2020届高考数学 专题十一 数列求通项公式精准培优专练 理

培优点十一 数列求通项公式一、由数列的前几项求数列的通项公式例1：根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式；（1），；（2），；（3），；（4），【答案】（1），；（2），；（3），；（4）【解析】（1）各数都是偶数，且最小为，所以它的一个通项公式，（2）这个数列的前项的绝对值都等于序号与序号加的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式，（3）这个数列，去掉负号，可发现是一个等差数列，其首项为，公差为，所以它的一个通项公式为，（4）将原数列改写为，易知数列，的通项为，故数列的一个通项公式为二、由 与 的关系求数列的通项公式例2：（1）已知为数列的前项和，且，则（2）记为数列的前项和若，则【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得，当时，；当时，所以数列的通项公式为（2），当时，即当时，得数列是首项为，公比为的等比数列，三、由递推关系式求数列的通项公式例3：（1）设数列满足，且，则数列的通项公式为（2）在数列中，则数列的通项公式为（3）已知数列满足，则数列的通项公式为【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）累加法由题意得，以上各式相加，得又，当时也满足上式，（2）累乘法，以上个式子相乘得当时，上式也成立（3）构造法，数列为等比数列，公比，又，对点增分集训一、选择题1数列，的一个通项公式为（）ABCD【答案】C【解析】解法一：特例淘汰法令，淘汰D选项，令，淘汰A，B选项解法二：数列变形为，分子、分母都是等差数列，分子，分母故选C2已知数列的前项和，则（）ABCD【答案】C【解析】当时，；当时，所以，所以，故选C3若数列满足，则数列的前项和为（）ABCD【答案】C【解析】根据题意，由，得，即由，得，则数列前项和，故选C4设为数列的前项和，且，则（）ABCD【答案】C【解析】当时，；当时，得到，所以故选C5已知满足，且，则的最小值为（）ABCD【答案】D【解析】由已知条件可知，当时，又时，满足此式所以令，则在上为减函数，在上为增函数，又，则，故的最小值为，故选D6已知数列满足：，则数列的通项公式为（）ABCD【答案】B【解析】由，可得所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即7数列满足，若，则（）ABCD【答案】B【解析】由，得，所以，所以，所以由此可知，该数列是一个周期为的周期数列，所以8已知数列满足，且，则（）ABCD【答案】B【解析】，又，则，于是得到，上述所有等式全部相加得，因此，故选B二、填空题9设数列满足，则通项公式【答案】【解析】由，得，所以，又适合上式，故10已知函数，且，则【答案】【解析】当为奇数时，为定值，所以故填11已知数列的通项公式为，该数列的项排成一个数阵（如图），则该数阵中的第行第个数为【答案】【解析】由题意可得该数阵中的第行，第个数为数列的第项，而，故该数阵第行、第个数为三、解答题12根据数列的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式（1），；（2），；（3），；（4），【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）【解析】（1）将各项改写如下，易知（2）将各项绝对值改写如下，综合考查分子、分母，以及各项符号可知（3）或（4）观察数列可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，所以13已知数列的通项公式是（1）若，则数列中有多少项是负数？为何值时，有最小值？并求出最小值；（2）对于，都有，求实数的取值范围【答案】（1）数列中有两项是负数，时，有最小值，最小值为；（2）【解析】（1）由，解得因为，所以，所以数列中有两项是负数，即为，因为，由二次函数性质，得当或时，有最小值，其最小值为（2）由于对于，都有知该数列是一个递增数列，又因为通项公式，可以看作是关于的二次函数，考虑到，所以，即得所以实数的取值范围为14为数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，可知可得，即由于，可得又，解得（舍去）或所以是首项为，公差为的等差数列，通项公式为（2）由可知，设数列的前项和为，则15设为数列的前项和，且（1）证明：数列为等比数列；（2）记为数列的前项和，若，求的最小值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：由，得，所以由，可得，又，所以，得所以数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）知，所以所以，所以，因为对，所以的最小值为14