因式分解经典讲义(精)

第二章 分解因式【知识要点】1分解因式（1）概念：把一种_化成几种_的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。（2）注意：分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。分解因式的成果中，每个因式必须是整式。分解因式要分解到不能再分解为止。2分解因式与整式乘法的关系整式乘法是_；分解因式是_；因此，分解因式和整式乘法为_关系。3提公因式法分解因式（1）公因式：几种多项式_的因式。 （2）环节：先拟定_，后_。（3）注意：当多项式的某项和公因式相似时，提公因式后该项变为1。 当多项式的第一项的系数是负数时，一般先提出“”号。4运用公式法分解因式（1）平方差公式：_ （2）完全平方公式：_注：分解因式尚有诸如十字相乘法、分组分解法等基本措施，做为补充解说内容。【考点分析】考点一：运用提公因式法分解因式及其应用【例1】分解因式：（1） （2）（3） （4）解析：（1）题先提一种“”号，再提公因式；（2）题的公因式为； （3）题的公因式为； （4）题的公因式为。答案：（1）； （2）； （3）； （4）。【例2】（1）已知，求的值。（2）已知，求的值。解析：（1）题：，因此考虑整体代入求该代数式的值；（2）题：，整体代入求值时注意符号。答案：（1） （2）【随堂练习】1分解因式：（1） （2）（3） （4）2不解方程组，求的值注：（1）公因式应按“系数大（最大公约数），字母同，指数低”的原则来选用。 （2）当多项式的某项和公因式相似时，提公因式后该项变为1，而不是没有。（3）当多项式的第一项的系数是负数时，一般先提出“”号。（4）运用分解因式整体代入往往应用于代数式的求值问题。考点二：运用平方差公式分解因式及其应用【例3】分解因式：（1） （2）解析：（1）题：原式从整体看符合平方差公式，因此整体套用平方差公式； （2）题：，因此符合平方差公式，此题注意分解完全。答案：（1）； （2）。【例4】计算：（1）； （2）.解析：（1）题：原式中每一种因式符合平方差公式，可以借助分解因式简化计算。 （2）题：先化简，再使用平方差公式。答案：（1）； （2）。【例5】运用因式分解阐明：能被整除。解析：对于符号相反的二项式，我们考虑使用平方差公式。此种题型应先将两项化为底数相似的状况，再运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，最后凑出除数。 因此能被140整除。【随堂练习】 1分解因式：（1） （2）2. 运用分解因式阐明：能被60整除.注：（1）平方差公式的构造特性是：二项式，两项都是平方项，且两项符号相反；（2）公式中的可以是具体数，也可以是代数式；（3）在运用平方差公式的过程中，有时需要变形。考点三：运用完全平方公式分解因式及其应用【例6】（1）分解因式：（2）已知是完全平方式，求的值。 （3）计算：.解析：（1）题：原式要先提取公因式，再运用完全平方差公式进行分解。 （2）题：此种题型考察完全平方公式的特性，中间项是首尾两项底数积的2倍（或其相反数）。 （3）题：。答案：（1）； （2）； （3）【例7】（四川成都）已知，那么的值是_。解析：原式的前三项可以进行因式分解，分解为，再将变形为，整体代入求值。答案：1【随堂练习】 1（1）分解因式： （2）若多项式能运用完全平方差公式进行因式分解，求的值。（3）2（1）已知：，求代数式。（2）当时，求代数式的值。注：（1）完全平方公式的构造特性是：三项式，首尾两项分别为两个数的平方，中间项是两个底数积的2倍（或其相反数）；（2）公式中的可以是具体数，也可以是代数式；考点四：综合运用多种措施分解因式及其应用【例8】分解因式：（1） （2）解析：（1）、（2）题都应先运用完全平方公式，再运用平方差公式进行因式分解。答案：（1）； （2）。【例9】（福建漳州）给出三个多项式：，请选择你最喜欢的两个多项式进行加减运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。解析：本题是一道开放题，只要所得整式可以因式分解。本题可任取两个多项式进行加法运算再因式分解。如：【例10】已知分别是三角形ABC的三边，试证明解析：已知分别是三角形ABC的三边，可以想到运用三角形的三边关系，再由不等式的左边是平方差形式，可想到运用平方差公式分解因式。 由三角形三边关系可知，上式的前三个因式不小于0，而最后一种因式不不小于0，则有：【随堂练习】 1分解因式：（1） （2）2. （，吉林）在三个整式：中，请你任意选出两个进行加（或减）法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。注：分解因式的一般环节可归纳为：“一提、二套、三查”。 一提：先看与否有公因式，如果有公因式，应先提取公因式；二套：再考察能否运用公式法分解因式；运用公式法，一方面观测项数，若为二项式，则考虑用平方差公式；若为三项式，则考虑用完全平方公式。三查：分解因式结束后，要检查其成果与否对的，与否分解彻底。【巩固提高】一、选择题1下列从左到右的变形中，是分解因式的有（ ） = A、1个 B、2个 C、3个 D、4个2下列多项式能分解因式的是（ ）A、 B、 C、 D、3下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）A、 B、 C、 D、4是ABC的三边，且，那么ABC的形状是（ ）A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、等边三角形5如果是一种完全平方式，那么的值是（ ）A、 B、 C、 D、6已知多项式分解因式为，则的值为（）A、 B、C、 D、7已知，则的值是（ ）A、或 B、 C、 D、或8若，则是（ ） A、 B、 C、 D、9已知二次三项式可分解为两个一次因式的积，下面说法中错误的是（ ）A、若，则同取正号；B、若，则同取负号；C、若，则异号，且负的一种数的绝对值较大；D、若，则异号，且负的一种数的绝对值较大。10已知，则多项式的值为（）A、 B、 C、 D、二、填空题11.分解因式： = .12在括号前面填上“”或“”号，使等式成立： 13若是一种完全平方式，则的值是 ；14已知：，那么的值为_.15ABC的三边满足，则ABC的形状是_.16.观测图形，根据图形面积的关系，不需要连其她的线，便可以 得到一种用来分解因式的公式，这个公式是 . 17若，则=_.18分解因式:_. (第16题图)19若， 则_，_.20若， 则_.三、解答题21.分解因式：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）22先分解因式，再求值：已知，求的值23设，（为不小于零的自然数）。探究与否为8的倍数，并用文字语言体现你所得到的结论。24对于实数，定义一种新运算：，分解因式：25阅读下列计算过程：9999+199=992+299+1=（99+1）2=100 2=10 4（1）计算：999999+1999=_=_=_=_；99999999+19999=_=_=_=_。（2）猜想+等于多少？写出计算过程。第三章 分式【知识要点】1分式的概念及特性：、表达两个整式，就可以表达到的形式，如果 中具有字母，式子就叫做分式。2分式故意义、无意义的条件：由于不能做除数，因此在分式中，有：则故意义；则无意义。3分式值为零的条件：分式的值为零要同步满足：分母的值不为零，分式的值为零这两个条件。即则有且。4. 分式的符号法则：5. 分式的运算（1）同分母分式相加减，分母不变，只把分式相加减，即 = （2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减，即 = =注：1. 无论是探求分式故意义、无意义的条件，还是分式值等于零的条件，都将转化成解方程或不等式的问题。2. 分式约分环节：（1）找出分式的分子与分母的公因式，当分子分母是多项式时，要先把分式的分子和分母分解因式。（2）约去分子与分母的公因式。3. 最简公分母的拟定：（1）当几种分式的分母是单项式时，各分式的最简公分母是系数的最小公倍数、相似字母的最高次幂、所有不同字母的积；（2）如果各分母都是多项式，应先把各个分母按某一字母降幂或升幂排列，再分解因式，找出最简公分母。【考点分析】考点一 ：分式故意义、无意义、值等于零的条件（重点）【例1】（，天津）若分式的值为零，则的值等于 。答案： 评析：由于可得，解得或。又由于时，；时，。因此要使分式的值为零，的值只能等于。【随堂练习】1. 若分式的值为0，则x的值等于 。2. 若分式的值为零，则x的值等于 。考点二： 分式的约分【例2】（，吉林）化简的成果是（）A B C. D. 答案： 评析：观测题中所给分式，分子、分母都为多项式，且都能分解，因此应先将分子分母分解因式，再约去公因式。如注：1. 在应用分式的基本性质时要充足理解都和同这两字的含义。2. 约分的成果是最简分式或整式。【随堂练习】1. （，太原）化简的成果是（ ）A. B. C. D. 2化简)的成果是（ ）A. B. C. D. 考点三：分式的加减运算（重点）【例3】（，长沙）分式 的计算成果是（ ）A. B. C. D. 答案：C 评析：先通分化为同分母分式，再进行加法运算。+ = + = = 注：1. 同分母分式加减运算中的“把分子相加减”是指把各个分式的“分子的繁体相加减，故当分子是多项式时，应加括号。2. 通分和约分是两种截然不同的变形，约分是针对一种分式而言，通分是针对多种分式而言；约分是将一种分式简化，通分是将一种分式化繁。【随堂练习】（，杭州）化简的成果是（ ）A. B. C. D. 考点四：分式的乘除运算【例4】（，天水）已知，计算评析：由于，因此 且,即原式= =,当时，原式=注：先化简再求值，运算更简便，分式的乘除运算要进行到分式和分母不再有公因式为止。【随堂练习】化简1. 2. .考点五： 分式的混合运算【例5】（，常德）化简：评析：原式= =注： 1. 对的运用运算法则；2. 灵活运用运算规律；3. 运算成果要最简化【随堂练习】（，泸州）化简：考点六： 条件分式求值的常用技巧（难点）【例6】已知，则分式的值为 答案: 评析:由已知条件不能直接求出的值，因此考虑将已知条件向着所求代数式的方向进行变形转化，通过整体代换解决问题。由,可得,因此,因此原式= = 注：条件分式求值重要措施有：1. 参数法：当已知条件形如所规定值的代数式是一种含 而又不易化简的分式时，常设（就是我们所说的参数），然后将其变形为的形式，再代入所求代数式，约分即可。2. 整体代换法：若由已知条件不能直接求分式中字母的值，可考虑把已知条件和所求代数式进行合适的变形，然后整体代换，可使问题得到解决【随堂练习】1. 已知，求代数式的值2. 若，则的值【巩固提高】一、选择题1（，荆门）计算：的成果是（ ）A. B. C. D. 2（,威海）化简)的成果是（ ）A. B. C. D. 3若，则等于（ ）A. B. C. D. 4（,河北）化简的成果是（ ）A. B. C. D. 5（,陕西）化简的成果是（ ）A. B. C. D. 二、填空题6计算： 7（，漳州）若分式 无意义，则实数 8（，黄冈）当x=时，代数式的值为 9在下列三个不为零的式子：中，任选两个构成一种分式是 把这个分式化简所得成果是 三、解答题10(,烟台)先化简，再求值：，其中11(,贵阳) 先化简：，当时，再从的范畴选用一种合适的整数代入求值。12（表格信息题）按下图的程序计算，把答案写在表格内：平方（）（）答案（1）填写表格输入输出答案（2）请将题中的计算程序用代数式体现出来，并化简。13（条件开放题）请从下列三个代数式中任选两个构造一种分式，并化简该分式： 第四章 相似三角形【知识要点】 1相似三角形相应角相等，相应边成比例的三角形叫做相似三角形。 注：（1）两个全等三角形一定相似 （2）两个直角三角形不一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。 （3）两个等腰三角形不一定相似。两个等边三角形一定相似。2相似比 （1）相似三角形相应边的比叫做相似比。 （2）面积比等于相似比的平方。 注：相似比要注意顺序：如ABCABC的相似比，而 ABC的相似比，这时。 3相似三角形的辨认 （1）如果一种三角形的两角分别与另一种三角形的两角相应相等，那么这两个三 角形相似。 （2）如果一种三角形的两条边与另一种三角形的两条边相应成比例，并且夹角相 等，那么这两个三角形相似。 （3）如果一种三角形的三条边和另一种三角形的三条边相应成比例，那么这两个 三角形相似。【考点分析】考点一：相似三角形的鉴定 【例1】 如图，123，图中相似三角形有（ ）对。 解析：由平行线的性质，可知 ， ，再由相似三角形鉴定定理一，可得有四组三角形相似。 答：4对。【随堂练习】 1 如图，已知：ABC、DEF，其中A50，B60C70， D40，E60，F80，能否分别将两个三角形分割成两个小 三角形，使ABC所提成的每个三角形与DEF所提成的每个三角形， 分 别相应相似？ 如果也许，请设计一种分割方案；若不能，阐明理由。 考点二：相似三角形的辨认、特性在解题中的应用 【例2】（广东省）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延 长线上，连结CF交AD于点E。 （1）求证：CDEFAE； （2）当E是AD的中点，且BC2CD时，求证：FBCF。 解析：由ABDC得：FDCE，EAFD CDEFAE ，又E为AD中点 DEAE，从而CDFA，结合已知条件，易证 BFBC，FBCF （1）四边形ABCD是平行四边形 ABCD FDCE，EAFD CDEFAE （2）E是AD中点，DEAE 由（1）得： CDAF 四边形ABCD是平行四边形 ABCD ABCDAF BF2CD，又BC2CD BCBF FBCF 注：平行往往是证两个三角形相似的重要条件，运用比例线段也可证明两线段相等。 【随堂练习】 1已知：如图(a)，在梯形ABCD中，ADBC，对角线交于O点，过O作 EFBC分别交AB，DC于E，F。求证：(1)OE=OF;(2);(3)若 MN为梯形中位线，求证AFMC。 考点三：未知数的设定应用 【例3】 在梯形ABCD中，A90，ADBC，点P在线段AB上从A向B运动， （1）与否存在一种时刻使ADPBCP； （2）若AD4，BC6，AB10，使ADPBCP，则AP的长度为多少？ 解析：（1）存在 （2）若ADPBCP，则 设 或 或 或 AP长度为4或6【随堂练习】 1如图，有一批形状大小相似的不锈钢片，呈直角三角形，已知C90，AB 5cm，BC3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈 钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。 考点四：直角三角形相似的比例关系 【例4】已知：如图，RtABC中，ACB=90，CDAB于D，DEAC于E， DF BC于F。 求证：(1)；(2); (3) 解析：（1）掌握基本图形“RtABC，C=90，CDAB于D”中的常用结论。 勾股定理： 面积公式：ACBC=ABCD 三个比例中项：, （2）灵活运用以上结论，并掌握恒等变形的多种措施，是解决此类问题的基 本途径，如等式两边都乘或除以某项，都平方、立方，或两等式相乘等。 （3）学习三类问题的常用的思考措施，并熟悉常用的恒等变形措施，以及中 间等量代换。 第（1）题： 证法一 证法二 , 第（2）题： 证法一 ，运用BDFDAE，证得 ， 命题得证。 证法二 由得 证法三 ， (相似三角形相应高的比等于相应边的比) DEBC， 第（4）题： 证法一 , ， 证法二： ADCCDB， 证法三：， 【随堂练习】1 如图，已知直角梯形ABCD中，AB90，设， ，作DEDC，DE交AB于点E，连结EC。 （1）试判断DCE与ADE、DCE与BCE与否分别一定相似？若相似，请加 以证明。 （2）如果不一定相似，请指出a、b满足什么关系时，它们就能相似？ F A D E B C【巩固提高】 1. 如图，已知DEBC，CD和BE相交于O，若，则AD：DB_。 2. 如图，ABC中，CE：EB1：2，DEAC，若ABC的面积为S，则ADE的面积为_。 3. 若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为_。（武汉市中考题） 4. 阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相似，就把它们叫做相似体。 如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切相应线段之比都等于相似比：，设分别表达这两个正方体的表面积，则，又设分别表达这两个正方体的体积，则。 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ） A. 两个球体B. 两个圆锥体 C. 两个圆柱体 D. 两个长方体 （2）请归纳出相似体的3条重要性质： 相似体的一切相应线段（或弧）长的比等于_； 相似体表面积的比等于_； 相似体体积的比等于_。（江苏省泰州市中考题） 5. 如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高（ ） A. 11.25 mB. 6.6 mC. 8 mD. 10.5 m 6. 如图，D为ABC的边AC上的一点，DBCA，已知，BCD与ABC的面积的比是2：3，则CD的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AEBE，则有（ ） A. AEDBEDB. AEDCBD C. AEDABDD. BADBCD（杭州市中考题） 8. 如图，已知ABC中，DEFGBC，且AD：FD：FB1：2：3，则等于（ ） A. 1：9：36B. 1：4：9 C. 1：8：27D. 1：8：36 9. 如图，已知梯形ABCD中，ADBC，ACDB，求证： 10. 如图，ABC中，D是BC边上的中点，且ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F。 （1）求证：ABCFCD；（2）若，求DE的长。（河北省中考题） 在给定的锐角ABC中，求作一种正方形DEFG，使D、E落在BC上，F、G分别落在AC、AB边上，作法如下： 第一步：画一种有3个顶点落在ABC两边上的正方形DEFG。 第二步：连结BF，并延长交AC于点F； 第三步：过F点作FEBC于E； 第四步：过F点作FGBC交AB于点G； 第五步：过G点作GDBC于点D。 四边形DEFG即为所求作的四边形DEFG，为正方形。 问题： （1）证明上述所求作的四边形DEFG为正方形； （2）在ABC中，如果，BAC75，求上述正方形DEFG的边长。（江苏省扬州市中考题） 12. 如图，在ABC中，在BC上有100个不同的点，过这100个点分别作ABC的内接矩形，设每个内接矩形的周长分别为，则_。（安徽省竞赛题） 13. 如图，在ABC中，DEFGBC，GIEFAB，若ADE、EFG、GIC的面积分别为，则ABC的面积为_。 14. 如图，一种边长为3、4、5厘米的直角三角形的一种顶点与正方形的顶点B重叠，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是_厘米。（第11届“但愿杯”邀请赛试题) A B F D E C 15. 如图，将一种矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比为（ ） A. 2：1B. C. D. 1：1 16. 如图，梯形ABCD中，ABCD，且CD3AB，EFCD，EF将梯形ABCD提成面积相等的两部分，则AE：ED等于（ ）A. 2B. C. D.