方程组与高阶方程的情形学习教案

会计学1方程方程(fngchng)组与高阶方程组与高阶方程(fngchng)的情形的情形第一页，共15页。以两个方程以两个方程(fngchng)(fngchng)构成的方程构成的方程(fngchng)(fngchng)组组为例：为例：0000)(),()(),(zxzzyxgzyxyzyxfy设设 为节点上的近似解，为节点上的近似解，则有改进的则有改进的Euler格式为格式为 iiizyiihxx,);,3,2,1(0 ),(1iiiiizyxhfyy ),(1iiiiizyxhgzz 预报预报(ybo(ybo)：),(),(21111 iiiiiiiizyxfzyxfhyy ),(),(21111 iiiiiiiizyxgzyxghzz校正校正(jioz(jiozhng)hng)：第1页/共15页第二页，共15页。例例 用改进用改进(gijn)(gijn)的的EulerEuler法求解初值问法求解初值问题题 2)0(1)0(zzyxzyzxyy2.00 x取步长取步长h=0.1h=0.1，保留，保留(boli)(boli)六位小数。六位小数。解解:改进改进(gijn)(gijn)的的EulerEuler法公法公式为式为),(1iiiiizyxhfyy ),(1iiiiizyxhgzz 预报：预报：),(),(21111 iiiiiiiizyxfzyxfhyy ),(),(21111 iiiiiiiizyxgzyxghzz校正：校正：第2页/共15页第三页，共15页。iiiiiiiiiizyxzzzyxyy1.0)(1.011 111111105.0)()(05.0iiiiiiiiiiiiiiiizyxzyxzzzyxzyxyy由初值由初值 ,计算得计算得 2)0(,1)0(00 zzyy 050000.2800000.011zy 046951.2)1.0(801500.0)1.0(11zzyy 090992.2604820.022zy 088216.2)2.0(604659.0)2.0(22zzyy第3页/共15页第四页，共15页。相应的四阶龙格相应的四阶龙格库塔格式库塔格式(g shi)(g shi)（经典格式（经典格式(g(g shi)shi)）为）为 )22(6)22(64321143211LLLLhzzKKKKhyyiiii第4页/共15页第五页，共15页。),(),()2,2,()2,2,()2,2,()2,2,(),(),(331433142221322213112121121211hLzhKyxgLhLzhKyxfKLhzKhyxgLLhzKhyxfKLhzKhyxgLLhzKhyxfKzyxgLzyxfKiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii式中式中 第5页/共15页第六页，共15页。ixiyiz )22(6)22(6432114321LLLLhzzKKKKhyyiiii44332211,LKLKLKLK由上式顺序计算由上式顺序计算然后然后(rnhu)(rnhu)代入代入11,iizy1 ix即可求得即可求得 节点上节点上的的第6页/共15页第七页，共15页。),()21,2()21,2(),()22(61342312143211kyhxhfkkyhxhfkkyhxhfkyxhfkkkkkyynniinniinniinniiiiiiinin 多个多个(du)(du)方程的方程的Runge-KuttaRunge-Kutta形式可写为：形式可写为：第7页/共15页第八页，共15页。化化高阶方程组为一阶方程组高阶方程组为一阶方程组 10)1(1000)1()()(,.,)(,)(),.,(nnnnaxyaxyaxyyyyxfy化作一阶微分方程化作一阶微分方程(wi fn fn chn)组求解。组求解。引入新变量引入新变量)1(21,.,nnyyyyyy ),.,(.1121nnnnyyxfyyyyy初值条件初值条件(tiojin)为：为：10102001)(.)()(nnaxyaxyaxy即可将即可将n n阶方程阶方程(fngchng)(fngchng)化为如下的一阶方程化为如下的一阶方程(fngchng)(fngchng)组组 第8页/共15页第九页，共15页。例如例如(lr),(lr),二阶微分方程的初值问题二阶微分方程的初值问题 0000)(,)(),(yxyyxyyyxfy在引入新的变量在引入新的变量 后后,即化为一阶方程组初值问题即化为一阶方程组初值问题:yz 0000)(,)(,),(yxzyxyzyzyxfz上式为一个上式为一个(y)(y)一阶方程组的初值问题。一阶方程组的初值问题。应用应用(yngyng)(yngyng)四阶龙格四阶龙格-库塔公式得库塔公式得 第9页/共15页第十页，共15页。)22(6)22(64321143211LLLLhzzKKKKhyyiiii ),()2,2,(2)2,2,(2),(3314342221323112121211hLzhKyxfLhLzKLhzKhyxfLLhzKLhzKhyxfLLhzKzyxfLzKiiiiiiiiiiiiiiii第10页/共15页第十一页，共15页。消去消去 ，上式简化为：，上式简化为：)4,3,2,1(iKi )22(6)(64321132121LLLLhzzLLLhhzyyiiiii ),2,()2,42,()2,2,(),(3221421221312121hLzLhhzyxfLLhzLhzhyxfLLhzzhyxfLzyxfLiiiiiiiiiiiiiii上述方法同样可以用来处理上述方法同样可以用来处理(chl)(chl)三阶或更高阶三阶或更高阶的微分方程（或方程组）的初值问题的微分方程（或方程组）的初值问题 第11页/共15页第十二页，共15页。例例 求解下列求解下列(xili)(xili)二阶微分方程的初值问题二阶微分方程的初值问题 1)0(,0)0(yyxyy10 x取步长取步长h=0.1 解解:先作变换：令先作变换：令 ，代入上式，得一阶方程组，代入上式，得一阶方程组 yz 1)0(,0)0(,zyzyxzz用四阶龙格用四阶龙格-库塔方法求解计算：库塔方法求解计算：取步长取步长 ,1.0 h00 x00 y10 z第12页/共15页第十三页，共15页。2105.1)105.11.01()1.00()()(1105.1105.11.01105.1)1.121.01()21.00()2()2(055.11.121.0121.1)121.01()21.00()2()2(05.1121.012101),(130043042003203100210200000101hLzhxLhLzKLhzhxLLhzKLhzhxLLhzKxzzyxfLzK0 i时时 第13页/共15页第十四页，共15页。1104.1)2105.1105.121.121(61.01)22(61053.0)1105.1055.1205.121(61.00)22(6432101432101LLLLhzzKKKKhyy1 i然后计算然后计算 时的时的y2和和z2；依此类推，直到；依此类推，直到i=9时的时的y10和和z10，即可得到，即可得到其数值解。其数值解。44332211,LKLKLKLK第14页/共15页第十五页，共15页。