数学-南京市2015届高三9月学情调研卷-数学

南京市高三年级学情调研卷 数 学 .09注意事项：1本试卷共3页，涉及填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上相应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1函数f(x)cos2xsin2x的最小正周期为 2已知复数z，其中i是虚数单位，则|z| 3某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的措施从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 名学生S0SSk2开始输出S结束YNk5（第6题图）k1kk24从甲、乙、丙、丁4位同窗中随机选出2名代表参与学校会议，则甲被选中的概率是 5已知向量a(2，1)，b(0，1)若(ab)a，则实数 6右图是一种算法流程图，则输出S的值是 7已知双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率为 8已知圆锥的侧面展开图是一种半径为2的半圆，则这个圆锥的高是 9设f(x)x23xa若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范畴为 10在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c已知ac2b，sinBsinC，则cosA 11若f(x)是R上的单调函数，则实数a的取值范畴为 12记数列an的前n项和为Sn若a11，Sn2(a1an)(n2，nN*)，则Sn 13在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y26x50，点A，B在圆C上，且AB2，则|的最大值是 14已知函数f(x)x1(e1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)0的x的取值范畴为 二、解答题：本大题共6小题，合计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字阐明、证明过程或演算环节15（本小题满分14分）已知函数f(x)2sin(2x)(02)的图象过点(，2)（1）求的值；（2）若f()，0，求sin(2)的值16（本小题满分14分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点（1）求证：MN平面AA1C1C；（2）若CC1CB1，CACB，平面CC1B1B平面ABC，求证：AB平面CMNA1ABCB1C1MN（第16题图）17（本小题满分14分）已知an是等差数列，其前n项的和为Sn， bn是等比数列，且a1b12，a4b421，S4b430（1）求数列an和bn的通项公式；（2）记cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和18（本小题满分16分）给定椭圆C：1(ab0)，称圆C1：x2y2a2b2为椭圆C的“随着圆”已知椭圆C的离心率为，且通过点(0，1)（1）求实数a，b的值；（2）若过点P(0，m)(m0)的直线l与椭圆C有且只有一种公共点，且l被椭圆C的随着圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值19（本小题满分16分）如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为的角形耕地，其中tan2在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，km现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一种工业园为尽量减少耕地占用，问如何拟定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积AMNP（第19题图）CB20（本小题满分16分）已知函数f(x)ax3|xa|，aR（1）若a1，求函数yf(x) (x0，)的图象在x1处的切线方程；（2）若g(x)x4，试讨论方程f(x)g(x)的实数解的个数；（3）当a0时，若对于任意的x1a，a2，都存在x2a2，)，使得f(x1)f(x2)1024，求满足条件的正整数a的取值的集合南京市高三年级学情调研卷 数学附加题 .09注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40分，考试时间30分钟3答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上相应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，合计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节A选修41：几何证明选讲CAPOQ（第21题A图）B如图，PA是圆O的切线，A为切点，PO与圆O交于点B、C，AQOP，垂足为Q若PA4，PC2，求AQ的长B选修42：矩阵与变换已知矩阵A属于特性值l的一种特性向量为 （1）求实数b，l的值；（2）若曲线C在矩阵A相应的变换作用下，得到的曲线为C：x22y22，求曲线C的方程C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数 )，圆C的参数方程为(为参数)若点P是圆C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值D选修45：不等式选讲已知a，b是正数，且ab1，求证：(axby)(bxay)xy【必做题】第22题、第23题，每题10分，合计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节22如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC2，CC15，E是棱CC1上不同于端点的点，且（1） 当BEA1为钝角时，求实数的取值范畴；（2） 若，记二面角B1A1BE的的大小为，求|cos|（第22题图）ABCDEA1B1C1D123某商店为了吸引顾客，设计了一种摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机的摸2个球，设计奖励方式如下表：成果奖励1红1白10元1红1黑5元2黑2元1白1黑不获奖（1）某顾客在一次摸球中获得奖励X元，求X的概率分布表与数学盼望；（2）某顾客参与两次摸球，求她能中奖的概率高三年级学情调研卷 数学参照答案及评分原则 .09阐明：1本解答给出的解法供参照如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的重要考察内容比照评分原则制定相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步浮现错误时，如果后续部分的解答未变化该题的内容和难度，可视影响的限度决定给分，但不得超过该部分对的解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表达考生对的做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分 1 2 332 4 55 635 72 8 9(0， 10 11，) 1222n1 138 14(0，1)二、解答题：本大题共6小题，合计90分15（本小题满分14分）解：（1）由于函数f(x)2sin(2x)(02)的图象过点(，2)，因此f()2sin()2，即sin1 4分由于02，因此 6分（2）由（1）得，f(x)2cos2x 8分由于f()，因此cos又由于0，因此sin 10分因此sin22sincos，cos22cos21 12分从而sin(2)sin2coscos2sin 14分16（本小题满分14分）证明：（1）取A1C1的中点P，连接AP，NPA1ABCB1C1MN（第16题图）P由于C1NNB1，C1PPA1，因此NPA1B1，NPA1B1 2分在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1AB，A1B1AB故NPAB，且NPAB 由于M为AB的中点，因此AMAB因此NPAM，且NPAM因此四边形AMNP为平行四边形因此MNAP 4分由于AP平面AA1C1C，MN平面AA1C1C，因此MN平面AA1C1C 6分（2）由于CACB，M为AB的中点，因此CMAB 8分由于CC1CB1，N为B1C1的中点，因此CNB1C1 在三棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1，因此CNBC由于平面CC1B1B平面ABC，平面CC1B1B平面ABCBCCN平面CC1B1B，因此CN平面ABC 10分由于AB平面ABC，因此CNAB 12分由于CM平面CMN，CN平面CMN，CMCNC，因此AB平面CMN 14分17（本小题满分14分）解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q由a1b12，得a423d，b42q3，S486d 3分由条件a4b421，S4b430，得方程组解得因此ann1，bn2n，nN* 7分（2）由题意知，cn(n1)2n记Tnc1c2c3cn则Tnc1c2c3cn 22322423n2n1 (n1)2n，2 Tn 222323(n1)2n1n2n (n1)2n1，因此Tn22(22232n )(n1)2n1， 11分即Tnn2n1，nN* 14分18（本小题满分16分）解：（1）记椭圆C的半焦距为c由题意，得b1，c2a2b2，解得a2，b1 4分（2）由（1）知，椭圆C的方程为y21，圆C1的方程为x2y25显然直线l的斜率存在设直线l的方程为ykxm，即kxym0 6分由于直线l与椭圆C有且只有一种公共点，故方程组 （*） 有且只有一组解由（*）得(14k2)x28kmx4m240从而(8km)24(14k2)( 4m24)0化简，得m214k2 10分由于直线l被圆x2y25所截得的弦长为2，因此圆心到直线l的距离d即 14分由，解得k22，m29 由于m0，因此m3 16分19（本小题满分16分）解：（措施一）(A)xNPyOBC（第19题图1）如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系由于tan2，故直线AN的方程是y2x设点P(x0，y0)由于点P到AM的距离为3，故y03由P到直线AN的距离为，得，解得x01或x04(舍去)，因此点P(1，3) 4分显然直线BC的斜率存在设直线BC的方程为y3k(x1)，k(2，0)令y0得xB1 6分由解得yC 8分设ABC的面积为S，则SxByC1 10分 由S 0得k或k3当2k时，S0，S单调递减；当k0时，S0，S单调递增 13分因此当k时，即AB5时，S取极小值，也为最小值15 答：当AB5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2 16分（措施二）如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系由于tan2，故直线AN的方程是y2x设点P(x0，y0)由于点P到AM的距离为3，故y03由P到直线AN的距离为，得，解得x01或x04(舍去)，因此点P(1，3) 4分显然直线BC的斜率存在设直线BC的方程为y3k(x1)，k(2，0)令y0得xB1 6分由解得yC 8分设ABC的面积为S，则SxByC1 10分 令8k9t，则t(25，9)，从而k 因此S111 13分由于当t(25，9)时，t(34，30，当且仅当t15时，此时AB5，34t的最大值为4从而S有最小值为15答：当AB5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2 16分（措施三）如图2，过点P作PEAM，PFAN，垂足为E、F，连接PA设ABx，ACyAMNPBC（第19题图2）EF由于P到AM，AN的距离分别为3， 即PE3，PF由SABCSABPSAPCx3y (3xy) 4分由于tana2，因此sina 因此SABCxy 8分由可得xy (3xy)即3x5y2xy 10分由于3x5y2，因此 2xy2解得xy15 13分当且仅当3x5y取“”，结合解得x5，y3 因此SABCxy 有最小值15答：当AB5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2 16分20（本小题满分16分）解：（1）当a1，x0，)时，f(x)x3x1，从而f (x)3x21当x1时，f(1)1，f (1)2，因此函数yf(x) (x0，)的图象在x1处的切线方程为y12(x1)，即2xy30 3分（2）f(x)g(x)即为ax3|xa|x4因此x4ax3|xa|，从而x3(xa)|xa|此方程等价于xa或或 6分因此当a1时，方程f(x)g(x)有两个不同的解a，1；当1a1时，方程f(x)g(x)有三个不同的解a，1，1；当a1时，方程f(x)g(x)有两个不同的解a，1 9分（3）当a0，x(a，)时，f(x)ax3xa，f (x)3ax210，因此函数f(x)在(a，)上是增函数，且f(x)f(a)a40因此当xa，a2时，f(x)f(a)，f(a2)，当xa2，)时，f(x) f(a2)，) 11分由于对任意的x1a，a2，都存在x2a2，)，使得f(x1)f(x2)1024，因此， f(a2)，) 13分从而f(a2)因此f 2(a2)1024，即f(a2)32，也即a(a2)3232由于a0，显然a1满足，而a2时，均不满足因此满足条件的正整数a的取值的集合为1 16分高三年级学情调研卷 数学附加题参照答案及评分原则 .09阐明：1本解答给出的解法供参照如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的重要考察内容比照评分原则制定相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步浮现错误时，如果后续部分的解答未变化该题的内容和难度，可视影响的限度决定给分，但不得超过该部分对的解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表达考生对的做到这一步应得的累加分数21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，合计20分CAPOQ（第21题A图）BA选修41：几何证明选讲证明：连接AO设圆O的半径为r由于PA是圆O的切线，PBC是圆O的割线， 因此PA2PCPB 3分 由于PA4，PC2，因此422(22r)，解得r3 5分因此POPCCO235，AOr3由PA是圆O的切线得PAAO，故在RtAPO中，由于AQPO，由面积法可知，AQPOAPAO，即AQ 10分B选修42：矩阵与变换解：（1）由于矩阵A属于特性值l的一种特性向量为， 因此l，即 3分从而解得b0，l2 5分（2）由（1）知，A设曲线C上任一点M(x，y)在矩阵A相应的变换作用后变为曲线C上一点P(x0，y0)，则， 从而 7分由于点P在曲线C上，因此x022y022，即(2x)22(x3y)22，从而3x26xy9y21 因此曲线C的方程为3x26xy9y21 10分C选修44：坐标系与参数方程解：（措施一）直线l的一般方程为xy0 3分由于点P在圆C上，故设P(cos，sin)，从而点P到直线l的距离d 7分因此dmin1即点P到直线l的距离的最小值为1 10分(措施二) 直线l的一般方程为xy0 3分圆C的圆心坐标为(，0)，半径为1从而圆心C到直线l的距离为d 6分因此点P到直线l的距离的最小值为1 10分D选修45：不等式选讲证明：由于a，b是正数，且ab1，因此(axby)(bxay)abx2(a2b2)xyaby2ab(x2y2)(a2b2)xy 3分ab2xy(a2b2)xy 8分(ab)2xyxy即(axby)(bxay)xy成立 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，合计20分（第22题图）xyzABCDEA1B1C1D122解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 由题设，知B(2，3，0)，A1(2，0，5)，C(0，3，0)，C1(0，3，5)由于，因此E(0，3，5) 从而(2，0，5)，(2，3，55) 2分 当BEA1为钝角时，cosBEA10， 因此0，即225(55)0， 解得 即实数的取值范畴是(，) 5分（2）当时，(2，0，2)，(2，3，3)设平面BEA1的一种法向量为n1(x，y，z)，由 得取x1，得y，z1，因此平面BEA1的一种法向量为n1(1，1) 7分易知，平面BA1B1的一种法向量为n2(1，0，0)由于cos， 从而|cos| 10分23解：（1）由于P(X10)，P(X5)，P(X2)，P(X0) ，因此X的概率分布表为：X10520P 4分从而E(X)105203.1元 6分（2）记该顾客一次摸球中奖为事件A，由（1）知，P(A)，从而她两次摸球中至少有一次中奖的概率P11P(A)2答：她两次摸球中至少有一次中奖的概率为 10分