数学竞赛专题一元二次方程

竞赛专题（二）一元二次方程在初中数学竞赛中，有关一元二次方程的内容占有重要的地位，根的判别式和韦达定理的应用非常广泛，与此相关的竞赛题变化多端，题型丰富，技巧性强。1、一元二次方程的求根公式一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0) 的解为：x= (b24ac0)2、一元二次ax2+bx+c=0 (a0) 方程的判别式=b24ac，x1，x2是方程的两根，则0，方程有不相等的两实根，x1, 2= =0，方程有相等的两实根，x1, 2=-0，方程无实根。3、一元二次方程的韦达定理设一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0) 的两根为x1，x2，则x1，x2满足4、一元二次方程的解法常用的解法有：直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法、换元法、参数法等，在解决一元二次方程问题的过程中，常常会涉及到根的判别式、韦达定理、完全平方数、整数性质、因数分解等方面的知识和技巧。例1 设a、b、c为互不相等的非零实数，求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0不可能都有2个相等的实数根。分析：若分别考虑三个方程的根的情况，则不易突破，若把三个方程当作一个整体考虑，则问题容易解决。解：设三个方程都有2个相等的实根，则有1+2+3=4(a2+b2+c2abbcca)=0即a2+b2+c2abbcca)=0，(ab) 2+(bc) 2+(ca) 2=0故a=b=c，这与题设矛盾，因此，题中的三个方程不可能都有2个相等的实数根。说明：本题是1997年山东省初中数学竞赛题，当原命题的结论以否定形式出现时，常常考虑用反证法来证明，通过反设否定了结论，这样就把原题结论中的否定形式变成了肯定形式，为接下来的推理证明，并最终导致矛盾，提供了方便。例2 已知、是一元二次方程x2+x1=0的两个根，求25+53的值。分析：我们平时碰到近类求值问题，大多是关于、的对称式，而本题的式子在形式上关于、是不对称的，第一感觉是先求出这个方程的两个根x1，x2，当、分别取x1，x2时，求出25+53的值，再当、分别取时，求出25+53的值，但这样做计算量很大。下面我们采用降次的方法来解。解：因为是方程x2+x1=0的根，所以2+1=0即2=1，4= (1)2 =12+2 =23，5=4= (23)=232 =53 同理3=2= (1)=2 =21所以25+53 = 2(53) = 5(21)= 10(+)11=-21例3（1999年全国初中数学竞赛）设实数s，t分别满足19s2+99s+1=0，t2+99t+19=0并且st1，求的值。分析：观察两个方程的系数，分别为19，99，1和1，99，19，从而易知s，是方程19s2+99s+1=0的根。解：易知t0，所以有19s2+99s+1=0 199()2+99()+1=0 由题设st1，即s，故由，知：s、是一元二次方程19x2+99x+1=0的两个不同的实根，故s+=-，s=所以= s+4=-+=-5说明：本题中的条件st1很重要，没有这个条件的话，还需讨论s=时的情形。例4 设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程x2+2(m2)x+m23m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2。若x+x=6，求m的值；求+的最大值。分析：第小题较简单，根据韦达定理及题设条件建立关于m的方程；对于第小题，需要利用韦达定理选建立关于m的函数关系，再求这个函数的最大值。解：由于方程x2+2(m2)x+m23m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2，所以=4(m2)24(m23m+3)=-4m+40，解得m1。根据题设，-1m1，由韦达定理，得所以x+x=(x1+x2)22x1x2=2m210m+10=6，即m25m+2=0，解得m=，因为-1m1，所以m=。+=2(m23m+1)=2(m)2由于-1m1，因此当m=-1时，+有最大值为10。说明：本题为2000年全国初中数学竞赛试题，若注意不到0这个条件，将直接影响到两个小题的答案。例5 （2002年上海市初中数学竞赛）已知p为质数，使二次方程x22px+p25p1=0的两根都是整数，求出所有可能的p的值。 解：由于这个整系数一元二次方程有整数根，所以=4p24(p25p1)=4(5p+1)是完全平方数，从而5p+1是完全平方数，令5p+1=n2，n是正整数则5p=(n1) (n+1)。所以，5 | (n1) (n+1)，即5 | n1或5 | n+1。若5 | n1，令 n1=5k，则p= k (5k+2)，由于p是质数，故k=1，p=7，此时方程为x214x+13=0，x1=1，x2=13满足条件。若5 | n+1，令 n+1=5k，则p=k(5k2)，故k=1，p=3，此时方程为x26x7=0，x1=-1，x2=7，满足条件。综上所述，所求的质数p为3或7。说明：处理整系数一元二次方程有整数根（或有理根）问题时，常常可用是完全平方数来讨论。例6 试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r1=0有根且只有整数根。分析：可以从韦达定理入手，通过分解质因数建立关于方程整数根的方程组，先确定根，再求出系数。解：若r=0，则方程2x1=0，解得x=，不是整数。若r0，则设方程rx2+(r+2)x+r1=0的两整数根为x1，x2。不妨设x1x2，由韦达定理，得则2x1x2(x1+x2)=2+=3 4x1x22x12x2+1=7即(2x11)(2x21)=7因为x1，x2是整数，且x1x2，所以或解得或所以=x1x2=4或0，得r=-或r=1，故所求一切有理数为-和1。说明：本题为2002年全国初中数学联赛第二试试题，有关一元二次方程整数根的问题，若强行根据判别式为完全平方式及求根公式来解，会碰到麻烦，而通过构造一元二次不定方程来求解，则容易得多。例7 已知关于x的方程(a21)()2(2a+7) ()+1=0有实数根。求a的取值范围；若原方程的两个实根为x1，x2，且+=，求a的值。分析：注意到方程的特点，可以考虑用换元法，把换成t，应用判别式求出a的取值范围；再根据题设+=，借助韦达定理建立关于a的方程来求解。解：令=t，则原方程可化为(a21)t2(2a+7)t+1=0，注意到，当时t1时，=t才有实数解，因此，这个关于t的一元二次方程应有一个使t1的解。当a210，即a=1时，原方程变为-9t+1=0或-5t+1=0，即=或=，解得x=-或x=-。故当a= 1时，原方程有实根。当a210，即a1时，方程有实数根，故0。=-(2a+7)24(a21)0，得a-又当时t=1时，(a21)(2a+7)+1=0，解得a=12-，这时0，方程有另一根满足t1。综上所述，当a-且a12时，原方程有实根。由题设可知t1=，t2=是方程的(a21)t2(2a+7)t+1=0两个根，利用韦达定理，得=，即3a222a80=0解得a1=10，a2=-，由知a-且a12，故a=10。说明：本题为2001年全国初中数学竞赛试题，学生往往会犯两个错误，一是没有考虑到a21=0的情况，虽然不影响最后结果，但解法不够严密；二是疏漏讨论t1的情形。例8（2008年武汉市初中数学竞赛试题）整数a使得关于x、y的方程组对于每一个实数b总有实数解，求整数a的值。解：将x=3ab+2y代入得2y2+(3ab)y(b22a2+3b+4)=0=(3ab)2+8(b22a2+3b+4)=9b26(ab)b7a2+32=(3ba+4)2(8a28a16)0对于每一个实数b关于x、y的方程总有实数解(8a28a16)0即8(a2)(a+1) 0 -1a2整数a的值为-1，0，12