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三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上,对于任意实数x、y,f(x+y)=f(x)f(y)总成立,且存在,使得,求函数f(x)的值域。解:令x=y=0,有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0,则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立,这与存在实数,使得成立矛盾,故 f(0)0,必有 f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立,因此, ,又由于若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)0矛盾,因此f(x)0.四、求解析式问题(换元法,解方程组,待定系数法,递推法,区间转移法,例6、设对满足x0,x1的所有实数x,函数f(x)满足, ,求f(x)的解析式。解:- (2)-(3)例8.与否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:f(n)0,nN;f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2N*;f(2)=4同步成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式;若不存在,阐明理由.解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,由此猜想:f(x)=2x (xN*)小结:对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究,如果给出的关系式具有递推性,也常用递推法来求解.练习:1、 解:,3、函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0, (1)求的值; (2)对任意的,均有f(x1)+20时,f(x)1,且对于任意实数x、y,有f(x+y)=f(x)f(y),求证:f(x)在R上为增函数。证明:设R上x11,f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得不小于f(x1),由于f(x1)的正负还没拟定) 。取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f(0)=0,令x0,y=0,则f(x)=0与x0时,f(x)1矛盾,因此f(0)=1,x0时,f(x)10,x0,f(-x)1,由,故f(x)0,从而f(x2)f(x1).即f(x)在R上是增函数。(注意与例4的解答相比较,体会解答的灵活性)练习:已知函数f(x)的定义域为R,且对m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,当x时,f(x)0.求证:f(x)是单调递增函数;证明:设x1x2,则x2x1,由题意f(x2x1)0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f()1=f(x2x1)0,f(x)是单调递增函数.练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y均有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)0,当x1时,f(x)f(x2),故f(x)在R+上为减函数.练习6、. 已知函数的定义域为,且同步满足:(1)对任意,总有;(2),(3)若且,则有. (I)求的值;(II)求的最大值; (III)设数列的前项和为,且满足.求证:.解:(I)令,由(3),则,由对任意,总有 (II)任意且,则 (III) ,即。 故即原式成立。 六、奇偶性问题解析:函数具有奇偶性的前提是定义域有关原点对称,再考虑f(-x)与f(x)的关系(2)已知y=f(2x+1)是偶函数,则函数y=f(2x)的图象的对称轴是( D )A.x=1B.x=2C.x=D.x=解析:f(2x+1)有关x=0对称,则f(x)有关x=1对称,故f(2x)有关2x=1对称.注:若由奇偶性的定义看复合函数,一般用一种简朴函数来表达复合函数,化繁为简。F(x)=f(2x+1)为偶函数,则f(-2x+1)=f(2x+1)f(x)有关x=1对称。例15:设是定义在上的偶函数,且在上是增函数,又。求实数的取值范畴。解析:又偶函数的性质懂得:在上减,而,因此由得,解得。(设计理由:此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题,因此本题弹性较大,可以作某些条件变换如:等;也可将定义域作某些调节)例16:定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x,yR均有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证f(x)为奇函数;(2)若f(k3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立,求实数k的取值范畴解答:(1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,yR)- 令y=-x,代入式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0),令x=y=0,代入式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0即f(-x)=-f(x)对任意xR成立,f(x)是奇函数(2)解:f(3)=log30,即f(3)f(0),又f(x)在R上是单调函数,因此f(x)在R上是增函数,又由(1)f(x)是奇函数f(k3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2), k3-3+9+2,3-(1+k)3+20对任意xR成立令t=30,即t-(1+k)t+20对任意t0恒成立故:对任意xR恒成立。阐明:问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在xR上是增函数,把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t0恒成立对二次函数f(t)进行研究求解本题尚有更简捷的解法:分离系数由k3-3+9+2得要使对不等式恒成立,只需km-1对恒成立,分离参变量m(这是求参变量取值范畴的通法)得:m,(01- sin1,事实上当sin=1时不等式恒成立,即对m没有限制,因此无需研究),记g()=,则mg()min,又01- sin1,g()min=1(当且仅当=0时等号成立),m0提高定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+1)=,且f(x)在-3,-2上是减函数,又、是钝角三角形的两锐角,则下列结论中对的的是: A.f(sin)f(cos) B. f(sin)f(cos) C.f(sin)f(sin) D. f(cos)-1(这是使用“鉴别式法”时需特别注意的)。记x+1=t,(t0),此时x=t-1,设g(t)=(当且仅当t=1即x=0时等号成立,(注意这里的“换元”实质是“整体化”的具体贯彻,将需要“整体化”的部分换成一种变量,比“凑”更具一般性也更易实行),选C。举例2已知+,则的最小值为 解析:本题关注的取值范畴,对使用基本不等式,当且仅当=1时等号成立,事实上:,等号不成立,即不能使用基本不等式。记=(0), =+=g(),函数g()在(0,上递减,g()min=g()=。5.求参变量的取值范畴一般采用分离参数法,转化为求某函数的值域或最值;也可以整体研究函数y=f(a,x)的最值。 举例 有关x的方程22x-m2x+4=0(x0)有解,求实数m的取值范畴。解析:令2x=t,(0t1),原方程变为:t2-mt+4=0在(0,1)上有解,这里显然不能简朴地用鉴别式解决,由于0不能保证方程在(0,1)上有解,还需附加更多的条件才成,繁!事实上,求参变量范畴的问题一方面考虑的是“分离参变量”:=,所谓方程有解,即在函数的值域内(这也是解决方程有解问题的通法),t(0,1),不能使用基本不等式(等号不成立),注意到函数在(0,1)上递减,(5,)即(5,)。
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