机器人技术-第六章PPT优秀课件

1机器人技术陶建国哈尔滨工业大学机电学院2005.2.2&第六章第六章 机器人静力学和动力学机器人静力学和动力学 静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、动态仿真的基础。动态仿真的基础。机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节力（矩）与接触力的关系。力（矩）与接触力的关系。机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器人动力学研究者追求的目标。人动力学研究者追求的目标。36.1 6.1 机器人静力学机器人静力学 一、杆件之间的静力传递一、杆件之间的静力传递 在操作机中，任取两连杆在操作机中，任取两连杆 ，。设在杆。设在杆 上的上的 点点作用有力矩作用有力矩 和力和力 ；在杆；在杆 上作用有自重力上作用有自重力 过质过质心心 ）；）；和和 分别为由分别为由 到到 和和 的向径。的向径。iL1iL1iL1iO1iM 1iFiLiGiCir Cir iO1iOiC1iF1iM 4 按静力学方法，把这些力、力矩简化到按静力学方法，把这些力、力矩简化到 的固联坐标系的固联坐标系 ，可得：，可得：iLiiiiox y z111iiiiiiiCiiFFGMMrFrG 1011011011110iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiCiiFRFR GMRMrRFrR G 或或式中式中 (为杆为杆 的质量的质量)。0iiGm g imiL 求出求出 和和 在在 轴上的分量，就得到了关节力和扭矩，轴上的分量，就得到了关节力和扭矩，它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平衡所应提供的关节力或关节力矩，记作衡所应提供的关节力或关节力矩，记作 ，其大小为，其大小为iFiM iziiikF ikM 51111110iiiiiiiiiiiiiiiFRFMrRRM 当忽略杆件自重时当忽略杆件自重时 ，上式可简记为，上式可简记为：iG 若以若以 表示不计重力的关节力或力矩值，对于转动关节表示不计重力的关节力或力矩值，对于转动关节则有则有：0i,0()jni CiijijikrGjC 式中式中 是自是自 到杆到杆 的质心的质心 的向径。的向径。,ji CriOjL6 例例1 求两杆操作机的静关节力矩求两杆操作机的静关节力矩(坐标系与结构尺寸如图坐标系与结构尺寸如图)。解：解：设已知设已知789二、操作机的静力平衡二、操作机的静力平衡 设有操作机如图所示，每个关节都作用有关节力矩设有操作机如图所示，每个关节都作用有关节力矩 (广广义驱动力，指向义驱动力，指向 的正向的正向)，在末端执行器的参考点，在末端执行器的参考点 处处将产生力将产生力 和力矩和力矩 。由于。由于 、是操作机作用于外是操作机作用于外界对象的力和力矩，为了和输入关节力矩界对象的力和力矩，为了和输入关节力矩 一起进行运算，一起进行运算，故应取负值。故应取负值。izePieFeM eFeM i101,Tin,TexeyezexeyezQFFFMMM1,Tinqqqq,Teeexyzpxyz 利用虚功原理建立静力平衡方程，令利用虚功原理建立静力平衡方程，令于是，操作机的总虚功是：于是，操作机的总虚功是：根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功(虚功之和虚功之和)为为0，即即TTWqQp 0TTqQp 11式中式中 J 是速度分析时引出的雅可比矩阵，其元素为相应是速度分析时引出的雅可比矩阵，其元素为相应 的偏速度。的偏速度。由机器人运动微分关系可知，由机器人运动微分关系可知，则有，则有 pJq 0TTJ Qq因为因为 是独立坐标，则是独立坐标，则 ，所以有，所以有0qiqTJ Q 上式是针对操作机的关节力和执行器参考点上式是针对操作机的关节力和执行器参考点 间所产生的间所产生的力和力矩之间的关系式。力和力矩之间的关系式。eP 该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可比矩阵比矩阵 J 进行变换。这种变换关系，也可推广到任两杆间固进行变换。这种变换关系，也可推广到任两杆间固联直角坐标系中的广义力变幻，这时应将关节空间与直角坐联直角坐标系中的广义力变幻，这时应将关节空间与直角坐标空间的雅可比矩阵，换作直角坐标空间的雅可比矩阵。标空间的雅可比矩阵，换作直角坐标空间的雅可比矩阵。12 例例2 如图，操作机的手爪正在持板手扭某一哩栓，手爪上如图，操作机的手爪正在持板手扭某一哩栓，手爪上 方方联接一测力传感器可测六维力向量联接一测力传感器可测六维力向量(力和力矩力和力矩)。试确定测力传。试确定测力传感器和扭动板手时力和力矩的关系。感器和扭动板手时力和力矩的关系。13解：解：设在测力传感器上置坐标系设在测力传感器上置坐标系 Sf()，在螺栓上置坐，在螺栓上置坐标系标系 S()。在图示瞬间，两坐标系彼此平行。因为刚。在图示瞬间，两坐标系彼此平行。因为刚体的无限小位移体的无限小位移(平移和转动平移和转动)可表示为六维向量，故对二者的可表示为六维向量，故对二者的微位移可分别表示为：微位移可分别表示为：由于两坐标系的坐标轴平行，于是可以得到：由于两坐标系的坐标轴平行，于是可以得到：fOuvwOxyz,xyzqxyz,uvwpuvw 100001000010000100000010000001zyzxyxuxvyzwuxrrvyrrwzrrpJq 14 前式也可以从前图直观求得。前式也可以从前图直观求得。设设 为相应于为相应于 的广义力向量，的广义力向量，为相应于为相应于 的广义的广义力向量，则可得力向量，则可得：QqPp 100000010000001000010000100001xuyvzwTxzyuzxyvyxwzFFFFFFQJPMrrMrrMMrrMM 上式也可直接用虚功原理求得。上式也可直接用虚功原理求得。15一、研究目的：一、研究目的：1、合理地确定各驱动单元（以下称关节）的电机功率。、合理地确定各驱动单元（以下称关节）的电机功率。2、解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制）、解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制）在机器人处于不同位置图形（位形）时，各关节的有在机器人处于不同位置图形（位形）时，各关节的有效惯量及耦合量都会发生变化（效惯量及耦合量都会发生变化（时变的时变的），因此，加于各），因此，加于各关节的驱动力也应是时变的，可由动力学方程给以确定。关节的驱动力也应是时变的，可由动力学方程给以确定。6-2 机器人动力学概述机器人动力学概述二、机器人动力学研究的问题可分为两类：二、机器人动力学研究的问题可分为两类：1、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程求解机器、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程求解机器 人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知 ,求求 和和 ，称为动力学正问题。）。称为动力学正问题。）。2、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力（矩）（即已知（矩）（即已知 和和 ，求，求 ,称为动力学逆问题称为动力学逆问题）。）。,16三、动力学研究方法：三、动力学研究方法：1拉格朗日方程法：通过动、势能变化与广义力的关系，建拉格朗日方程法：通过动、势能变化与广义力的关系，建立机器人的动力学方程。代表人物立机器人的动力学方程。代表人物 R.P.Paul、J.J.Uicker、J.M.Hollerbach等。计算量等。计算量O(n4)，经优化，经优化O(n3)，递推，递推O(n)。2牛顿牛顿欧拉方程法：用构件质心的平动和相对质心的转动欧拉方程法：用构件质心的平动和相对质心的转动表示机器人构件的运动，利用动静法建立基于牛顿表示机器人构件的运动，利用动静法建立基于牛顿欧拉方程欧拉方程的动力学方程。代表人物的动力学方程。代表人物Orin,Luh(陆养生陆养生)等。计算量等。计算量O(n)。3高斯原理法高斯原理法:利用力学中的高斯最小约束原理利用力学中的高斯最小约束原理,把机器人动把机器人动力学问题化成极值问题求解力学问题化成极值问题求解.代表人物波波夫代表人物波波夫(苏苏).用以解决第用以解决第二类问题。计算量二类问题。计算量O(n3)。4凯恩方程法：引入偏速度概念，应用矢量分析建立动力学凯恩方程法：引入偏速度概念，应用矢量分析建立动力学方程。该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时，只进方程。该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时，只进行一次由基础到末杆的推导，即可求出关节驱动力，其间不必行一次由基础到末杆的推导，即可求出关节驱动力，其间不必求关节的约束力，具有完整的结构，也适用于闭链机器人。计求关节的约束力，具有完整的结构，也适用于闭链机器人。计算量算量O(n!)。17v 系统的动能和势能可在任何坐标系（极坐标系、圆柱坐系统的动能和势能可在任何坐标系（极坐标系、圆柱坐 标系等）中表示标系等）中表示，不是一定在直角坐标系中，不是一定在直角坐标系中。动力学方程为：动力学方程为：广义力广义力 广义速度广义速度 广义坐标广义坐标 （力或力矩）（力或力矩）（或或 ）（或或 ）iiidLLdtqqvd6.3 二杆机器人的拉格朗日方程二杆机器人的拉格朗日方程应用质点系的应用质点系的拉格朗日拉格朗日方程来处理杆系的问题。方程来处理杆系的问题。定义：定义：L=K-P LLagrange函数；函数；K系统动能之和；系统动能之和；P系统势能之和。系统势能之和。6.3.1 刚体系统拉格朗日方程刚体系统拉格朗日方程18 设二杆机器人臂杆长度分别为设二杆机器人臂杆长度分别为 ，质量，质量分别集中在端点为分别集中在端点为 ，坐标系选取如图。，坐标系选取如图。2,1dd2,1mm以下分别计算方程中各项：以下分别计算方程中各项：一、动能和势能一、动能和势能 221mvK mghp 对质点对质点 ：1m222111111111111()222km vmdm d势能：势能：动能：动能：1111cos()pm gd v（负号与坐标系建立有关）（负号与坐标系建立有关）对质点对质点 ：2m 先写出直角坐标表达式：先写出直角坐标表达式：)cos()cos()sin()sin(212112212112ddyddx6.3.2 刚体系统拉格朗日方程刚体系统拉格朗日方程1119对对 求导得速度分量：求导得速度分量：x)2121)(2cos(212)2221221(222121222222)21)(21sin(21)1sin(12)21)(21cos(21)1cos(12ddddyxvddyddx动能：动能：)2121)(2cos(212)2221221(22222121212212ddmdmdmK)21cos(22)1cos(122gdmgdmP势能：势能：二、二、Lagrange函数函数 1212()()LKPkkpp2222221211221122212211211()(2)cos()()22mm dm dm d d 12112212()()cos()mmg dsm gd),(2121L20三、动力学方程三、动力学方程 先求第一个关节上的力矩先求第一个关节上的力矩 2221212212222212222121211)cos()cos(2)(ddmddmdmdmdmmL222122221221222221211)cos()cos(2)(ddmdmddmdmdmmLdtd222212212212)sin()sin(2ddmddm)sin()sin()(212211211gdmgdmmL22212122212212221222()2cos()cos()mmdm dm d dm dm d dLLdtd)(11221221221222121122122sin()sin()()sin()sin()m d dm d dmmg dm g d （1）11111()()dLLdLLdtqqdt121同理，对同理，对 和和 微分，可求得第二关节力矩微分，可求得第二关节力矩 2212212222212222)cos(ddmdmdmL21221212212222212222)sin()cos(ddmddmdmdmLdtd)sin()(sin(2122212122122gdmddmL222)(LLdtd)sin()sin()cos(2122212212222212212222gdmddmdmddmdm 以上是两杆机器人动力学模型。以上是两杆机器人动力学模型。（2）22系数系数 D 的物理意义：的物理意义：关节关节 的有效惯量（等效转动惯量的概念）。由关节的有效惯量（等效转动惯量的概念）。由关节 处的加速度处的加速度 引起的关节引起的关节 处的力矩为处的力矩为 （）iiDii iiiiD JMii 关节关节 和和 之间的耦合惯量之间的耦合惯量。由关节由关节 或或 的加速度的加速度 （或或 ）所引起的关节）所引起的关节 和和 处的力矩为处的力矩为 或或 ijDijji j jiiijD jij i 向心力项系数。表示关节向心力项系数。表示关节 处的速度作用在关节处的速度作用在关节 处的处的 向心力（向心力（）ijjDji2jijjD向心力项系数。表示关节向心力项系数。表示关节 处的速度作用在本身关节处处的速度作用在本身关节处 的向心力（的向心力（）iiiDi2iiiiD四、动力学方程中各系数的物理意义四、动力学方程中各系数的物理意义 将前面结果重新写成简单的形式将前面结果重新写成简单的形式：22111 112 2111 1122 2112 2 1DDDDDD 22221 1222211 12222212 1 2221 2 12DDDDDDD 23哥氏力项系数。哥氏力项系数。两项组合为关节两项组合为关节 与与 处的速度作用在关节处的速度作用在关节 处的哥氏力，哥氏力是由于处的哥氏力，哥氏力是由于 牵连运动是转动造成的。牵连运动是转动造成的。ijkDjkijkkjijkDDjki关节关节 处的重力项处的重力项。重力项只与重力项只与 大小、长度大小、长度 以以 及机构的结构图形（及机构的结构图形（）有关。）有关。iDimd21,比较二杆机器人例中的系数与一般表达式中的系数得到比较二杆机器人例中的系数与一般表达式中的系数得到有效惯量系数：有效惯量系数：2211121222122()2cos()Dmm dm dm d d22222Dm d耦合惯量系数：耦合惯量系数：21221222122cos()DDm dm d d24向心力项系数：向心力项系数：0)sin()sin(22222122112212122111DddmDddmDDD哥氏力项系数：哥氏力项系数：0)sin(22212122212121112DDddmDD重力项：重力项：112112212()sin()sin()Dmmg dm g d22212sin()Dm g d256.4 机器人的拉格朗日方程机器人的拉格朗日方程的一般表达形式的一般表达形式 从上节容易看出从上节容易看出Lagrange方程是一个二阶耦合、非线性和微方程是一个二阶耦合、非线性和微分方程，为简化计算，未虑及传动链中的摩擦。以下方程的推分方程，为简化计算，未虑及传动链中的摩擦。以下方程的推导，也是不考虑传动链带来的摩擦影响，只考虑杆件本身，然导，也是不考虑传动链带来的摩擦影响，只考虑杆件本身，然后再加入关节处驱动装置（如电机、码盘等）的影响。后再加入关节处驱动装置（如电机、码盘等）的影响。推导分五步进行：推导分五步进行：一、计算任意任意杆件上任意点的速度；一、计算任意任意杆件上任意点的速度；二、计算动能二、计算动能 ；三、计算势能三、计算势能 ；四、形成四、形成Lagrange函数；函数；五、建立动力学方程五、建立动力学方程 。212iiikm viiipm gh()iiidLLFdtqq26其速度为：其速度为：一、点的速度一、点的速度r 由于整个系统的动能都是在基础系中考虑的，故需求系统由于整个系统的动能都是在基础系中考虑的，故需求系统各质点在基础坐标系中的速度各质点在基础坐标系中的速度 。r对于杆对于杆 坐标系中的一点坐标系中的一点 ，它在基础坐标系中的位置为，它在基础坐标系中的位置为 iiriirTr式中式中 变换矩阵变换矩阵iT1()iiiiijjjd TrTdrrqrdtdtq速度平方为：速度平方为：22()()()rrrTrace rr式中式中 矩阵的迹，即矩阵主对角元素之和。矩阵的迹，即矩阵主对角元素之和。()T r a c e272()()rTrace rr11()iiiiTiijkjkjkTTTraceqrqrqq 11()iiTTiiiijkjkjkTTTracerrq qqq 二、动能二、动能 位于杆位于杆 上上 处质量为处质量为 的质点的动能是：的质点的动能是：iirdm111()2iiTTiiiiijkjkjkTTdkTracerrq qdmqq 111()2iiTTiiiijkjkjkTTTracer dmrq qqq 28则杆则杆 的动能（在基础坐标系中）为：的动能（在基础坐标系中）为：i11.1()2iiTTiiiiiijkjkjklink ilink iTTkdkTracerr dmq qqq 令式中令式中 称为连杆称为连杆 的伪惯量矩阵。的伪惯量矩阵。i.Tiiilink iJrr dm 1112iiTiiiijkjkjkTTkTraceJq qqq 则得到杆则得到杆 的动能为：的动能为：i对于杆对于杆 上任意一点的上任意一点的 （在杆（在杆 坐标系中）可以表示为：坐标系中）可以表示为：iiri(,1)iiiirxyz292.2.2.iiiiiilink ilink ilink ilink iiiiiiiTlink ilink ilink ilink iiiiiiiiiilink ilink ilink ilink ilink iiilink ilink ix dmxydmxzdmxdmxydmy dmyzdmydmJrr dmxzdmyzdmz dmzdmxdmydm .ilink ilink izdmdm根据理论力学中惯性矩、惯性积和静矩的定义，引入下列记号：根据理论力学中惯性矩、惯性积和静矩的定义，引入下列记号：222222(),(),()xxyyzzIyzdmIxzdmIxydm对坐标轴的惯性矩：对坐标轴的惯性矩：则有：则有：30对坐标轴的惯性积：对坐标轴的惯性积：,xyyzxzIxydmIyzdmIxzdm对坐标轴的静矩：对坐标轴的静矩：,xyzIxdmIydmIzdm质量之和：质量之和：mdm于是：于是：2222222111()()()222x dmyzdmxzdmxydm 2xxyyzzIIIxzyr31同理：同理：22,22xxyyzzxxyyzzIIIIIIy dmz dm222ixxiyyizzixyixzixixxiyyizzixyiyziyiixxiyyizzixziyzizixiyiziIIIIIIIIIIIIJIIIIIIIIIm于是于是 能够表达为：能够表达为：iJ机器人臂杆总的动能是：机器人臂杆总的动能是：111112nniiTiiiijkjkiijkTTKkTraceJq qqq 32如果考虑到关节处驱动装置的动能：如果考虑到关节处驱动装置的动能：2.12imotor iaikJq 调换求迹与求和运算顺序，并加入关节处驱动装置的动能，调换求迹与求和运算顺序，并加入关节处驱动装置的动能，得到机器人总的动能为：得到机器人总的动能为：2111111()22iniinTiiijkaijkijkiTTKTraceJq qJqqq 2.12imotor iaikmq（对于移动关节：（对于移动关节：）式中式中 为关节为关节 处驱动装置的转动惯量。处驱动装置的转动惯量。aiJi三、势能三、势能 设杆设杆 的质心在再其自身坐标系的位置向量为的质心在再其自身坐标系的位置向量为 ，则它在，则它在基础坐标系中的位置向量基础坐标系中的位置向量 为为 iiCrCriCiCrTr(,1)TiiiiCCCCrxyz33设重力加速度设重力加速度 在基础坐标系中的齐次分量为：在基础坐标系中的齐次分量为：TTiiiCiiCpm grm gTr 于是机器人的总势能为：于是机器人的总势能为：g(,1)Txyzgggg则杆在基础坐标系中的势能为：则杆在基础坐标系中的势能为：v（一般认为基础坐标系的（一般认为基础坐标系的 z 轴取向上方）轴取向上方）11nnTiiiiCiiPpm gTr 34先求拉格朗日方程中的各项：先求拉格朗日方程中的各项：111()2niTiiikppkikTTLTraceJqqqq四、拉格朗日函数四、拉格朗日函数1111()2niiTiiijkjkijkTTLKPTraceJq qqq 21112nnTiaiiiiCiiJqm gTr五、动力学方程五、动力学方程111()2pniTiiijapjpijTTTraceJqIqqq（1)35由于由于 是对称矩阵，则有：是对称矩阵，则有：合并合并(a)(a)式中前两项，得到：式中前两项，得到：iJ()()TTTiiiiiipkpkTTTTTraceJTraceJqqqq()TTiiikpTTTraceJqq()TiiikpTTTraceJqq11()pniTiiikappkpikTTLTraceJqIqqqq（1)当当 时，时，中不包含中不包含 以后关节变量，即：以后关节变量，即：ipiTp0,ipTq()ip于是可得：于是可得：1()pniTiiikappkpipkTTLTraceJqIqqqq36211()niiTiiikmkmpipkmTTTraceJq qqqq（2)1()()pniTiiikappkpipkTTdLTraceJqIqdtqqq211()niiTiiikmpmkipkmTTTraceJq qqqq 1()()pniTiiikappkpipkTTdLTraceJqIqdtqqq交换其中的部分哑元，得到：交换其中的部分哑元，得到：2112()niiTiiikmkmpipkmTTTraceJq qqqq 372111()2niiTiiijkpjpkipjkTTLTraceJq qqqqq 2111()2niiTiiijkkpjipjkTTTraceJq qqqq nTiiiCpipTm grq211()niiTiiijkjpkipjkTTTraceJq qqqq nTiiiCpipTm grq（3)38将以上各项带入拉格朗日公式，并用将以上各项带入拉格朗日公式，并用 和和 分别代替上式中分别代替上式中的哑元的哑元 和和 ，得到：，得到：ijip1()ijnTjjijkaikijikTTTraceJqIqqq211()jjnTjjjkmkmijikmTTTraceJq qqqq njTijCijiTm grq上式为拉格朗日方程的最后形式。这些方程与求和的次序无上式为拉格朗日方程的最后形式。这些方程与求和的次序无关，因此可将上式写为简化形式：关，因此可将上式写为简化形式：（5)111innniijjaiijkjkijjkD qIqDq qD（4)39式中：式中：max(,)()nTppijpjjpi jTTDTraceJqq()npTpipCipiTDm grq2max(,)()nTppijkpjkipi j kTTDTraceJqqqv 以上的动力学方程以上的动力学方程 (5)(5)中系数中系数 D的意义与上节所列相同，的意义与上节所列相同，即分别为有效惯量项系数即分别为有效惯量项系数(),(),耦合惯量项系数（耦合惯量项系数（），），向心力项系数（向心力项系数（），哥氏力项系数（），哥氏力项系数（），重力项），重力项等。等。ijijkjkjij40v 动力学方程中的惯量项和重力项在机器人控制重特别重要，动力学方程中的惯量项和重力项在机器人控制重特别重要，将直接系统的稳定性和定位精度。只有当机器人高速运动时，将直接系统的稳定性和定位精度。只有当机器人高速运动时，向心力项和哥氏力项才是重要的。传动装置的惯量值往往较向心力项和哥氏力项才是重要的。传动装置的惯量值往往较大，对系统动态特性的影响也不可忽略。大，对系统动态特性的影响也不可忽略。在机器人动力学问题的讨论中，拉格朗日动力学方程常写在机器人动力学问题的讨论中，拉格朗日动力学方程常写作更简化的一般形式：作更简化的一般形式：()()()(),()()tD q tq th q tq tc q t式中：式中：12()(),(),(),)Tntttt12()(),(),(),)Tnq tqtqtqt12()(),(),(),)Tnq tqtqtqt12()(),(),(),)Tnq tqtqtqt(),(),(),()D q th q tq tc q t的意义见（的意义见（5)式。式。（6)41乘法次数：乘法次数：432128/3512/3844/376/3nnnn6.5 机器人的牛顿机器人的牛顿欧拉方程欧拉方程 机器人的拉格朗日动力学模型为非线性二阶常微分方程，机器人的拉格朗日动力学模型为非线性二阶常微分方程，利用这些方程，由已知的每一轨迹设定点的关节位置、速度利用这些方程，由已知的每一轨迹设定点的关节位置、速度和加速度，可以计算各关节的标称力矩，但拉格朗日方程利和加速度，可以计算各关节的标称力矩，但拉格朗日方程利用用44齐次变换矩阵，使得计算效率太低。齐次变换矩阵，使得计算效率太低。43298/3781/6637/3107/6nnnn加法次数：加法次数：为了实现实时控制，曾用过略去哥氏力和向心力的简化模为了实现实时控制，曾用过略去哥氏力和向心力的简化模型，但当操作机快速运动时，哥氏力和向心力在计算关节力型，但当操作机快速运动时，哥氏力和向心力在计算关节力矩中是相当重要的。因而这种简化只能用于机器人的低速运矩中是相当重要的。因而这种简化只能用于机器人的低速运动，在典型的制造业环境中，这是不合乎要求的。此外，这动，在典型的制造业环境中，这是不合乎要求的。此外，这种简化所引起的关节力矩误差，不能用反馈控制校正。种简化所引起的关节力矩误差，不能用反馈控制校正。牛顿牛顿欧位法采用迭代形式方程，计算速度快，可用于实欧位法采用迭代形式方程，计算速度快，可用于实时控制，因而成为一种常用的建模方法。时控制，因而成为一种常用的建模方法。42 寻求转动坐标系和固定惯性坐标系之间必要的数学关系寻求转动坐标系和固定惯性坐标系之间必要的数学关系,再再推广到运动坐标系推广到运动坐标系(转动和平移转动和平移)和惯性坐标系之间的关系。和惯性坐标系之间的关系。如图如图,惯性坐标系惯性坐标系O-XYZ和转动坐标系和转动坐标系O-X*Y*Z*的原点重合的原点重合于于O点。而点。而OX*、OY*、OZ*轴轴相对相对OX、OY、OZ轴旋转。设轴旋转。设 和和 分别为这两个坐标系沿主轴的单位矢分别为这两个坐标系沿主轴的单位矢量。转动坐标系中点量。转动坐标系中点 P 可用它在任一坐标系中的分量来表示：可用它在任一坐标系中的分量来表示：6.5.1 转动坐标系转动坐标系(,)ij k(,)ijkrxiyjzk或或rx iy jz k在惯性坐标系中的运动：在惯性坐标系中的运动：drdxdydzijkxiyjzkdtdtdtdtYXZrY*X*Z*OP在转动坐标系中的运动：在转动坐标系中的运动：d rdxdydzijkx iy jz kdtdtdtdt 43在惯性坐标系中的运动：在惯性坐标系中的运动：drdxdydzdidjdkijkxyzdtdtdtdtdtdtdtd rdidjdkxyzdtdtdtdt（7)需要解决转动坐标系坐标轴在惯性坐标系中的导数问题。我需要解决转动坐标系坐标轴在惯性坐标系中的导数问题。我们假定，转动坐标系绕着过原点们假定，转动坐标系绕着过原点O的某轴的某轴OQ以角速度以角速度 旋转。旋转。方向沿方向沿OQ轴，指向转动坐标系右旋方向。则可以证明转动坐轴，指向转动坐标系右旋方向。则可以证明转动坐标系中的任意固定矢量标系中的任意固定矢量 在惯性坐标系中的导数为：在惯性坐标系中的导数为：sXZYsY*X*Z*OQdssdt44于是由于是由（6)式可得：式可得：()()()drd rxiyjzkdtdtdrd rrdtdt这是建立转动坐标系两种时间导数之间关系的基本方程。这是建立转动坐标系两种时间导数之间关系的基本方程。22()d rdd rdrdrdtdtdtdtdt22()drd rd rdrrdtdtdtdt22222()d rdrd rdrrdtdtdtdt方程方程（9)又被称为哥氏定理。又被称为哥氏定理。（8)（9)456.5.2 运动坐标系运动坐标系如图如图,运动坐标系运动坐标系O-X*Y*Z*相对于惯性坐标系相对于惯性坐标系O-XYZ转动和平转动和平移。质量为移。质量为M 的质点的质点P 分别以分别以 和和 确定相对于惯性坐标系确定相对于惯性坐标系和运动坐标系的原点的位置。原点和运动坐标系的原点的位置。原点O*相对于原点相对于原点O的位置以矢的位置以矢量量 表示。则有：表示。则有：rrhrrh()()kdrdrdhv tvvdtdtdt()d rdhv trdtdt2222()()()kdv td rd ha taadtdtdt22222()drd rdd hrrdtdtdtdtrYXZOPY*X*Z*O*r*h（10)（11)466.5.3 杆件运动学杆件运动学 根据前述运动坐标系的概念，推导一组数学方程，描述机根据前述运动坐标系的概念，推导一组数学方程，描述机器人的运动杆件相对于基础坐标系的运动学关系。器人的运动杆件相对于基础坐标系的运动学关系。令令 和和 分别为坐标系分别为坐标系 相对于基础坐标相对于基础坐标系系 的线速度和角速度。令的线速度和角速度。令 和和 分别为杆件分别为杆件i坐标系坐标系 相对于基础坐标系相对于基础坐标系 和杆件和杆件 i-1坐标系坐标系 的角速度。则杆件的角速度。则杆件 i 坐标系坐标系 相对于基相对于基础坐标系的线速度础坐标系的线速度 和角速度和角速度 分别是：分别是：1iv1i111(,)iiixyz000(,)xyzii(,)iiixyz000(,)xyz111(,)iiixyzivi 坐标系坐标系 是基础坐标系，而坐标系是基础坐标系，而坐标系 和和 分别固联于杆件分别固联于杆件 i-1和杆件和杆件 i 上，原点分别为上，原点分别为 Oi-1和和 Oi。原点。原点 Oi 相对于原点相对于原点 O 和原点和原点 Oi-1 的位置分别用的位置分别用位置矢量位置矢量 和和 表示。原点表示。原点 Oi-1相对于基础坐标系原点相对于基础坐标系原点 O 的位置用位置矢量的位置用位置矢量 表示。表示。000(,)xyz(,)iiixyzipip1ip111(,)iiixyz4711iiiiidpvpvdt1iii式中式中 d*(.)dt 表示在表示在运动坐标系运动坐标系 的时间导数。的时间导数。111(,)iiixyz（12)（13)4821111122()iiiiiiiiiid pd pvppvdtdt1iii1iiiiidddtdt11iiiiiddt（14)（15)为坐标系为坐标系 相对于相对于 的角加速度的角加速度:(,)iiixyz111(,)iiixyzi 根据机器人杆件坐标系建立的步骤和参数的定义，杆件根据机器人杆件坐标系建立的步骤和参数的定义，杆件 i 在在杆件杆件 i 1 坐标系中的运动是沿坐标系中的运动是沿 方向的平移或绕方向的平移或绕 转动。转动。因此，因此，1iz1iz式中式中 是杆件是杆件 i 相对于杆件相对于杆件 i-1 坐标系的角速度值。坐标系的角速度值。q i1iizq0若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移（16)49（18)类似地类似地（17)idd t1iizq0若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移由式由式（13)和和式式（16)有：有：11iiizqi1i若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移1111()iiiiiizqzqi1i若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移（19)22idpdt1iizq()iiiiidppdt若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移由式由式（15)、式式（16)和和式式（17)有：有：idpdt1iizqiip若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移（20)（21)由式由式（15)、式式（16)和和式式（17)有：有：50()()()abcb a ca b c（22)iv 1iiipv11iiiiizqpv若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移由式由式（12)、式式（13)和和式式（20)有：有：利用矢量叉乘积的恒等式利用矢量叉乘积的恒等式()()()abcb a cc a b 并根据式并根据式（14)、式式（15)和和式式（19)有：有：iv 1()iiiiiippv1112()()iiiiiiiiiz qpz qpv（23)若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移51 刚体的运动可分解为随质心的移动和绕质心的转动。借助于刚体的运动可分解为随质心的移动和绕质心的转动。借助于杆件运动学知识，我们把达朗贝尔原理用于每个杆件，描述机杆件运动学知识，我们把达朗贝尔原理用于每个杆件，描述机器人各杆件的运动。达朗贝尔原理可应用于任意瞬时，它实质器人各杆件的运动。达朗贝尔原理可应用于任意瞬时，它实质上是牛顿第二运动定律的一种变型，可表示为：上是牛顿第二运动定律的一种变型，可表示为：6.5.4 牛顿牛顿欧拉法基本运动方程欧拉法基本运动方程 iiiFm v牛顿定理牛顿定理:欧拉方程欧拉方程 :()iiiiiiNII式中：式中：杆杆i 质量；质量；杆杆i上所有外力合力；上所有外力合力；杆杆i上所有外力对质心的合力矩；上所有外力对质心的合力矩；杆杆i 绕其质心惯性矩阵。绕其质心惯性矩阵。imiFiNiI()iiidm vFdt()iiidINdt521,1iiii iiFffm g1,1,11,1.()()iiii ii cii iiciiiNNNrfrf 根据力（矩）平衡原理，在质心处有：根据力（矩）平衡原理，在质心处有：则有则有1,10iii iiiiffm gmv1,1,11,1.()()()0iii ii cii iiciiiiiiiiNNrfrfII （24)方程方程（24)即为牛顿即为牛顿欧拉法的基本方程。欧拉法的基本方程。,1i if,1i iN1,iif1,iiNim giz1iz,ii Crioiyix1iy1ix1io53 上面推导的牛顿上面推导的牛顿欧拉法（也简称欧拉法（也简称N-E法）方程式含关节法）方程式含关节联接的约束力（矩），没有显示地表示输入联接的约束力（矩），没有显示地表示输入输出关系，不适输出关系，不适合进行动力学分析和控制器设计。如果变换成由一组完备且独合进行动力学分析和控制器设计。如果变换成由一组完备且独立的位置变量（质心位置变量通常不是相互独立的）和输入力立的位置变量（质心位置变量通常不是相互独立的）和输入力来描述，这些变量都显式地出现在动力学方程中，即得到来描述，这些变量都显式地出现在动力学方程中，即得到显式显式的输入的输入输出形式表示的动力学方程，称为封闭形式的动力输出形式表示的动力学方程，称为封闭形式的动力学方程学方程（拉格朗日方程即是封闭的）。（拉格朗日方程即是封闭的）。6.5.5 递推形式的牛顿递推形式的牛顿欧拉方程欧拉方程 关节变量关节变量 是一组完备且独立的变量，关节力（矩）是一组完备且独立的变量，关节力（矩）是是一组从约束力（矩）中分解出来的独立的输入，所以用一组从约束力（矩）中分解出来的独立的输入，所以用 和和来描述方程，可以得到封闭形式的动力学方程。来描述方程，可以得到封闭形式的动力学方程。qq54 根据根据N-E法的基本方程，利用质心运动变量与关节变量及关法的基本方程，利用质心运动变量与关节变量及关节运动变量之间的关系以及约束力与关节力矩之间的关系，消节运动变量之间的关系以及约束力与关节力矩之间的关系，消去中间变量，可以得到封闭形式的动力学方程。但显然不如用去中间变量，可以得到封闭形式的动力学方程。但显然不如用拉格朗日法简单，特别是当机器人自由度较多时，更是如此。拉格朗日法简单，特别是当机器人自由度较多时，更是如此。因此，对于因此，对于N-E法，常用的不是它的封闭形式方程，而是它法，常用的不是它的封闭形式方程，而是它的递推形式方程。方程（的递推形式方程。方程（2424）可直接写成如下递推形式：）可直接写成如下递推形式：1,1iii iiiiffmvm g1,1,11,1.()0iii ii cii iiciiiiiiiiNNrfrfII（25)而关节力（矩）可写成如下形式：而关节力（矩）可写成如下形式：11,11,TiiiiiiTiiiiizNbqzfbq对于旋转关节对于移动关节（26)式中，式中，为沿关节轴线为沿关节轴线 的单位矢量，的单位矢量，为关节的粘滞阻尼系数。为关节的粘滞阻尼系数。1izib1iz55 递推形式的递推形式的N-E法方程法方程与封闭形式方程比较，计算量从与封闭形式方程比较，计算量从减少到减少到 ：乘法次数：乘法次数：117117n 24 24，加法次数：加法次数：103103n-2121，从而大大加快了计算速度。自由度越多，递推形式的优势越明从而大大加快了计算速度。自由度越多，递推形式的优势越明显。对于典型显。对于典型 n=6 的情形，递推形式的计算效率几乎提高的情形，递推形式的计算效率几乎提高1010倍。倍。因此，常用于实时计算。因此，常用于实时计算。递推形式递推形式方程方程的特点是其计算从机器人操作机的一个杆到另的特点是其计算从机器人操作机的一个杆到另一杆逐个顺序进行的，它充分利用了操作机的串联链特性，一杆逐个顺序进行的，它充分利用了操作机的串联链特性，常常用于求解动力学逆问题（即已知用于求解动力学逆问题（即已知 ，求，求 ）。）。求解的大致过程为：根据运动和力的不同传递方向，进行运求解的大致过程为：根据运动和力的不同传递方向，进行运动量的向前迭代和力学量的向后迭代。动量的向前迭代和力学量的向后迭代。具体步骤如下：具体步骤如下：4()O n()O n,56n1n210n,1n nf,1n nN动力学动力学计算计算运动学计算运动学计算22221,111111333122,cccccncnnnvvw wq q qvvw wvvw wq q qqqq 1 1确定计算确定计算N-E方程所需的所有运动量，包括每个杆件的方程所需的所有运动量，包括每个杆件的 （）由杆）由杆1 1 杆杆n：1,1,11,1.1,2,10,1()nnn nn cin nncininnnnnnnnnNNrfrfIINNN1,11,2,10,1nnn nnn cnnnnnffm g m vfffi2.将上述运动量代入将上述运动量代入N-E方程，确定关节力（矩）。计算顺方程，确定关节力（矩）。计算顺 序与运动量计算相反，由序与运动量计算相反，由杆杆n 杆杆1：iciiciwvwv,57 前述递推运动方程的明显缺点是所有惯性矩阵和物理几何前述递推运动方程的明显缺点是所有惯性矩阵和物理几何参数（如参数（如 ）等，都是以基础坐系为参照的，因此，）等，都是以基础坐系为参照的，因此，当机器人运动时，它们也随着变化。当机器人运动时，它们也随着变化。Luh等人改进了上述等人改进了上述N-E方程，将所有杆件的速度、加速度、惯性矩阵、质心位置、方程，将所有杆件的速度、加速度、惯性矩阵、质心位置、力和力矩等，都表示在各杆的自身坐标系中，从而使计算更力和力矩等，都表示在各杆的自身坐标系中，从而使计算更加简单。加简单。这种改进的最重要的成果是，计算关节驱动力矩的时间不这种改进的最重要的成果是，计算关节驱动力矩的时间不仅与机器人关节数成线性比例，而且与机器人构型无关。这仅与机器人关节数成线性比例，而且与机器人构型无关。这就有可能在关节变量空间实现机器人的实时控制算法。就有可能在关节变量空间实现机器人的实时控制算法。6.5.6 在杆件自身坐标系中的递推方程在杆件自身坐标系中的递推方程iiiciizrr,1,设设 是是3 33 3旋转矩阵，它把矢量由坐标系旋转矩阵，它把矢量由坐标系 变换变换到坐标系到坐标系 中。中。1iiR),(iiizyx111(,)iiixyz58 这样，可不计算相对基础坐标系的这样，可不计算相对基础坐标系的 和和 等，而是直接计算在杆件自身坐标系中的等，而是直接计算在杆件自身坐标系中的和和 等。等。于是有关运动量的递推公式变为：于是有关运动量的递推公式变为：1,iiiiciiiv v vf 1,iiN1,iiiiiiiiiiciiivvvf1,iiiN,()iiiiiiiciiii ciiii civvrr11111()iiiiiiiiiiiiiRqzR若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移111111()iiiiiiiiiiiiiiiiiiRqzqzR若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移1111111.111,1111111111,111()2()iiiiiiiiiii iiii iiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiRvrrvRvqzrqRz 11111,1()iiiiii ir若杆件若杆件 i 转动转动若杆件若杆件 i 平移平移5911,1,1iiiiiiii iicifRfmv1111,1,11,11,()()()iiiiiiiiiiii iii iiii ciiciNRNrfrrmv11,1111,11()()iTiiiiiiiiTiiiiiiNRzfRz关节间约束力公式变为：关节间约束力公式变为：()iiiiiiiiII 因此，概括地说，高效的牛顿一欧拉运动方程是一组正向和因此，概括地说，高效的牛顿一欧拉运动方程是一组正向和反向的递推方程，每一杆件的动力学和运动学参数都是以其自反向的递推方程，每一杆件的动力学和运动学参数都是以其自身坐标系为参照的。身坐标系为参照的。606.6 机器人的凯恩方程法简介机器人的凯恩方程法简介 凯恩凯恩(Kane)方法是用来建立机器人机构动力学模型的一种普方法是用来建立机器人机构动力学模型的一种普遍方法，其基本思想是以广义速率代替广义坐标作为系统的独遍方法，其基本思想是以广义速率代替广义坐标作为系统的独立变量，它用达朗倍尔原理及虚位移原理建立动力学方程。凯立变量，它用达朗倍尔原理及虚位移原理建立动力学方程。凯恩方法既适合于完整系统，也适合于非完整系统。恩方法既适合于完整系统，也适合于非完整系统。6.6.1 广义速率和偏速度及偏角速度广义速率和偏速度及偏角速度一、广义速率一、广义速率 一个具有一个具有n 个自由度的完整系统，相对于惯性坐标系个自由度的完整系统，相对于惯性坐标系 的运动一般通过的运动一般通过 n 个独立的广义坐标个独立的广义坐标 来描述来描述。n 个广义速度个广义速度 也是独立的，故可用也是独立的，故可用n 个广义速度的线性组合，即个广义速度的线性组合，即n 个广义速率个广义速率(或称准速度或称准速度)来描述系统的运动，即来描述系统的运动，即000(,)x y z(1,2,)iq in(1,2,)iq in(1,2,)iu in611(1,2,)niriiriua qarn式中：式中：为为 及及 t 的函数；而由的函数；而由 组成的系数矩阵应为非组成的系数矩阵应为非奇异阵。则有奇异阵。则有,riraaiqria二、偏速度二、偏速度 系统中任意质点系统中任意质点 p 的径矢为的径矢为 为广义坐标为广义坐标 及及t 的函数，的函数，,r r iq12(,)pnrr q qqt则该点的速度为则该点的速度为1111()nnnnppiirriiiiiriirrrrrvrqubqtqqt1(1,2,)niiriirqubin（27)（28)62令令1()nprrtrvvruv其中其中1()nririirv rq1()ntiiirrv rbqt 称广义速率称广义速率 前的系数矢量前的系数矢量 为为 p点相对于惯性坐标系点相对于惯性坐标系的第的第 r 偏速度。一般说来它是广义坐标偏速度。一般说来它是广义坐标 和时间和时间t 的函数。对的函数。对于定常系统于定常系统 ，偏速度只是广义坐标的矢量函数。，偏速度只是广义坐标的矢量函数。()rv rruiq0tv（29)（31)（30)三、偏角速度三、偏角速度1 1223 31()nrrtreeeeu63 从式从式(30)可见，广义速率的取法不同，系统内同一质点及可见，广义速率的取法不同，系统内同一质点及同一刚体的偏速度也可不同。故可通过一定的技巧来选取广同一刚体的偏速度也可不同。故可通过一定的技巧来选取广义速率，使得到的偏速度和偏角速度具有最简单的形式。最义速率，使得到的偏速度和偏角速度具有最简单的形式。最理想的是使较多的偏速度和偏角速度等于零，这样有利于简理想的是使较多的偏速度和偏角速度等于零，这样有利于简化动力学方程。化动力学方程。一般选择与系统的运动密切相关的量，如选取系统中刚体一般选择与系统的运动密切相关的量，如选取系统中刚体的角速度分量或质点的速度分量为广义速率，以使刚体的角的角速度分量或质点的速度分量为广义速率，以使刚体的角速度和质点的速度具有最简单的表达形式。作为特例，如果速度和质点的速度具有最简单的表达形式。作为特例，如果取广义速度为广义速率，即取广义速度为广义速率，即iiuq1212nndrrrrrvqqqdtqqqt 可见对于广义速度可见对于广义速度 的偏速度为的偏速度为 。iq irq646.6.2 凯恩动力学方程凯恩动力学方程四、刚体各点偏速度四、刚体各点偏速度()()rrpCrpvrvrr由达朗倍尔原理和虚位移原理推得的系统的动力学普遍方程：由达朗倍尔原理和虚位移原理推得的系统的动力学普遍方程：()0pppppFm rr 系统中系统中 p 点的速度，对于具有点的速度，对于具有n 个自由度的系统，可写成个自由度的系统，可写成广义速率的线性组合，广义速率的线性组合，即即1()rtnppr prt prdrvvruvdt（32)（33)6511()()rtrtnnpr prt pr prt prrdrvrudtvdtvrdvdt式中式中 。如果。如果 可积分，则可积分，则 为另一种定义为另一种定义的广义坐标。的广义坐标。rrdudtrur（34)从式从式(34)可得到可得到 的变分的变分 ，即，即prpr1()rnpr prrrvr将上式代入式将上式代入式(33)得得1()()0rnpppr prprFm rvr 66改变求和的形式得改变求和的形式得1()()0rrnpr pppr prrppFvrm rvr（34)令令()rrpr ppFFvr()rrp pr ppFm rvr 称为系统对应于称为系统对应于 的广义主动力的广义主动力ru称为