（课标通用版）2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 第6讲 平行、垂直的综合问题检测 文

第6讲 平行、垂直的综合问题 基础题组练1如图所示，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析：选D.因为在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，则CDAB.又ADAB，ADCDD，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB平面ADC.又AB平面ABC，所以平面ADC平面ABC.2如图，四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是()AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为解析：选B.若A成立可得BDAD，产生矛盾，故A不正确；由题设知：BAD为等腰Rt，CD平面ABD，得BA平面ACD，则BAAC，于是B正确；由CA与平面ABD所成的角为CAD45知C不正确；VABCDVCABD，D不正确故选B.3如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：ABEF；(2)若平面PAD平面ABCD，求证：AFEF.证明：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD.又因为AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB平面PDC.又因为AB平面ABEF，平面ABEF平面PDCEF，所以ABEF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD.又因为AF平面PAD，所以ABAF.由(1)知ABEF，所以AFEF.4(2019河南开封定位考试)如图，在三棱锥DABC中，AB2AC2，BAC60，AD，CD3，平面ADC平面ABC.(1)证明：平面BDC平面ADC；(2)求三棱锥DABC的体积解：(1)证明：在ABC中，由余弦定理可得，BC，所以BC2AC2AB2，所以BCAC，因为平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，所以BC平面ADC，又BC平面BDC，所以平面BDC平面ADC.(2)由余弦定理可得cosACD，所以sinACD，所以SACDACCDsinACD，则VDABCVBADCBCSACD.5如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC60，E是BC的中点(1)证明：AE平面PAD；(2)取AB2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角的正切值为，求PA的长度解：(1)证明：由四边形ABCD为菱形，ABC60，可得ABC为正三角形因为E为BC的中点，所以AEBC.又因为BCAD，所以AEAD.因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而PA平面PAD，AD平面PAD，PAADA，所以AE平面PAD.(2)连接AH.由(1)知AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角在RtEAH中，AE，tanEHA，所以当AH最短，即AHPD时，EHA最大，此时tanEHA，因此AH.又因为AD2，所以ADH45，所以PAAD2.综合题组练1(2019武汉市部分学校调研)如图(1)，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中点，将ADE沿AE折起，得到如图(2)所示的四棱锥D1ABCE，其中平面D1AE平面ABCE.(1)证明：BE平面D1AE；(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形且ADDEECBC2，所以AEB90，即BEAE，又平面D1AE平面ABCE，平面D1AE平面ABCEAE，所以BE平面D1AE.(2)，理由如下：取D1E的中点L，连接FL，AL(图略)，所以FLEC.又ECAB，所以FLAB，且FLAB.所以M，F，L，A四点共面，若MF平面AD1E，则MFAL.所以四边形AMFL为平行四边形，所以AMFLAB，.2(2019合肥市第一次教学质量检测)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD是正方形，BF平面ABCD，DE平面ABCD，BFDE，M为棱AE的中点(1)求证：平面BDM平面EFC；(2)若AB1，BF2，求三棱锥ACEF的体积解：(1)如图，设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，连接MN，又M为棱AE的中点，所以MNEC.因为MN平面EFC，EC平面EFC，所以MN平面EFC.因为BF平面ABCD，DE平面ABCD，且BFDE，所以BF綊DE，所以四边形BDEF为平行四边形，所以BDEF.因为BD平面EFC，EF平面EFC，所以BD平面EFC.又MNBDN，所以平面BDM平面EFC.(2)连接EN，FN.在正方形ABCD中，ACBD，又BF平面ABCD，所以BFAC.又BFBDB，所以AC平面BDEF，又N是AC的中点，所以VANEFVCNEF，所以VACEF2VANEF2ANSNEF22，所以三棱锥ACEF的体积为.3如图(1)，在RtABC中，ABC90，D为AC的中点，AEBD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，得到三棱锥A1BCD，如图(2)所示(1)若M是FC的中点，求证：直线DM平面A1EF；(2)求证：BDA1F；(3)若平面A1BD平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由解：(1)证明：因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DMEF，又EF平面A1EF，DM平面A1EF，所以DM平面A1EF.(2)证明：因为A1EBD，EFBD且A1EEFE，所以BD平面A1EF.又A1F平面A1EF，所以BDA1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直理由如下：因为平面A1BD平面BCD，平面A1BD平面BCDBD，EFBD，EF平面BCD，所以EF平面A1BD.因为A1B平面A1BD，所以A1BEF，又因为EFDM，所以A1BDM.假设A1BCD，因为CDDMD，所以A1B平面BCD，所以A1BBD，这与A1BD为锐角矛盾，所以直线A1B与直线CD不能垂直4如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为AD的中点，F为B1C1的中点(1)求证：A1F平面ECC1；(2)在线段CD上是否存在一点G，使BG平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由解：(1)如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，取BC的中点M，连接AM，FM.则B1FBM且B1FBM.所以四边形B1FMB是平行四边形，所以FMB1B且FMB1B.所以FMA1A且FMA1A，所以四边形AA1FM是平行四边形，所以FA1AM.因为E为AD的中点，所以AEMC且AEMC.所以四边形AMCE是平行四边形所以ECAM，所以ECA1F.因为A1F平面ECC1，EC平面ECC1，所以A1F平面ECC1.(2)在CD上存在一点G且G是CD的中点，使BG平面ECC1，证明如下取CD的中点G，连接BG，在CDE和BCG中，DEGC，CDBC，EDCBCG，所以CDEBCG，所以ECDGBC.因为CGBGBC90，所以CGBDCE90，所以BGEC.因为CC1平面ABCD，BG平面ABCD，所以CC1BG，又ECCC1C，所以BG平面ECC1.故在CD上存在点G，且G是CD的中点，使得BG平面ECC1.5阳马和鳖臑(bi no)是九章算术商功里对两种锥体的称谓如图所示，取一个长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马(四棱锥EABCD)，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑(三棱锥EFCD)(1)在阳马(四棱锥EABCD)中，连接BD，若ABAD，证明：ECBD；(2)求阳马(四棱锥EABCD)和鳖臑(三棱锥EFCD)的体积比解：(1)如图，连接AC.因为四边形ABCD是矩形，ABAD，所以矩形ABCD是正方形，所以ACBD.因为EA平面ABCD，BD平面ABCD，所以EABD，又EAACA，EA平面EAC，AC平面EAC，所以BD平面EAC.因为EC平面EAC，所以ECBD.(2)设ABa，ADb，EAc.在阳马(四棱锥EABCD)中，因为EA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，所以V四棱锥EABCDabc.在鳖臑(三棱锥EFCD)中，因为EF平面FCD，FDCD，CDa，EFb，DFc，所以SFCDac，所以V三棱锥EFCDb，所以V四棱锥EABCDV三棱锥EFCD21，所以阳马(四棱锥EABCD)和鳖臑(三棱锥EFCD)的体积比为21.8