数学必修四知识点总结

三角函数总复习 xAysin知识网络结构1.1.角的概念的推广角的概念的推广（1）正角，负角和零角正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为.Zkk,360（4）角在“到”范围内，指.3600（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.一、任意角的三角函数1、角的概念的推广角的概念的推广正角正角负角负角oxy的终边的终边),(零角零角二、象限角：注注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。三、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合：|360,SkkZ|2,kkZ（角度制）（弧度制）例1、求在 到 （）范围内，与下列各角终边相同的角036002到1950122（）、19（）、34812913原点原点x轴的非负半轴轴的非负半轴一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 重合，角的始边 与 重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。1 1、终边相同的角与相等角的区别、终边相同的角与相等角的区别终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。2 2、象限角、象间角与区间角的区别、象限角、象间角与区间角的区别Zkkk2,2xyOxyOxyOxyO3 3、角的终边落在、角的终边落在“射线上射线上”、“直线上直线上”及及“互相互相垂直的两条直线上垂直的两条直线上”的一般表示式的一般表示式Zkk2ZkkZkk2三、终边相同的角(1)与与 角角终边相同的角的集合终边相同的角的集合:1.几类特殊角的表示方法几类特殊角的表示方法|=2k+,kZ.(2)象限角、象限界角象限角、象限界角(轴线角轴线角)象限角象限角第一象限角第一象限角:(2k 2k+,k Z)2 第二象限角第二象限角:(2k+2k+,k Z)2 第三象限角第三象限角:(2k+2k+,k Z)23 第四象限角第四象限角:2 (2k+2k+2,k Z 或或 2k-2k,k Z)23 一、角的基本概念一、角的基本概念轴线角轴线角x 轴的非负半轴轴的非负半轴:=k 360(2k)(k Z);x 轴的非正半轴轴的非正半轴:=k 360+180(2k+)(k Z);y 轴的非负半轴轴的非负半轴:=k 360+90(2k+)(k Z);2 y 轴的非正半轴轴的非正半轴:=k 360+270(2k+)或或 =k 360-90(2k-)(k Z);23 2 x 轴轴:=k 180(k)(k Z);y 轴轴:=k 180+90(k+)(k Z);2 坐标轴坐标轴:=k 90()(k Z).2k 例2、（1）、终边落在x轴上的角度集合：（2）、终边落在y轴上的角度集合：（3）、终边落在象限平分线上的角度集合：|,kkZ|,2kkZ|,42kkZ 例例1.1.若若是第三象限的角，问是第三象限的角，问/2/2是哪个象限的是哪个象限的角角?2?2是哪个象限的角是哪个象限的角?.D;.C;.B;.A)(22cos2cos)90(1第四象限第四象限第三象限第三象限第二象限第二象限第象限第象限角属于角属于则则，角是第二象限且满足角是第二象限且满足设设年，上海年，上海例例 C点评点评:本题先由本题先由所在象限确定所在象限确定/2所在象限所在象限,再再/2的的余弦符号确定结论余弦符号确定结论.例例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度：解：分针所转过的角度48036060201例例2 已知a是第二象限角，判断下列各角是第几象限角 （1）（2）23评析：评析：在解选择题或填空题时，如求角所在象限，也可以不讨论k的几种情况，如图所示利用图形来判断.四、什么是1弧度的角？长度等于半径长的弧所对的圆心角。OABrr2rOABr（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可以方便地进行换算.应熟记一些特殊角的度数和弧度数.在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制 rad1180180rad180130.571801rad（4）弧长公式和扇形面积公式.rlrnrnl1802360rlrrS212122222360360rnrnS度 弧度 003064543602120321354315065270231803602902、角度与弧度的互化角度与弧度的互化36021801801185730.57)180(1,弧度特殊角的角度数与弧度数的对应表特殊角的角度数与弧度数的对应表 略解：解：例3已知角和满足求角的范围.43,07,44312解：.,.33例例4 4、已知扇形的周长为定值100，问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值是多少？.625)25(50)2100(212122rrrrrlrS)(2,50,25radrllr扇形面积最大值为625.例例7.7.已知一扇形中心角是已知一扇形中心角是，所在圆的半径是，所在圆的半径是R.R.若若6060，R R10cm10cm，求扇形的弧长及该弧，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积所在的弓形面积.若扇形的周长是一定值若扇形的周长是一定值C C(C C0)0)，当，当为多少为多少弧度时，该扇形的面积有最大值弧度时，该扇形的面积有最大值?并求出这一最大并求出这一最大值值?解：（解：（1）设弧长为）设弧长为l，弓形面积为，弓形面积为S弓弓。1060,10,()33Rlcm 22110131010sin6050)23232SSScm 弓扇（）（2）扇形周长扇形周长C=2R+l=2R+Rrrclrs)2(212120cr 注意：（1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线 三角函数三角函数三角函数线三角函数线正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数正弦线正弦线MP 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 yx xO-1PMA(1,0)Tsin=MPcos=OMtan=AT注意：注意：三角三角函数线是函数线是有有向线段向线段！余弦线余弦线OM正切线正切线AT 为第二象限角时为第二象限角时 为第一象限角时为第一象限角时 为第三象限角时为第三象限角时 为第四象限角时为第四象限角时 10）函数函数y=lg sinx+的定义域是的定义域是（A）（A）x|2kx2k+(kZ)（B）x|2kx2k+(kZ)（C）x|2kx2k+(kZ)（D）x|2kx2k+(kZ)21cosx3323三角函数线的应用三角函数线的应用一、三角式的证明一、三角式的证明042、已知：角 为锐角，试证：2sincos21、已知：角 为锐角，试证：（1）sintan(2)1sincos24、在半径为r的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，那么扇形圆心角是多少？扇形的的面积是多少？答：圆心角为-2，面积是2)2(21r5、用单位圆证明sian tan.(00 0,0)y=Asin(x+)(A0,0)的图象的对称中心的图象的对称中心和对称轴方程和对称轴方程)sin(xAyxysin00|)sin(xy1101)sin(xy)sin(xAyxysin1011xysin00|)sin(xy)sin(xAy)的的简简图图.A As si in n(x x1 1.五五点点法法作作函函数数y y的的思思想想.看看图图说说话话3 3.)的的图图象象.A As si in n(x x函函数数y y2 2.通通过过图图象象变变换换得得到到时 的的思思想想.代代点点看看趋趋4 4.势势求求解解析析式式注注意意sin()yAxB 函数系列要求：sin()yAxB例例3、不通过求值，比较、不通过求值，比较tan1350与与tan1380的大小。的大小。解：900135013802700又 y=tanx在x（900，2700）上是增函数 tan13500,|0,0)的一个周期内的图象如图，则有()sin(xAy)32sin(3)62sin(3)3sin(3)6sin(3xyxyxyxy(A)(B)(C)(D)yx03-312127yx02-2-4yx0-4234943434如图：根据函数如图：根据函数图象图象求它的解析式求它的解析式yx04432-2如图：根据函数如图：根据函数图象图象求它的解析式求它的解析式yx0112112如图：根据函数如图：根据函数图象图象求它的解析式求它的解析式yx0112112如图：根据函数如图：根据函数图象图象求它的解析式求它的解析式3yx根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：使符合条件的使符合条件的 的角的角x有且只有一个，而且有且只有一个，而且包括锐角包括锐角ax sin)11(a4.11 已知三角函数值求角已知三角函数值求角 在闭区间在闭区间 上，符合条件上，符合条件 的角的角x，叫做，叫做实数实数 a 的反正弦，记作的反正弦，记作 ，即，即 ，其中，其中 ，且且 2,2 )11(sin aaxaarcsinaxarcsin 2,2 xxasin aarcsin的意义：的意义：首先首先 表示一个角，角的正弦值为表示一个角，角的正弦值为a ，即，即角的范围是角的范围是aarcsin2,2arcsin a)11(aaa )sin(arcsin4.11 已知三角函数值求角已知三角函数值求角练习：练习：（1）表示什么意思？表示什么意思？21arcsin表示表示 上正弦值等于上正弦值等于 的那个角，即角的那个角，即角 ，2,2 216 21arcsin621arcsin 故故（2）若）若2,2,23sin xx，则，则x=3)23arcsin(（3）若）若2,2,7.0sin xx，则，则x=7.0arcsin4.11 已知三角函数值求角已知三角函数值求角aarccos的意义：的意义：首先首先 表示一个角，角的余弦值为表示一个角，角的余弦值为a ，即，即角的范围是角的范围是 aarccos,0arccos a)11(aaa )cos(arccos根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：使符合条件的使符合条件的 的角的角x有且只有一个，而且有且只有一个，而且包括锐角包括锐角ax cos)11(ayx 在闭区间在闭区间 上，符合条件上，符合条件 的角的角x，叫做，叫做实数实数 a 的反余弦，记作的反余弦，记作 ，即，即 ，其中，其中 ，且且 ,0)11(cos aaxaarccosaxarccos,0 xxacos 4、已知三角函数值求角、已知三角函数值求角y=sinx,的反函数 y=arcsinx,2,2x 1,1xy=cosx,的反函数y=arccosx,0 x 1,1xy=tanx,的反函数y=arctanx,)2,2(xRx已知角已知角x()的三角函数值求的三角函数值求x的步骤的步骤2,0 x先确定x是第几象限角若x 的三角函数值为正的，求出对应的锐角 ；若x的三角函数 值为负的，求出与其绝对值对应的锐角根据x是第几象限角，求出x 若x为第二象限角，即得x=；若x为第三象限角，即得 x=；若x为第四象限角，即得x=若 ，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。1x1x1x1x12xRx反三角函数反三角函数已知三角函数值求角已知三角函数值求角x（仅限于0，2）的解题步骤：1、如果函数值为正数，则求出对应的锐角x0；如果函数值为负数，则求出与其绝对值相对应的锐角x0；2、由函数值的符号决定角x可能的象限角；3、根据角x的可能的象限角得出0，2 内对应的角：如果x是第二象限角，那么可以表示为 x0如果x是第三象限角，那么可以表示为 x0如果x是第四象限角，那么可以表示为2 x0.写出结果写出结果.（三）已知三角函数值求角（三）已知三角函数值求角”的基本步骤的基本步骤1、基本步骤、基本步骤这时这时sin(arcsina)=a 这时这时cos(arccosa)=a 这时这时tan(arctana)=a 三、两角和与差的三角函数1 1、预备知识：两点间距离公式、预备知识：两点间距离公式xyo),(111yxp),(222yxp22122121)()(|yyxxpp),(21yxQ2 2、两角和与差的三角函数、两角和与差的三角函数 sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(tantantantan)tan(1 注：公式的逆用注：公式的逆用 及变形的应用及变形的应用)tantan)(tan(tantan 1公式变形公式变形3 3、倍角公式、倍角公式2sinsinsin2 sincoscos2222sin112coscos2221sincos22tan12tantan222cos21cos22cos21sin2二、知识点二、知识点（一）（一）两角和与两角和与差公式差公式 sincoscossinsinsinsincoscoscostantan1tantantan（二）（二）倍角倍角公式公式 cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos2tan1tan22tan公式 =1-cos2 2cos2=1+cos2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2tan+tan=tan(+)(1-tantan)tan-tan=tan(-)(1+tantan)注意1、公式的变形如：注意2、公式成立的条件（使等式两边都有意义）.C：S：C2：S 2：T2：T：2sin3、倍角公式、倍角公式cossin22sin22sincos2cos22sin211cos21sincos222tan1tan22tan注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别22cos1cos222cos1sin2返回和角公式的一个重要变形和角公式的一个重要变形cos,sin)sin(cossin222222baababxbaxbxa其中其其 它它 公公 式式(1)cos1cos12tan,2cos12cos,2cos12sin2221、半角公式cos1cos12tan,2cos12cos,2cos12sinsincos1cos1sin2tan2tan12tan2tan,2tan12tan1cos,2tan12tan2sin22222、万能公式十二、两角和与差的正弦、余弦、正切：():S():S():C():C()T():Tsin()sincoscossinsin()sincoscossincos()coscossinsincos()coscossinsintantantan()1tantantantantan()1tantan注意：、的以及运用和差公式时要会()T()T如：(),2()()2()(),2()36与互余，+与互余4422sincossin()abab十三、一个化同角同函数名的常用方法：22cos()ab如：sin3cos2sin()2cos()36sincos2sin()2cos()44例7、求 的值1tan151tan15十四、二倍角公式：2:S2:C2:Tsin22sincos22cos2cossin22cos121 2sin 22tantan21tan21coscos2221 cossin2221 cos2sin221 cos2cos2降幂（扩角）公式降幂（扩角）公式升幂（缩角）公式升幂（缩角）公式和差化积公式：和差化积公式：积化和差公式：积化和差公式：1sincossin()sin()21cossinsin()sin()21coscoscos()cos()21sinsincos()cos()2 sinsin2sincos22coscos2sinsin22 sinsin2cossin22coscos2coscos22例例4化简：化简：2cos2cos21coscossinsin2222 解法1：从“角”入手，“复角”化为“单角”，利用“升幂公式”。)1cos2)(1cos2(21coscossinsin222222原式21coscoscoscossinsin22222221cossincossinsin2222221cossin2221例例4化简：化简：2cos2cos21coscossinsin2222 解法2：从“幂”入手，利用“降幂公式”。2cos2cos21)2cos1)(2cos1(41)2cos1)(2cos1(41原式2cos2cos21)2cos2cos1(2121例例4化简：化简：2cos2cos21coscossinsin2222 解法3：从“名”入手，“异名化同名”。2cos2cos21cos)sin1(sinsin2222原式2cos2cos212cossincos22)2cos21(sin2coscos22)22cos22cos1(2cos)2cos1(2121例例4化简：化简：2cos2cos21coscossinsin2222 解法4：从“形”入手，利用“配方法”。2cos2cos21coscossinsin2)coscossin(sin2原式2cos2cos212sin2sin21)(cos2)22cos(21)(cos221三角解题常规三角解题常规宏观思路宏观思路分析差异分析差异寻找联系寻找联系促进转化促进转化指角的、函数的、运算的差异指角的、函数的、运算的差异利用有关公式，建立差异间关系利用有关公式，建立差异间关系活用公式，差异转化，矛盾统一活用公式，差异转化，矛盾统一微观直觉微观直觉1、以变角为主线，注意配凑和转化；、以变角为主线，注意配凑和转化；2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；、见切割，想化弦；个别情况弦化切；3、见和差，想化积；见乘积，化和差；、见和差，想化积；见乘积，化和差；4、见分式，想通分，使分母最简；、见分式，想通分，使分母最简；5、见平方想降幂，见、见平方想降幂，见“1cos”想升幂；想升幂；6、见、见sin2，想拆成，想拆成2sincos；7、见、见sincos或或9、见、见coscoscos，先运用，先运用sin+sin=pcos+cos=q8、见、见a sin+b cos，想化为，想化为 的形式的形式若不行，则化和差若不行，则化和差10、见、见cos+cos(+)+cos(+2 )，想乘想乘 想两边平方或和差化积想两边平方或和差化积)sin(22basin22sincos2sin22sin2 总结：多种名称想切化弦；遇高次就降次消元；asinA+bcosA提系数转换；多角凑和差倍半可算；难的问题隐含要显现；任意变元可试特值算；求值问题缩角是关键；字母问题讨论想优先；非特殊角问题想特角算；周期问题化三个一再算；适时联想联想是关键！【解题回顾解题回顾】找出非特殊角和特殊角之间找出非特殊角和特殊角之间的关系的关系,这种技巧在化简求值中经常用到，这种技巧在化简求值中经常用到，并且三角式变形有规律即坚持并且三角式变形有规律即坚持“四化四化”：多角同角化多角同角化异名同名化异名同名化切割弦化切割弦化特值特角互化特值特角互化公式体系的推导：公式体系的推导：首先利用两点间的距离公式推导首先利用两点间的距离公式推导 ，()C然后利用换元及等价转化等思想方法，以然后利用换元及等价转化等思想方法，以 为中心为中心推导公式体系。推导公式体系。()C()C()C()S()S()T()T2S2C2T用 替换用替换用 替换用替换用 替换用替换相 除相 除相除sin+cos=1222222222222222sin coscossinsin1 cos2coscossin1 tsincoscos1 sin(cossin)sincos1 cossinsinsincoscoscoscossin sin(21-21-（同位素）1-；，（1-）（1+）=（异构体）（1-）（1+）=（=tan）（形变）22an21 tantan()4cossin1 sin2cos21 cossin21 sin2cos2cossin1 sin2cos21 cossin421 sin2cos24tan()tan;tan()()tan()1-1+（合分比）异构异构二【述评】二【述评】1 1、变为主线，抓好训练。变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换（恒等）、变为主线，抓好训练。变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换（恒等）、三角函数名的变换（诱导公式）、三角函数次数的变换（升、降幂公式）、三角函数三角函数名的变换（诱导公式）、三角函数次数的变换（升、降幂公式）、三角函数表达式的变换（综合）等比比皆是。在训练中，强化变化意识是关键。但题目不可以表达式的变换（综合）等比比皆是。在训练中，强化变化意识是关键。但题目不可以太难。较特殊技巧的题目不做。立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中的太难。较特殊技巧的题目不做。立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中的习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。2 2、基本解题规律：观察差异（角或函数或运算）、基本解题规律：观察差异（角或函数或运算）寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧）寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧）分析综合（由因导果或执果索因）分析综合（由因导果或执果索因）实现转化。实现转化。1、值域与最值问题1sin2sin)2();tan(sin)1(xxyxy求求函函数数的的值值域域：利用有界性，求其值域，求其值域其中其中已知函数已知函数0cossin2siny化二次函数型的的值值域域求求函函数数xxycos3sin2运用合一变换的的值值域域求求函函数数xxxxy22cos3cossin2sin换元十七、：主要是将式子化成的形式，再利用正弦函数与余弦函数的求解。例10、求函数 的值域2cossin cosyxxx有时还要运用到 的关系sincossincosxxxx与2、对称性问题3、奇偶性与周期性问题xxyxyxycossin3sin224tan1）（）（）（求下列函数的周期：求下列函数的周期：注意绝对值的影响化为单一三角函数.,82cos2sin)3(.,21sin)2(.)32cos(5)1(axxaxyxyxy求求对对称称图图像像关关于于直直线线如如果果函函数数的的一一个个值值写写出出是是偶偶函函数数函函数数称称轴轴方方程程的的图图像像的的对对称称中中心心和和对对求求函函数数4、单调性与单调区间32sin)2(tan)1(:xyxy求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间复后函数单调性注意负号的处理.32sinlog2.0性性、周周期期性性、奇奇偶偶性性的的定定义义域域、值值域域、单单调调求求函函数数xy5、图像变换问题相位变换、周期变换、振幅变换).(,cos,21,8)()2(.)32sin(sin)1(xfxyxxfyxyxy求函数的图像恰好得到横坐标缩短为原来的再把所得图像上各点的个单位轴向右平移的图像沿把函数的两种方法的图像的图像变换为指出求函数解析式.),0,0()sin(达式达式的图象如图，求函数表的图象如图，求函数表AxAy例例4:已知函数已知函数 求：求：函数的最小正周期；函数的最小正周期；函数的单增区间；函数的单增区间；,cos3cossin2sin22Rxxxxxy解：解：xxxxxxy222cos22sin1cos3cossin2sin)42sin(2212cos2sin1xxx22T得由,224222kxkZkkxk,883)(8,83Zkkk函数的单增区间为 应用应用：化同一个角同一个函数：化同一个角同一个函数例例4:已知函数已知函数 求：求：函数的最大值函数的最大值 及相应的及相应的x的值；的值；函数的图象可以由函数函数的图象可以由函数 的图象经过怎的图象经过怎 样的变换得到。样的变换得到。,cos3cossin2sin22RxxxxxyRxxy,2sin2解：解：xxxxxxy222cos22sin1cos3cossin2sin)42sin(2212cos2sin1xxx22,)(8,2242最大值时即当yZkkxkxxy2sin2图象向左平移图象向左平移 个单位个单位8)42sin(2xy图象向上平移图象向上平移2个单位个单位)42sin(22xy 应用应用：化同一个角同一个函数：化同一个角同一个函数例例5：已知：已知的值求)4sin(21sin2cos2),2(2,222tan2解：解：)4sin(2sincos)4sin(21sin2cos221tan32 21tan,222tan22tan2tan22tan1tan22或即2tan)2,4(),2(2sincossincos应用：应用：化简求值化简求值例1cos40sin50(13tan10)sin701 cos40化简：解:3sin1013tan101cos10 2(cos60 cos10sin60 sin10)cos102cos50cos10原式=1 cos402sin50 cos50cos40cos102sin70 cos202cos4012cos 202cos103sin10cos1022cos 202cos20 20cos)10tan31(40cos50sin 22计算例 20cos)10tan31(40cos40cos 2原式解 20cos)10tan32(40cos2 20coscos1010cos)10sin310(cos40cos2o 20coscos1010cos)1030sin(240cos2o 20coscos1010cos40cos40sin240cos2o 20coscos1010cos40cos80sin2o)240cos1(10cos)40cos1(10cos2_212cos412csc)312tan3(224cos12cos12sin212cos312sin324cos212csc)33(12cos12sin34484834481212342321 sinsinsin)cscsin(练习题练习题5sin(),(0,)4134xx例2 (1)已知5sinsin(2)求证：2tan()3tan(2)已知求cos(),cos24xx(1)证明：5sinsin(2)5sin()sin()化简得：2sin()cos3cos()sin2tan()3tan5sin()cos5cos()sinsin()coscos()sin(2)已知5sin(),(0,)4134xx求cos(),cos24xx解:()()442xxcos()4xsin()4x(0,)4x()(0,)44x5sin()413x12cos()413xcos2x120169513cos()24xsin(2)2xsin2()4x2sin()cos()44xx解：)4sin(2sincos)4sin(21sin2cos22tan1tan1,222tan22tan2tan22tan1tan22或即2tan)2,4(),2(2sincossincos应用：化简求值应用：化简求值322例例5.5.已知已知的值求)4sin(21sin2cos2),2(2,222tan2113sin2sin2,cos2cos2,23 例已知求tan(+)解：2（）（）2（）-（）sin2sin2sinsin（）（）（）-（-）2sin()cos()cos2cos2coscos（）（）（）-（-）2cos()cos()1213 3tan(+)=22、解:由1sinsin4两边平方得:221sin2sin sinsin1621coscos2由两边平方得:221cos2coscoscos42由2+2得:522(coscossinsin)16即52 2cos()16 所以27cos()32 由2 2得:22223cossin2(cos cossin sin)cossin163cos22cos()cos216 3cos()()2cos()cos()()16 32cos()cos()2cos()16 3cos()5cos36cos,sin2sin 1已知：例sin2sin解：由已知得：cos36cos得：222222cos32sin2cossin.0的值、），求，（、3cos2)cos1(63cos2sin6222243cos2656,23cos或434,22cos或练习 已知11tan(),tan,(,0)27 求2tan()tan1tan()tan解:tantan()tan1tan()tan13tan(2)tan()tan()111tan,tan,(,0)37 3,4 045224 724T0AT.,200coscoscos,0sinsinsin2值值求求且且、已已知知 由由条条件件有有解解:coscoscossinsinsin :两两边边平平方方相相加加得得1)coscossin(sin22 21)cos(,20又又 3432或或 3432或或同同理理 ,20但但 .32 例15.（06陕西理17）已知函数f(x)sin(2x )2sin2(x )(xR)（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求使函数f(x)取最大值的x的集合 61233解：f(x)sin(2x )1 cos2(x )sin(2x )cos(2x )1 2 sin(2x )1函数f(x)的最小正周期T.使函数f(x)取最大值的x的集合为x|x=k ,k Z 6123512366 5、已知、已知f(x)=2sin(x+)cos(x+)+2 cos2(x+)-。（1）化简）化简f(x)的解析式；的解析式；（2）若）若0，求，求，使函数，使函数f(x)为偶函数。为偶函数。（3）在（）在（2）成立的条件下，求满足）成立的条件下，求满足f(x)=1，x-,的的x的集合。的集合。解：解：(1)f(x)=sin(2x+)+2cos2(x+)-1 =sin(2x+)+cos(2x+)=2cos(2x+-)(2)当当=时时 f(x)为偶函数。为偶函数。(3)2cos2x=1 cos2x=x=或或x=222333236621665 2、已知函数、已知函数f(x)=sin(x+)+sin(x-)+cosx+a(aR,a常数常数)。（1）求函数）求函数f(x)的最小正周期；的最小正周期；（2）若）若x-,时，时，f(x)的最大值为的最大值为1，求，求a的值。的值。6622解：（解：（1）f(x)=sin(x+)+sin(x-)+cosx+a =sinx+cosx+a =2sin(x+)+a f(x)最小正周期最小正周期T=26663（2）x -,x+-,f(x)大大=2+a a=-1622332例例3、求函数、求函数 的值域的值域.2sin2cos2xxy解：解：1sin2sin2sin2cos22xxxxy2)1(sinx又-1sinx1原函数的值域为：04，变题：变题：已知函数已知函数 （a为常为常数，且数，且a0），求该函数的最小值），求该函数的最小值.21sinsin2xaxy当当-2 0时，时，a;2142minay当当 -2时，时，a.21min ay3、函数函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为的最小值为g(a)(aR)：（1）求）求g(a)；（2）若）若g(a)=，求，求a及此时及此时f(x)的最大值的最大值。21解：（解：（1）f(x)=2(cosx-)2-2-2a-12a2a2a2a -1cosx1 当当-1 1即即-2a2时时 f(x)小小=-2-a-1当当 1 即即a2时时 f(x)小小=f(1)=1-4a2a2a当当 -1 即即a0函数函数y=-acos2x-asin2x+2a+bx0,，若函数的值域为，若函数的值域为-5,1，求常数，求常数a,b的值。的值。32解：解：12676260621 )sin(,xxa 3a+b=1 a=2 b=-5 b=-5baxabaxxay 222222262321)sin()sincos(3、函数函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为的最小值为g(a)(aR)：（1）求）求g(a)；（2）若）若g(a)=，求，求a及此时及此时f(x)的最大值的最大值。21解：（解：（1）f(x)=2(cosx-)2-2-2a-12a2a2a2a -1cosx1 当当-1 1即即-2a2时时 f(x)小小=-2-a-1当当 1 即即a2时时 f(x)小小=f(1)=1-4a2a2a当当 -1 即即a-2时时 f(x)小小=f(-1)=1 ).().().()(21241221222aaaaaaag（2）a=-1 此时此时 f(x)=2(cosx+)2+f(x)大大=521213、函数函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为的最小值为g(a)(aR)：（1）求）求g(a)；（2）若）若g(a)=，求，求a及此时及此时f(x)的最大值的最大值。21 5、已知、已知f(x)=2sin(x+)cos(x+)+2 cos2(x+)-。（1）化简）化简f(x)的解析式；的解析式；（2）若）若0，求，求，使函数，使函数f(x)为偶函数。为偶函数。（3）在（）在（2）成立的条件下，求满足）成立的条件下，求满足f(x)=1，x-,的的x的集合。的集合。解：解：(1)f(x)=sin(2x+)+2cos2(x+)-1 =sin(2x+)+cos(2x+)=2cos(2x+-)(2)当当=时时 f(x)为偶函数。为偶函数。(3)2cos2x=1 cos2x=x=或或x=222333236621665 例12.（2006年天津文9）已知函数f(x)asinxbcosx（a，b为常数，a0，xR）在x 处取得最小值，则函数yf(x)的对称中心坐标是_ 434解：由 (ab)化简得ab所以f(x)asin(x )，a0从而f(x)asinx，其对称中心坐标为(k，0)，kZ.22422ab2342平平 面面 向向 量量 复复 习习向量的三种表示向量的三种表示表示表示运算运算向量加向量加法与减法法与减法向量的相关概念向量的相关概念实数与实数与向量向量 的积的积三三 角角 形形 法法 则则平行四边形法则平行四边形法则向量平行、向量平行、垂直的条件垂直的条件平面向量平面向量的基本定理的基本定理平平面面向向量量向量的数量积向量的数量积向量的应用向量的应用几何表示 :有向线段有向线段向量的表示字母表示 :aAB、等坐标表示 :(x，y)若若 A(x1,y1),B(x2,y2)则则 AB=(x2 x1,y2 y1)返回返回1.向量的概念:2.向量的表示:3.零向量:4.单位向量:5.平行向量:6.相等向量:7.共线向量:既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量1.有向线段有向线段 2.字母字母 3.有向线段起点和终点字母有向线段起点和终点字母长度为零的向量长度为零的向量(零向量与任意向量都平零向量与任意向量都平行行长度为长度为1个单位的向量个单位的向量1.方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的非零向量2.零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量平行向量就是共线向量平行向量就是共线向量a向量的模（长度）向量的模（长度）1.设设 =(x ,y),则则2.若表示向量若表示向量(x1,y1)、B(x2,y2)，则，则 ABa22yx 221221yyxx返回返回11,;(2)3,4,;(5)/,/,/ababABCDABCDab bcacac bcab 例：判断下列各命题是否正确？（）则若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；（）若则四边形是平行四边形；（）若则若则例例1 1：思考下列问题：思考下列问题：1 1、下列命题正确的是、下列命题正确的是（1 1）共线向量都相等）共线向量都相等 （2 2）单位向量都相等）单位向量都相等（3 3）平行向量不一定是共线向量）平行向量不一定是共线向量（4 4）零向量与任一向量平行）零向量与任一向量平行四、例题一、第一层次一、第一层次知识回顾知识回顾：1.向量的加法运算OABOBABOA三角形法则OABCOCOBOA平行四边形法则坐标运算),(),(2211yxbyxa设：则 ba),(2121yyxx“首尾相接首尾连”2.向量的减法运算向量的减法运算1）减法法则减法法则：OABOBOABA2）坐标运算坐标运算),(),(2211yxbyxa 设：则 ba),(2121yyxx),(1212yyxx),(),(2211yxByxAAB 设 则 思考：思考：若 非零向量 ，则它们的模相等且方向相同。同样 若：ba 2121yyxxba则,2211yxbyxa“同始点尾尾相接,指向被减向量”一、第一层次一、第一层次知识回顾知识回顾：1.向量的加法运算向量的加法运算ABC AB+BC=三角形法则三角形法则OABC OA+OB=平行四边形法则平行四边形法则坐标运算坐标运算:则则a +b=重要结论：重要结论：AB+BC+CA=0设设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)AC OC?,)2(?,)1(,:则四边形是什么图形则四边形是什么图形注babababADaABDCDCDCACBADADBACAB)()()()(11）：（例DCDDBCCDBADAADBCAB)()()()(2）（实数实数 与向量与向量 的积的积定义定义：坐标运算：坐标运算：其实质就是向量的伸长或缩短！其实质就是向量的伸长或缩短！若若 =(x,y),则则(x,y)=(x,y)返回返回 平面向量的数量积平面向量的数量积（1）a与与b的夹角的夹角：（2）向量夹角的范围）向量夹角的范围：（3）向量垂直）向量垂直：00，1800ab共同的起点共同的起点aOABbOABOABOABOAB（4）两个非零向量的数量积：）两个非零向量的数量积：规定：规定：零向量与任一向量的数量积为0a b=|a|b|cos几何意义：几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘积。AabBB1OBAbB1aOBb(B1)AaO若若 a=(x1,y1),b=(x2,y2)则则a b=x1 x2+y1 y25、数量积的运算律：、数量积的运算律：交换律：交换律：abba对数乘的结合律：对数乘的结合律：)()()(bababa分配律：分配律：cbcacba)(注意：注意：数量积不满足结合律数量积不满足结合律)()(:cbacba即返回返回3.平面向量的数量积的性质平面向量的数量积的性质 (1)ab ab0(2)ab|a|b|(a与与b同向取正，反向取负同向取正，反向取负)(3)aa|a|2 或或|a|aa(4)(5)|ab|a|b|babacos4.平面向量的数量积的坐标表示平面向量的数量积的坐标表示 (1)设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则则abx1x2+y1y2，|a|2x21+y21，|a|x21+y21，ab x1x2+y1y20 (2)(3)设设a起点起点(x1，y1),终点终点(x2，y2)则则222221212121yxyxyyxxcos222121y-yx-xa5、重要定理和公式：、重要定理和公式：22)()(bababa2222)(bbaaba),(yxa 22|yxa设设则则),(11yxA),(22yxB212212)()(|yyxxAB设两点设两点则则),(11yxa),(22yxb 222221212121cosyxyxyyxx设设则则ba02121yyxx),(11yxa),(22yxb 设非零向量设非零向量则则0)2(0)1(2121yyxxbabababa二、平面向量之间关系0)0),(),(/)2(;)0(/)1(12212211yxyxbyxbyxabababba向量平行向量平行(共线共线)条件的两种形式条件的两种形式:向量垂直条件的两种形式向量垂直条件的两种形式:（3）两个向量相等的条件是两个向量的）两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等坐标相等.即即:那么那么 ),(11yxa),(22yxb 2121yyxxba且3、平面向量的坐标运算、平面向量的坐标运算知识回忆知识回忆（1）e1、e2不共线，不共线，a=1e1+2e2 (存在一对存在一对实数实数1，2)(1，2唯一的唯一的)。（2）a=xi+yj (x,y)为为a的直角坐标，的直角坐标，a=(x,y)（3）若若a=(x1,y1)b=(x2,y2)，则则ab=(x1x2,y1y2)A(x1,y1)B(x2,y2)AB=(x2-x1,y2-y1)若若a=(x,y)则则a=(x,y)a=(x1,y1)b=(x2,y2)(b0)ab x1y2-x2y1=0知知识识回回忆忆典典例例分分析析例例5例例6回目录例题解这个方程组得k=-(1/3),=-(1/3),即当k=-(1/3)时，ka+b与a-3b平行，这时ka+b=-a/3+b.因为=-(1/3)0,所以-a/3+b与a-3b反向。在本例中，也可以根据向量平行充分条件的坐标 形式，从(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,先解出 k=-(1/3)，然后再求。例例2 设设a，b是两个不共线向量。是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2bA、B、D共线则共线则k=_(kR)解：解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=-k=-1 k=-1知知识识回回忆忆典典例例分分析析例例2例例3例例42、实数与向量的积、实数与向量的积典例分析典例分析-例例2本页结束回目录1与平面几何的结合：与平面几何的结合：（1 1）在平行四边形）在平行四边形ABCD中中 若若ADAB，则，则0)()(ADABADAB，即即 。若若ADAB，则，则ADABADAB，即即 。ABDCABDC四边形四边形ABCD是菱形是菱形四边形四边形ABCD是矩形是矩形（2 2）在在ABC中中 222OCOBOA，O是是ABC的的 ；ACAB一一定定过过边边BC的的中中点点；通通过过ABC的的 ；0OCOBOA，O是是ABC的的 ；ABCOABCDMABCOM外心外心重心重心重心重心第一层次第一层次例题分例题分析析类型四：三角形中的向量类型四：三角形中的向量问题问题ABCABC在中,如点O为的0OAOBOC (1)重心()(),ABACBABCAOBOABACBABC (2)内心且OAOBOC (3)外心OA OBOB OCOA OC (4)垂心ABCO第一层次第一层次例题分例题分析析类型四：三角形中的向量类型四：三角形中的向量问题问题(5)000AB ACBC BACA CBABC 如且且为锐角三角形.000AB ACBC BACA CBABC (6)如或或为钝角三角形.AB ACAB ACABC (7)如()()=0为等腰三角形.ABACAB ACABC (8)为直角三角形.：判断正误，并简述理由。221.0002.0003.04.5./6.aba ba baba ba cabcaaa aa babbababb 若，则若，则或若，且，则，则a，则a(）(）(）(）(）(）平平 面面 向向 量量 复复 习习2.设设AB=2(a+5b)，BC=2a+8b，CD=3(a b)，求证：求证：A、B、D 三点共线。三点共线。分析分析要证要证A、B、D三点共线，可证三点共线，可证 AB=BD关键是找到解：解：BD=BC+CD=2a+8b+3(a b)=a+5bAB=2 BD且且AB与与BD有公共点有公共点B A、B、D 三点共线三点共线AB BD