高中数学抽象函数专题2

三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在,使得，求函数f(x)的值域。解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故 f(0)0，必有 f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此， ,又由于若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)0矛盾,因此f(x)0.四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例6、设对满足x0,x1的所有实数x，函数f(x)满足, ,求f(x)的解析式。解:- （2）-（3）例8.与否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:f(n)0,nN;f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2N*;f(2)=4同步成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，阐明理由.解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,由此猜想:f(x)=2x (xN*)小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.练习：1、 解:，3、函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0， （1）求的值； （2）对任意的，均有f(x1)+20时，f(x)1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。证明：设R上x11，f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得不小于f(x1)，由于f(x1)的正负还没拟定) 。取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f（0）=0,令x0,y=0，则f(x)=0与x0时，f(x)1矛盾，因此f(0)=1，x0时，f(x)10,x0，f(-x)1,由，故f(x)0，从而f(x2)f(x1).即f(x)在R上是增函数。（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性）练习：已知函数f(x)的定义域为R，且对m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,当x时，f(x)0.求证：f(x)是单调递增函数；证明：设x1x2,则x2x1,由题意f(x2x1)0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f()1=f(x2x1)0,f(x)是单调递增函数.练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y均有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)0,当x1时,f(x)f(x2),故f(x)在R+上为减函数.练习6、. 已知函数的定义域为，且同步满足：(1)对任意，总有；(2)，(3)若且，则有. (I)求的值；(II)求的最大值； (III)设数列的前项和为，且满足.求证：.解：（I）令，由(3),则，由对任意，总有 （II）任意且，则 (III) ，即。 故即原式成立。 六、奇偶性问题解析：函数具有奇偶性的前提是定义域有关原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系（2）已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（ D ）A.x=1B.x=2C.x=D.x=解析：f(2x+1)有关x=0对称,则f(x)有关x=1对称,故f(2x)有关2x=1对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一种简朴函数来表达复合函数，化繁为简。F（x）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)f(x)有关x=1对称。例15：设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，又。求实数的取值范畴。解析：又偶函数的性质懂得：在上减，而，因此由得，解得。（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，因此本题弹性较大，可以作某些条件变换如：等；也可将定义域作某些调节）例16：定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，yR均有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范畴解答：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)- 令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，因此f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k3-3+9+2，3-(1+k)3+20对任意xR成立令t=30，即t-(1+k)t+20对任意t0恒成立故：对任意xR恒成立。阐明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在xR上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t0恒成立对二次函数f(t)进行研究求解本题尚有更简捷的解法：分离系数由k3-3+9+2得要使对不等式恒成立，只需km-1对恒成立，分离参变量m（这是求参变量取值范畴的通法）得：m,（01- sin1,事实上当sin=1时不等式恒成立，即对m没有限制，因此无需研究）,记g()=,则mg()min，又01- sin1，g()min=1（当且仅当=0时等号成立），m0提高定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+1)=,且f(x)在-3，-2上是减函数，又、是钝角三角形的两锐角，则下列结论中对的的是: A.f(sin)f(cos) B. f(sin)f(cos) C.f(sin)f(sin) D. f(cos)-1（这是使用“鉴别式法”时需特别注意的）。记x+1=t,(t0),此时x=t-1,设g(t)=(当且仅当t=1即x=0时等号成立，（注意这里的“换元”实质是“整体化”的具体贯彻，将需要“整体化”的部分换成一种变量，比“凑”更具一般性也更易实行），选C。举例2已知+，则的最小值为 解析：本题关注的取值范畴，对使用基本不等式，当且仅当=1时等号成立，事实上：，等号不成立，即不能使用基本不等式。记=（0）, =+=g(),函数g()在（0，上递减，g()min=g()=。5.求参变量的取值范畴一般采用分离参数法，转化为求某函数的值域或最值；也可以整体研究函数y=f(a,x)的最值。 举例 有关x的方程22x-m2x+4=0(x0)有解，求实数m的取值范畴。解析：令2x=t,(0t1),原方程变为：t2-mt+4=0在（0，1）上有解，这里显然不能简朴地用鉴别式解决，由于0不能保证方程在（0，1）上有解，还需附加更多的条件才成，繁！事实上，求参变量范畴的问题一方面考虑的是“分离参变量”：=，所谓方程有解，即在函数的值域内（这也是解决方程有解问题的通法），t（0，1），不能使用基本不等式（等号不成立），注意到函数在（0，1）上递减，（5，）即（5，）。