解析A中的两函数定义域不同，B中的两函数值域不同，D中的两函数对应关系不同，C正确5给出四个命题：函数就是定义域到值域的对应关系；若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素；因f(x)5(xR)，这个函数值不随x的变化而变化，所以f(0)5也成立；定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了以上命题正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个答案D二、填空题6将集合x|2x8表示成区间为_答案2,87若f(x)，且f(a)2，则a_.答案2或8函数yx22的定义域为1,0,1,2，则其值域为_答案1，2,2三、解答题9求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)y.解(1)要使函数有意义，需满足，即，在数轴上标出，如图，即x3或3x3或3x5.故函数f(x)的定义域为(，3)(3,3)(3,5当然也可以表示为x|x3或3x3或3x5(2)要使函数有意义，需满足解得x1函数的定义域为110已知函数f(x).(1)求f(2)与f，f(3)与f；(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f有什么关系？并证明你的发现；(3)f(1)f(2)f(3)f(2 010)fff.解(1)f(x)，f(2)，f，f(3)，f.(2)由(1)可发现f(x)f1，证明如下：f(x)f1.(3)由(2)知：f(2)f1，f(3)f1，f(2 010)f1，原式1112 009.【探究驿站】11已知f(x)的定义域为(0,1，求g(x)f(xa)f(xa) (a0)的定义域解由已知得 即 用数轴法，讨论(1)当a0时，x(0,1；(2)当a时，x，即函数不存在；(3)当a0时，x(a.,1+a
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