第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 问题与习题解答

10级应用数学本1、2班普通物理（含实验）B 第五版 动量守恒定律和能量守恒定律第3章 动量守恒定律和能量守恒定律 问题与习题解答问题：3-1、3-3、3-7、3-10、3-14、3-193-1如图所示，设地球在太阳引力的作用下，绕太阳作匀速圆周运动。试问：在下述情况下，（1）地球从点A运动到点B ,（2）地球从点A运动到点C，（3）地球从点A出发绕行一周又返回点A，地球的动量增量和所受的冲量各为多少？答：选太阳处为坐标原点O，且OC方向为X轴正方向，OB方向为Y轴正方向，设地球和太阳的质量分别为，两者间的距离为，地球沿反时针方向作匀速圆周运动的速率为，故根据万有引力定律，有：，即 （1）地球从点A运动到点B的动量增量为：根据质点的动量定理，地球所受的冲量为：（2）地球从点A运动到点C的动量增量和所受的冲量为：（3）同理，地球从点A出发绕行一周回到A点的动量增量和所受的冲量为：3-3在上升气球下方悬挂一梯子，梯子站一人。问人站在梯子上不动或以加速度向上攀升，气球的加速度有无变化？答：（1）人不动，则气球的加速度不变。（2）以气球及梯子（总质量为M）与人（质量为m）为系统，地面为参照系，且设人相对梯子上爬的速度为、气球相对地面的速度为，人相对地面的速度为，则有如果设气球及梯子与人初始为匀速率竖直上升，则可应用动量守恒定律，得所以， 故得气球的加速度为由此可知，当人相对于梯子的加速度（相对梯子匀速爬上）时；而当（加速爬上）时，。【选地面为参照系，竖直向上为坐标的正方向；设气球及梯子与人初始的加速度大小为，气球浮力为；当人以加速度向上爬时，气球及梯子的加速度为，此时梯子与人之间的相互作用力大小为，则根据牛顿定律，有解得 当人在梯子上不动时， ，；当人以相对加速度爬上时，气球及梯子的加速度，有变化。】【或应用质心运动定律求解。将人与气球及梯子看成一个系统，其质心的加速度为因为系统所受合外力恒定，故即得 ，表明气球加速度的改变与人的加速度变化有关，改变的方向相反。】3-7在水平光滑的平面上放一长为，质量为的小车，车的一端站有质量为的人，人和车都是静止不动的。当人以的速率相对地面从车的一端走向另一端，在此过程中人和小车相对地面各移动了多少距离？解：如右图，设人、板相对于地面的速率分别为、，方向如图所示；因为人和板组成的系统沿水平方向的合外力为零，故根据动量守恒定律得即 ， 人相对于板的速率为， 设从板的一端走到另一端需要的时间为，则有， 上式中，为人相对于地面移动的距离， 所以，人相对于地面移动的距离为 ， 板相对于地面移动的距离为 。 【或应用质心运动定律求解：选地面为参照系，开始时人的位置为坐标原点，人走到车的另一端时人的坐标为、车的中心位置坐标为；人车系统所受合力为零，则根据质心运动定律，有，即得 又由初始条件 ，得 所以质心位置不变： 即有 解出 ， 】3-10质点的动量和动能是否与惯性系的选择有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理和动能定理是否与惯性系有关？请举例说明。答：在两惯性系（）中，质点的速度关系为，故由和知（1）质点的动量和动能都与惯性系有关；（2）两惯性系中质点所受的合力，但移动的路程不同，故功与惯性系有关；（3）不同的惯性系中均有，故，即，所以其动量定理与惯性系无关；同理，根据，可得出，故其动能定理也与惯性系无关。（举例说明）3-14如图所示，光滑斜面与水平面间的夹角为。（1）一质量为的物体沿斜面从点下滑至点C，重力所作的功是多少？（2）若物体从点自由下落至点B，重力所作的功又为多少？从所得结果你能得出什么结论（点在同一水平面上）？解：（1）、m在斜面上沿下滑时，重力所作的功为：滑至C点重力所作的功为：（2）、点自由下落至点B，重力所作的功为：由此可见， m沿斜面下滑时重力所作的功与m自由下落相同的高度差时重力所作的功相等，且与斜面的倾角的大小无关。3-19在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中又有哪些量保持不变？答：在碰撞过程中，因系统内物体间的相互作用力远远大于外力，可认为，则根据动量定理，得知在弹性碰撞或非弹性碰撞中系统的总动量保持不变；而在弹性碰撞中，因系统的机械能没有转化为其它形式的能量，故其机械能保持不变。习题3-1、3-2、3-3、3-4、3-5、（选择题）3-8、3-11、3-15、3-19、3-23、3-28、3-373-1对质点组有以下几种说法：（1）质点组总动量的改变与内力无关；（2）质点组总动能的改变与内力无关；（3）质点组机械能的改变与保守内力无关；下列对上述说法判断正确的是（ C ）（A）只有（1）是正确的 （B）（1）、（2）是正确的（C）（1）、（3）是正确的 （D）（2）、（3）是正确的3-2有两个倾角不同、高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上，斜面是光滑的，有两个一样的物块分别从这两个斜面的顶点由静止开始滑下，则（ D ）（A）物块到达斜面底端时的动量相等（B）物块到达斜面底端时的动能相等（C）物块和斜面（以及地球）组成的系统，机械能不守恒（D）物块和斜面组成的系统水平方向上动量守恒3-3对功的概念有以下几种说法：（1）保守力作正功时，系统内相应的势能增加；（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零；（3）作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。下列对上述说法中判断正确的是（ C ）（A）（1）、（2）是正确的 （B）（2）、（3）是正确的（C）只有（2）是正确的 （D）只有（3）是正确的3-4如图所示，质量分别为和的物体A和B，置于光滑桌面上，A和B之间连有一轻弹簧，另有质量为和的物体C和D分别置于物体A与B之上，且物体A和C、B和D之间的摩擦因数均不为零。首先用外力沿水平方向相向推压A和B，使弹簧被压缩，然后撤掉外力，则在A和B弹开的过程中，对A、B、C、D以及弹簧组成的系统，有（ D ）（A）动量守恒，机械能守恒 （B）动量不守恒，机械能守恒（C）动量不守恒，机械能不守恒 （D）动量守恒，机械能不一定守恒3-5如图所示，子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块后而穿出。以地面为参考系，下列说法中正确的说法是（ C ）（A）子弹减少的动能转变为木块的动能（B）子弹-木块系统的机械能守恒（C）子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功（D）子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热3-8（式中的单位为，的单位为）的合外力作用在质量为的物体上，试求：（1）在开始内此力的冲量；（2）若冲量，此力作用的时间；（3）若物体的初速度，方向与相同，在时，此物体的速度。解： ，（1）由定义，得开始内此力的冲量（2）设从开始到秒内此力的冲量为则有 解得 （舍去）（3）由动量定理，得 由上可知， 时，所以，得 3-11如图所示，在水平地面上，有一横截面的直角弯管，管中有流速为的水通过，求弯管所受力的大小和方向。解：如图所示，稳定流动时，在时间间隔内从管里流出的水的质量为：，管的弯曲部分AB的水的动量的增量为：，则根据动量定理，得管在内对水的冲量为：而依据冲量的定义，得管在内对水的平均冲力为：，故水流对管的作用力为：， 其大小为：，方向如图所示。 3-15一质量均匀柔软的绳竖直的悬挂着，绳的下端刚好触到水平面上。如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。是试证明：在绳下落的过程中的任意时刻，作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳的重量的三倍。解：如图所示，设开始时绳的上端在原点O，绳的总长为，总质量为，在时刻时落在桌面上的绳长为，其质量为。受力情况如图所示，其中为重力，为桌面的支撑力，为下落的绳子部分对它的冲力。根据力的平衡条件有： 在时间间隔内落到桌面的线元的速度由（）变为0，因，故可忽略的重力的影响，则根据动量定理得： 整理上式，得： 而 故由上几式得：，所以，任意时刻桌面所受压力的大小为：3-19一物体在介质中按规律作直线运动，为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由运动到时，阻力所做的功。（已知阻力系数为）解：依题意，得阻力为：所作的功为：3-23如图所示，A和B两板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为和。问在A板上需加多大的压力，方可使力停止作用后，恰能使A在跳起来时B稍被提起。（设弹簧的劲度系数为）解：选板A、板B、弹簧和地球为同一系统，则该系统在外力F撤去后不受外力作用，且无非保守内力，故此后的运动过程中系统的机械能守恒。设原点O处的重力势能和弹性势能为零，外力F撤去的一瞬间为初状态，A跳到最高点时为末状态，则根据能量守恒定律，有： 故将上式整理，有： ，即： 又因为 ，所以： ，另从图中可知： 由上面几式，得： ，在末状态时，B板刚被提起，则要求：，而 ，所以，得： 。或 （弹簧振子的简谐振动）撤外力F前，撤外力F后，A受合力大小为F，方向向上，系统只受保守力作用，故机械能守恒，且A作简谐振动；A在最高处受合力大小仍为F，方向向下，此时设弹力为 ，对A：，对B：，所以，得：3-28如图所示，把质量的小球放在位置A时，使弹簧被压缩，然后在弹簧的弹性力作用下，小球从位置A由静止被释放，小球沿轨道ABCD运动。小球与轨道间的摩擦不计。已知为半径的半圆弧，AB相距为。求弹簧劲度系数的最小值。解：设小球要沿ABCD运动，通过最高点C时的最小速率为，此时轨道对小球的支持力为零，故有： ，另设A点的重力势能为零，则根据机械能守恒定律，得：，故解得： 3-37如图所示，质量分别为和的两小球A和B，用质量可略去不计的刚性细杆连接，开始时它们静止在Oxy平面上，在图示的外力和的作用下运动。试求：（1）它们质心的坐标与时间的函数关系；（2）系统总动量与时间的函数关系。解：（1）如图所示，在时系统的质心坐标为对小球及杆整体应用质心运动定律，有变换并积分，有解出： ， 再变换并积分，解出： （2）应用动量定理并考虑到系统的初动量为零，得t时刻系统的总动量为【或直接按定义求解： 】10