文科数学考前重要知识点梳理

文科数学考前重要知识点梳理考前：记定义、公式、性质、易错点考时：熟题-认真对待 生题-化生为熟 难题-化大为小一一.三角三角(一)任意角的三角函数及三角恒等变换【主干知识】【主干知识】(1)(1)同角三角函数之间的关系同角三角函数之间的关系:平方关系平方关系:_;:_;商数关系商数关系:_.:_.(2)(2)诱导公式诱导公式:公式公式:S:S+2k+2k;S;S;S;S-;巧记口诀巧记口诀:奇变偶不变奇变偶不变,符号看象限符号看象限,当锐角看当锐角看.sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1sintancos 2S(3)(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式:sin(sin()=_;)=_;cos(cos()=_;)=_;tan(tan()=_.)=_.辅助角公式辅助角公式:asin+bcos=_:asin+bcos=_=cos(+).=cos(+).sincossincoscossincossincoscoscoscos sinsinsinsintantan1tan tan22ab sin()22ab(4)(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式:sin2=_;sin2=_;cos2=_=2coscos2=_=2cos2 2-1=1-2sin-1=1-2sin2 2;tan2=_.tan2=_.(5)(5)降幂公式降幂公式:sinsin2 2=_;=_;coscos2 2=_.=_.2sincos2sincoscoscos2 2-sin-sin2 222tan1tan1 cos 221cos 22(6 6)公式：公式：rl180180r|r|1r2l21r|2(7)(7)任意角的三角函数任意角的三角函数 定义定义:设角设角终边与单位圆交于终边与单位圆交于P(x,y),P(x,y),则则_=y,_=y,_=x,tan=_._=x,tan=_.sinsincoscosy(x0)x【规律方法】【规律方法】1.1.用定义法求三角函数值的两种情况用定义法求三角函数值的两种情况(1)(1)已知角已知角终边上一点终边上一点P P的坐标，则可先求出点的坐标，则可先求出点P P到原点的距离到原点的距离r r，然后用三角函数的定义，然后用三角函数的定义求解求解.(2)(2)已知角已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题离，然后用三角函数的定义来求相关问题.【规律方法】【规律方法】2 2利用同角三角函数的关系式化简求值的三种常用方法利用同角三角函数的关系式化简求值的三种常用方法(1)(1)切弦互换法切弦互换法:利用利用tan=tan=进行转化进行转化.(2)(2)和积转化法和积转化法:利用利用(sin(sincos)cos)2 2=1=12sincos2sincos进行变进行变形、转化形、转化.(3)(3)常值代换法常值代换法:其中之一就是把其中之一就是把1 1代换为代换为sinsin2 2+cos+cos2 2.同角同角三角函数关系三角函数关系sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1和和tan=tan=联合使用联合使用,可以可以根据角根据角的一个三角函数值求出另外两个三角函数值的一个三角函数值求出另外两个三角函数值.根据根据tan=tan=可以把含有可以把含有sin,cossin,cos的齐次式化为的齐次式化为tantan的关系式的关系式.sincossincossincos【规律方法】【规律方法】3.3.利用诱导公式解题的原则和步骤利用诱导公式解题的原则和步骤(1)(1)诱导公式应用的原则：诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了负化正、大化小，化到锐角为终了.(2)(2)诱导公式应用的步骤：诱导公式应用的步骤：【提醒】诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号【提醒】诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号.任意负角的三角函数任意正角的三角函数02的角的三角函数锐角三角函数【规律方法】【规律方法】4.4.三角恒等变换的思路与方法三角恒等变换的思路与方法思路思路:(1)(1)和式和式:降次、消项、逆用公式降次、消项、逆用公式.(2)(2)三角分式三角分式:分子与分母约分或逆用公式分子与分母约分或逆用公式.(3)(3)二次根式二次根式:切化弦、变量代换、角度归一切化弦、变量代换、角度归一.方法方法:(1)(1)弦切互化弦切互化:一般是切化弦一般是切化弦.(2)(2)常值代换常值代换:特别是特别是“1”1”的代换的代换,如如1=sin1=sin2 2+cos+cos2 2=tan45=tan45等等.(3)(3)降次与升次降次与升次:正用二倍角公式升次正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式逆用二倍角公式(降幂公式降幂公式)降次降次.(4)(4)公式的变形应用公式的变形应用:如如sin=costan,sinsin=costan,sin2 2=,cos ,cos2 2=,tan+tan=,tan+tan=tan(+)(1-tantan),1tan(+)(1-tantan),1sin=sin=等等.(5)(5)角的合成及三角函数名的统一角的合成及三角函数名的统一:asin+bcos=asin+bcos=(6)(6)角的拆分与角的配凑角的拆分与角的配凑:如如=(-)+,=(-)+,=可视为可视为 的半角等的半角等.1 cos 221cos 222(sincos)2222bab sin()(tan).a,224(2)2(二)函数y=Asin(x+)的图象与性质【主干知识】【主干知识】重要性质重要性质(1)(1)增减性增减性:2k,2k 2232k,2k 22(kZ)(kZ)(kZ)(kZ)(k,k)22 -+2k,2k-+2k,2k(kZ)(kZ)2k,+2k2k,+2k(kZ)(kZ)(kZ)(kZ)(2)(2)对称性对称性:(k,0)(kZ)(k,0)(kZ)x=k(kZ)x=k(kZ)xk(kZ)2(k,0)(kZ)2k(0)(kZ)2，【规律方法】【规律方法】1.1.三角函数的性质三角函数的性质(1)(1)运用整体换元法求解单调区间与对称性运用整体换元法求解单调区间与对称性:类比类比y=sinxy=sinx的性质的性质,只需将只需将y=Asin(x+y=Asin(x+)中的中的“x+“x+”看看成成y=sinxy=sinx中的中的“x”,“x”,采用整体代入求解采用整体代入求解.令令x+x+=k+(kZ),=k+(kZ),可求得对称轴方程可求得对称轴方程;令令x+x+=k(kZ),=k(kZ),可求得对称中心的横坐标可求得对称中心的横坐标;将将x+x+看作整体看作整体,可求得可求得y=Asin(x+)y=Asin(x+)的单调区间的单调区间,注意注意的符号的符号.2(2)(2)奇偶性奇偶性:函数函数y=Asin(x+y=Asin(x+),xR),xR是奇函数是奇函数=k(kZ);=k(kZ);函数函数y=Asin(x+y=Asin(x+),xR),xR是偶函数是偶函数=k+(kZ);=k+(kZ);函数函数y=Acos(x+y=Acos(x+),xR),xR是奇函数是奇函数=k+(kZ);=k+(kZ);函函数数y=Acos(x+y=Acos(x+),xR),xR是偶函数是偶函数=k(kZ);=k(kZ);函数函数y=Atan(x+y=Atan(x+),xR),xR是奇函数是奇函数=(kZ).=(kZ).22k2(3)(3)周期性周期性:函数函数y=Asin(x+y=Asin(x+)()(或或y=Acos(x+y=Acos(x+)的最小正周期的最小正周期T=,T=,注意注意y=|Asin(x+y=|Asin(x+)|)|的周期的周期T=.T=.(4)(4)最值最值(或值域或值域):):求最值求最值(或值域或值域)时时,一般要确定一般要确定u=x+u=x+的范围的范围,然后结合函数然后结合函数y=sinuy=sinu或或y=cosuy=cosu的性质可得函数的最值的性质可得函数的最值(值域值域).).2|【规律方法】【规律方法】2.2.三角函数的图象三角函数的图象函数表达式函数表达式y=Asin(x+y=Asin(x+)+B)+B的确定方法的确定方法A2最大值最小值B2最大值最小值14三角函数图象的两种变换方法三角函数图象的两种变换方法(1)y=sinx(1)y=sinxy=sin(x+y=sin(x+)y=sin(x+y=sin(x+)y=Asin(x+y=Asin(x+)(A0,0).)(A0,0).(2)y=sinx(2)y=sinxy=sinxy=sinxy=sin(x+y=sin(x+)y=Asin(x+y=Asin(x+)(A0,0).)(A0,0).(三)解三角形的综合问题【主干知识】【主干知识】(1)(1)正弦定理正弦定理2RsinA2RsinA2RsinB2RsinB2RsinC2RsinCabcsin Asin Bsin Ca2Rb2Rc2R(2)(2)余弦定理余弦定理(3)(3)面积公式面积公式S SABCABC=bcsinA=_=_=_.=bcsinA=_=_=_.b b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosAa a2 2+c+c2 2-2accosB-2accosBa a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC222bca2bc222acb2ac222abc2ab121acsin B21absin C2abc4R【规律方法】正、余弦定理的应用【规律方法】正、余弦定理的应用(1)(1)边角互化边角互化:求角求角;求边求边;求求三角形三角形面积面积;确定确定三角形的三角形的形状形状(2)(2)结合基本不等式结合基本不等式:求求三角形三角形周长、面积的最值周长、面积的最值二二.数列数列【主干知识】【主干知识】(1)(1)等差数列通项公式等差数列通项公式:a:an n=_.=_.(2)(2)等差数列前等差数列前n n项和公式项和公式:S:Sn n=_=_.=_=_.(3)(3)等比数列通项公式等比数列通项公式:_.:_.a a1 1+(n-1)d+(n-1)d1nn aa21n n1nad2a an n=a=a1 1q qn-1n-1(4)(4)等比数列前等比数列前n n项和公式项和公式:S:Sn n=_=_(5)(5)等差中项公式等差中项公式:_.:_.(6)(6)等比中项公式等比中项公式:_.:_.(7)(7)数列数列aan n 的前的前n n项和与通项项和与通项a an n之间的关系之间的关系:a an n=_=_2a2an n=a=an-1n-1+a+an+1n+1(nN(nN*,n2),n2)2nn 1n 1aaa(nN*,n2)1nn 1S,n1,SS,n2.1n11nnaq1a 1 qaa q(q1).1 q1 q，(8)(8)等差等差(比比)数列的性质盘点数列的性质盘点2kana 12SnaSq()S偶奇公比 【规律方法】【规律方法】(一一)1.1.求求通项公式通项公式a an n(1)(1)列方程求基本量列方程求基本量(2)(2)S Sn n与与a an n的关系的应用的关系的应用(讨论讨论,检验检验)(3)(3)叠加法叠加法:a an+1n+1=a=an n+f(n)+f(n)(4)(4)叠乘法叠乘法:2.2.求最大求最大(小小)项项:化为判断化为判断a an+1n+1和和a an n的差的正负的差的正负1 1n nn nn n-1 1S S，n n=1 1,a a=S S-S S，n n2 2.n+1n+1n na a=f=fa a(n n)【规律方法】【规律方法】(二二)求求S Sn n 1.1.分组求和的常见方法分组求和的常见方法(1)(1)根据等差、等比数列分组根据等差、等比数列分组.(2)(2)根据正号、负号分组根据正号、负号分组.(3)(3)根据数列的周期性分组根据数列的周期性分组.2.2.裂项后相消的规律裂项后相消的规律(1)(1)裂项系数取决于前后两项分母的差裂项系数取决于前后两项分母的差.(2)(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多裂项相消后前、后保留的项数一样多.3.3.错位相减法的关注点错位相减法的关注点(1)(1)适用题型适用题型:等差数列等差数列aan n 乘以等比数列乘以等比数列bbn n 对应项对应项(a(an nbbn n)型数列求和型数列求和.(2)(2)步骤步骤:求和时先乘以数列求和时先乘以数列bbn n 的公比的公比.把两个和的形式错位相减把两个和的形式错位相减.整理结果形式整理结果形式.三三.立几立几 1 1.三视图三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等；画法规则：长对正、高平齐、宽相等；摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的下方摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的下方.2 2.直观图直观图横等长横等长,纵折半纵折半3 3.平行与垂直平行与垂直(1)(1)线面平行与垂直的判定定理、性质定理线面平行与垂直的判定定理、性质定理a,baab a,aabb a,ba,babO lllaabb (2)(2)面面平行与垂直的判定定理、性质定理面面平行与垂直的判定定理、性质定理:aa caa,ac a,ba,babO aabb 【规律方法】【规律方法】1.1.证平行证平行判断或证明线面平行的常用方法判断或证明线面平行的常用方法(1 1)利用线面平行的判定定理利用线面平行的判定定理(a(a,b,b,ab,aba).a).(2 2)利用面面平行的性质利用面面平行的性质(,a(,aa).a).判定面面平行的常用方法判定面面平行的常用方法(1 1)利用面面平行的判定定理利用面面平行的判定定理.(2 2)利用垂直于同一条直线的两平面平行利用垂直于同一条直线的两平面平行.2.2.证垂直证垂直判定线面垂直的判定线面垂直的常用常用方法方法方法一：利用线面垂直的判定定理方法一：利用线面垂直的判定定理.（两（两垂垂一相交）一相交）方法方法二二：利用面面垂直的性质定理：利用面面垂直的性质定理.（与交线垂直）（与交线垂直）面面垂直的证明方法面面垂直的证明方法（1 1）面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理（2 2）用面面垂直的定义用面面垂直的定义线线线线垂直的垂直的常用常用方法方法：线面垂直线面垂直线线线线垂直垂直3.3.求体积（找底和高）求体积（找底和高）四四.概率统计概率统计1.1.利用频率分布直方图估计样本的数字特征利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)(1)中位数中位数:在频率分布直方图中在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等中位数左边和右边的直方图的面积应该相等,由此可以估由此可以估计中位数的值计中位数的值.(2)(2)平均数平均数:平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和的横坐标之和.(3)(3)众数众数:在频率分布直方图中在频率分布直方图中,众数是最高的矩形的中点的横坐标众数是最高的矩形的中点的横坐标.2.2.最小二乘法估计的三个步骤最小二乘法估计的三个步骤(1)(1)作出散点图，判断是否线性相关作出散点图，判断是否线性相关.(2)(2)如果是，则用公式求如果是，则用公式求 ，写出回归方程，写出回归方程.(3)(3)根据方程进行估计根据方程进行估计.【提醒】回归直线方程恒过点【提醒】回归直线方程恒过点abx y.，3 3.独立性检验独立性检验(1)2(1)22 2列联表列联表.(2)K(2)K2 2统计量统计量.K K2 2=(=(其中其中n=a+b+c+dn=a+b+c+d为样本容量为样本容量).).2n adbcabcdac(bd)a+ba+bb+db+d4 4.求古典概型概率的基本步骤求古典概型概率的基本步骤(1)(1)算出所有基本事件的个数算出所有基本事件的个数n.n.(列举法列举法,列表法列表法)(2)(2)求出事件求出事件A A包含的所有基本事件数包含的所有基本事件数m.m.(3)(3)代入公式代入公式P(A)P(A)求出求出P(A).P(A).5 5.几何概型的概率公式几何概型的概率公式(画图画图)P(A)=_.P(A)=_.mn，A()构成事件 的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积五五.解几解几【主干知识】【主干知识】1.1.直线与圆直线与圆(1)(1)直线的斜率公式直线的斜率公式已知直线的倾斜角为已知直线的倾斜角为(90(90),),则直线的斜率为则直线的斜率为k=k=_._.已知直线过点已知直线过点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)(x)(x2 2xx1 1),),则直线的斜率为则直线的斜率为k=_(xk=_(x2 2xx1 1).).tantan1212yyxx(2)(2)距离公式距离公式A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)两点间的距离两点间的距离:|AB|=_.|AB|=_.点到直线的距离点到直线的距离:d=_(:d=_(其中点其中点P(xP(x0 0,y,y0 0),),直线方程为直线方程为Ax+By+C=0).Ax+By+C=0).(3)(3)直线与圆相交时弦长公式直线与圆相交时弦长公式弦长弦长l=_,=_,其中其中R R为圆的半径为圆的半径,d,d为圆心到弦所在直线的距离为圆心到弦所在直线的距离.222121xxyy0022AxByCAB222 Rd(4 4)直线的两种位置关系直线的两种位置关系当不重合的两条直线当不重合的两条直线l1 1和和l2 2的斜率存在时的斜率存在时:(i)(i)两直线平行两直线平行:l1 1l2 2k k1 1=k=k2 2.(ii)(ii)两直线垂直两直线垂直:l1 1l2 2k k1 1kk2 2=-1.=-1.当两直线方程分别为当两直线方程分别为:l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0,=0,l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0时时:(i)(i)两直线平行两直线平行l1 1l2 2A A1 1B B2 2-A-A2 2B B1 1=0=0且且A A1 1C C2 2-A-A2 2C C1 100或或B B1 1C C2 2-B-B2 2C C1 10.0.(ii)(ii)两直线垂直两直线垂直l1 1l2 2A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0.=0.2 2.圆锥曲线圆锥曲线(1)(1)三个定义式三个定义式:椭圆椭圆:|PF:|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a(2a|F|=2a(2a|F1 1F F2 2|);|);双曲线双曲线:|PF:|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2a(2a|F|=2a(2a0)=2px(p0)过焦点过焦点F F的弦的弦AB,AB,若若A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 1x x2 2=,y=,y1 1y y2 2=-p=-p2 2,弦长弦长|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+p.+p.同样可得抛物线同样可得抛物线y y2 2=-2px,x=-2px,x2 2=2py,x=2py,x2 2=-2py=-2py类似的性质类似的性质.2121k|xx|211()k|y|y1 1-y-y2 2|2p43 3.圆锥曲线圆锥曲线重要性质重要性质(1)(1)椭圆、双曲线中椭圆、双曲线中a a，b b，c c之间的关系：之间的关系：在椭圆中：在椭圆中：_；离心率为；离心率为_._.在双曲线中：在双曲线中：_；离心率为；离心率为_._.(2)(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标：双曲线的渐近线方程与焦点坐标：双曲线双曲线 =1(a0 =1(a0，b0)b0)的渐近线方程为的渐近线方程为_；焦点坐标焦点坐标F F1 1_,F_,F2 2_._.双曲线双曲线 =1(a0 =1(a0，b0)b0)的渐近线方程为的渐近线方程为_,_,焦点坐标焦点坐标F F1 1_,F_,F2 2_._.a a2 2=b=b2 2+c+c2 2ceac c2 2=b=b2 2+a+a2 2cea2222xyabbyxa(-c,0)(-c,0)(c,0)(c,0)2222xyabayxb(0,-c)(0,-c)(0,c)(0,c)(3)(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线的焦点坐标与准线方程:抛物线抛物线y y2 2=2px(p0)2px(p0)的焦点坐标为的焦点坐标为_,_,准线方程准线方程为为_._.抛物线抛物线x x2 2=2py(p0)2py(p0)的焦点坐标为的焦点坐标为_,_,准线方程准线方程为为_._.p(,0)2px2 p(0,)2py2【规律方法】【规律方法】1.1.直线与圆直线与圆几何法判断直线与圆的位置关系的流程几何法判断直线与圆的位置关系的流程求过一点且与圆相切的切线方程的方法及步骤求过一点且与圆相切的切线方程的方法及步骤(1)(1)方法：待定系数法方法：待定系数法.(2)(2)步骤：步骤：判断点是否在圆上，若在圆上，则有且只有一条切线；若在圆外，则有且只有判断点是否在圆上，若在圆上，则有且只有一条切线；若在圆外，则有且只有两条切线；两条切线；设切线方程设切线方程(一般设点斜式方程一般设点斜式方程)；利用圆心到直线的距离等于半径，求待定系数值；利用圆心到直线的距离等于半径，求待定系数值；得切线方程得切线方程.【提醒】若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在【提醒】若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上的那条切线补上.2.2.直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线 解决解决直线与直线与圆锥曲线圆锥曲线位置关系的位置关系的常见常见步骤步骤第一步：确定直线与第一步：确定直线与圆锥曲线圆锥曲线的方程的方程(设直线设直线,设交点设交点)第二步：联立方程；消元第二步：联立方程；消元第三步：第三步：利用根与系数关系利用根与系数关系;根的判别式根的判别式第四步：第四步：结合题意解决具体问题结合题意解决具体问题(交点个数交点个数;弦长弦长;弦中点弦中点)六六.函数与导数函数与导数【主干知识】【主干知识】(1)(1)基本初等函数的八个导数公式基本初等函数的八个导数公式0 0 xx-1-1cosxcosx-sinx-sinxa ax xlnalnae ex x1xln a1x(2)(2)导数四则运算法则导数四则运算法则f(x)f(x)g(x)=_;g(x)=_;f(x)g(x)=_;f(x)g(x)=_;_ _ f xg x 2fx g xf x g xg x(g x0).f(x)f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)【规律方法】【规律方法】1.1.判断函数零点个数的方法判断函数零点个数的方法(1)(1)直接求零点直接求零点:令令f(x)=0,f(x)=0,则方程解的个数即为零点的个数则方程解的个数即为零点的个数.(2)(2)零点存在性定理零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在利用该定理不仅要求函数在a,ba,b上是连续的曲线上是连续的曲线,且且f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间解集在定义域内的部分为单调递增区间;解不等式解不等式f(x)0,f(x)0(a0)c0(a0)恒成立的条件是恒成立的条件是 (2)ax(2)ax2 2bxbxc0(a0)c0,a0,0.0.a0,a0,0.0.(2)(2)注意符号成立的条件：用基本不等式求最值时，若连续进行放缩，只有各等号成立的条注意符号成立的条件：用基本不等式求最值时，若连续进行放缩，只有各等号成立的条件保持一致时，结论的等号才成立件保持一致时，结论的等号才成立.(3)(3)忽略基本不等式求最值的条件致误：利用基本不等式求最值时要注意忽略基本不等式求最值的条件致误：利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三一正、二定、三相等相等”，三个条件缺一不可，三个条件缺一不可.