方程的根与函数的零点课件

2022-7-1612022-7-162？的交点坐标有什么关系轴与的根与函数：方程问题xxyx1011xy013211212341 xy2022-7-163交点坐标。请写出轴是否有交点。若有，函数图像与像的草图。并判断画出相应的二次函数图方程的根，并：求出表中的一元二次问题x22022-7-164 函数的图函数的图像像与与x x轴交点轴交点方程方程函数函数函函数数的的图图像像方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点xy01321121234.xy0132112543.yx012112x22x+1=0 x22x+3=0y=x22x3 y=x22x+1x22x3=0y=x22x+3系？思考：二者之间有何联2022-7-165会有什么结论？与相应的二次函数程的一元二次方：上述结论推广至一般问题cbxaxyacbxax22)0(032022-7-166 判别式判别式=b2-4ac 0 0 0+bx+c=0(a0）的根与二次）的根与二次函数函数 y=ax y=ax2 2+bx+c(a0+bx+c(a0）的图像有如下关系：）的图像有如下关系：(x1,0)，(x2,0)(x1,0)没有交点没有交点2022-7-167又会有什么结论？与相应的函数般方程：将上述结论推广至一问题)(0)(4xfyxf方程的实数根就是对应函数图像与方程的实数根就是对应函数图像与x轴交点的横坐标。轴交点的横坐标。结论结论2022-7-1681、函数零点的定义对于函数 ，我们把使 的实实数数x 叫做函数 的零点零点。)(xfy 0)(xf)(xfy 即：方程 的实数根就是函数 的零点，是函数 与轴交点的横坐标0)(xf)(xfy)(xfy*零点不是点（坐标）而是一个实数零点不是点（坐标）而是一个实数2022-7-169方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点2、结论2022-7-1610一：判断下列函数有几个零点？有，一：判断下列函数有几个零点？有，则求出该函数零点？则求出该函数零点？43)(2xxxf44)(2xxxf l（1）l（2）2022-7-1611有几个零点？像，说一说的图函数图像寻找零点呢？观察的零点，如何根据：方程的实数根即函数问题)()(5xfyRxxfyxy02022-7-1612abab问题6：如果将定义域改为区间a,b观察图像说一说零点个数的情况，有什么发现？abxy00)()(bfaf结论结论2022-7-1613是否一定有零点？端点函数值上函数：如果闭区间问题0)()()(,7bfafxfybaababxy0 函数函数 的图像在闭区间的图像在闭区间a,b上连续不断。上连续不断。)(xfy 结论结论2022-7-1614问题8：满足上述两个条件，能否确定零点个数呢？ab0yxabxy0 有零点，至少有一个，但不确定个数，即存在零点。有零点，至少有一个，但不确定个数，即存在零点。结论结论2022-7-1615结论结论不断的一条曲线，上的图像是连续在区间如果函数,)(baxfy 内有零点，间在区那么，函数并且有),()(,0)()(baxfybfaf的根。也就是方程这个使得即存在0)(,0)(),(xfccfbac2022-7-1616的零点个数。：求函数问题62ln)(9xxxfx0246105y241086121487643219表表3-1 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9f(x)-4-1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 解：用计算器或计算机作出解：用计算器或计算机作出 的对应值表（表的对应值表（表3-1）和图像。）和图像。)(xfx、2022-7-1617问题10：为什么上个问题中只有一个零点呢？说一说理由？。）是增函数，请证明它，在（函数0)(xf2022-7-1618练习练习1 1、函数、函数f(x)=xf(x)=x3 3+x-1+x-1在下列在下列哪个区间有零点（哪个区间有零点（）A.(-2A.(-2，-1)B.(0-1)B.(0，1)1)C.(1C.(1，2)D.(22)D.(2，3)3)2 2、函数、函数 的零点的零点所在的大致区间是（所在的大致区间是（）A A、(1,2)B(1,2)B、(2,3)(2,3)C C、(3,4)D(3,4)D、(e,+)(e,+)2()lnf xxx2022-7-1619问题11：请同学们思考、交流一下，这节课学习到了什么？1、知识小结：一个定义，四个结论。2、思想方法：数形结合、转化思想。2022-7-1620作业：作业：1、必做题：P88 练习第二题2、选做题：(1)在区间（0,3）范围内恰有一个零点，则a的取值范围是多少？32)(2xaxxf的实数解的个数的方程，讨论关于已知axxxRa86)2(22022-7-1621一、一、教材、学情分析教材、学情分析二、二、教学目标、重难点分析教学目标、重难点分析三、三、教法、学法分析教法、学法分析四、四、教学流程教学流程2022-7-1622一、教材结构与内容简析一、教材结构与内容简析 函数与方程思想是中学数学的重要思想。函数与方程思想是中学数学的重要思想。本节是在学习了前两章函数性质的基础上，本节是在学习了前两章函数性质的基础上，利用利用函数的图象和性质函数的图象和性质来判断方程的根的存在来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供基础和后续学习的算法提供基础 因此本节内容具有承前启后的作用，非常因此本节内容具有承前启后的作用，非常重要重要 2022-7-1623二、学情分析二、学情分析 在此之前，学生对一元二次函数和一元二次方程在此之前，学生对一元二次函数和一元二次方程已经比较熟悉，会判断具体的一元二次方程有没有根，已经比较熟悉，会判断具体的一元二次方程有没有根，有几个根，会用求根公式求根。有几个根，会用求根公式求根。但是对一元二次函数与方程的联系认识不全面，但是对一元二次函数与方程的联系认识不全面，也没有上升到一般的函数与方程的层次。也没有上升到一般的函数与方程的层次。因此，在讲解本节内容时，让学生对函数与方程因此，在讲解本节内容时，让学生对函数与方程的关系及零点存在定理有较为全面的认识。的关系及零点存在定理有较为全面的认识。2022-7-1624二、教学目标二、教学目标（一）认知目标：（一）认知目标：1 1理解函数的零点与方程的根的联系理解函数的零点与方程的根的联系.2 2理解并会用零点存在定理判断函数的零点理解并会用零点存在定理判断函数的零点（二）能力目标：（二）能力目标：体会数形结合思想体会数形结合思想,转化思想以及函数与方程思想的意义转化思想以及函数与方程思想的意义和价值，培养学生自主发现、探究实践的能力和价值，培养学生自主发现、探究实践的能力（三）情感目标：（三）情感目标：培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯。惯。2022-7-1625三、教学重点、难点三、教学重点、难点教学重点：教学重点：理解函数的零点与方程的根理解函数的零点与方程的根 之间的联系，掌握零点存在之间的联系，掌握零点存在 的判定条件的判定条件 教学难点：教学难点：探究发现函数零点的存在性探究发现函数零点的存在性.2022-7-1626四、教法分析四、教法分析教法上，以问题为纽带，用问题引出内容，激发学生积教法上，以问题为纽带，用问题引出内容，激发学生积极主动地进行探索；同时向学生渗透问题意识，培养学极主动地进行探索；同时向学生渗透问题意识，培养学生发现问题、解决问题的能力。生发现问题、解决问题的能力。采用采用“提出问题提出问题引导探究引导探究得出结论得出结论实际实际应用应用”的教与学模式的教与学模式.2022-7-1627五、教学过程五、教学过程提出问题，激发学生思考提出问题，激发学生思考函数零点概念函数零点概念零点存在定理零点存在定理巩固及应用巩固及应用总结提升总结提升课后作业课后作业巩固及应用巩固及应用2022-7-1628一些复杂的方程无法一些复杂的方程无法求解，造成学生的认求解，造成学生的认知冲突知冲突,引发学生的好引发学生的好奇心和求知欲。此时奇心和求知欲。此时开门见山的提出用开门见山的提出用函函数的思想数的思想解决解决方程根方程根的问题的问题,点明本节课的点明本节课的课题。课题。（一）设问激疑，引出课题（一）设问激疑，引出课题设计意图设计意图五、教学过程五、教学过程求方程求方程3x2 6 x+1=0的实数根的实数根 变式：求下列方程的实数根变式：求下列方程的实数根3x3 6x+1=0 问题问题1：lnx+2x-6=02022-7-1629（二）启发引导，逐步深入（二）启发引导，逐步深入五、教学过程五、教学过程设计意图设计意图以问题激发学生以问题激发学生思考，将大问题思考，将大问题分解为几个小问分解为几个小问题，自然地得到题，自然地得到函数和方程的初函数和方程的初步认识。步认识。让学生体会到如让学生体会到如何分析问题。何分析问题。一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)与二次函数与二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)有什么联系？有什么联系？问题问题2：子问题：子问题：形式上有什么相同点？形式上有什么相同点？有什么不同点？有什么不同点？怎样可以由函数得到方程？怎样可以由函数得到方程？2022-7-1630（三）数形结合，巩固认识（三）数形结合，巩固认识 五、教学过程五、教学过程设计意图设计意图 以实例说明以实例说明方程、函数、方程、函数、函数图象三函数图象三者的关系者的关系,渗渗透透数形结合数形结合的思想。的思想。为为引入函数零引入函数零点的概念打点的概念打下基础。下基础。方程的根方程的根函数值函数值y=0y=0时的时的x x的值的值函数图象与函数图象与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标x1=1,x2=3xy01321121234(1,0)(3,0)板书板书2022-7-1631五、教学过程五、教学过程设计意图设计意图从具体从具体到一般，从到一般，从简单到复杂简单到复杂,培养学生的培养学生的思维能力和思维能力和归纳能力归纳能力（三）数形结合，巩固认识（三）数形结合，巩固认识 2022-7-1632五、教学过程五、教学过程设计意图设计意图自然地得出自然地得出函数零点的函数零点的概念。概念。（四）顺水推舟，得出概念（四）顺水推舟，得出概念 方程方程f(x)=0的实数根的实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标函数函数y=f(x)的的零点零点函数值等于函数值等于零零时的时的x的值的值2022-7-1633五、教学过程五、教学过程设计意图设计意图自然地得出自然地得出等价关系。等价关系。（四）顺水推舟，得出概念（四）顺水推舟，得出概念 方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点2022-7-16341.会判断函数是否会判断函数是否有零点；有零点；2.会用解方程的方法会用解方程的方法求简单的函数零点求简单的函数零点;3.体会方程与函数的体会方程与函数的联系；联系；4.明确函数的零点是明确函数的零点是一个实数。一个实数。（五）概念辨析，巩固新知（五）概念辨析，巩固新知设计意图设计意图五、教学过程五、教学过程1)1(xy1(2)yxxy2)3(2(4)log2yx判断下列函数是否有零点，若有，判断下列函数是否有零点，若有，请求出请求出2022-7-1635设计意图设计意图五、教学过程五、教学过程（六）提出问题，探索零点存在定理（六）提出问题，探索零点存在定理 问问3：函数函数y=lnx+2x-6的零点存在吗？的零点存在吗？若存在，大致在什么区间？若存在，大致在什么区间？用什么判断？用什么判断？用图象！用图象！激发思考激发思考2022-7-1636设计意图设计意图五、教学过程五、教学过程将函数的零点转将函数的零点转化到图象上来，化到图象上来，使抽象的问题直使抽象的问题直观化，更利于学观化，更利于学生理解定理的本生理解定理的本质质.探索定理的过程探索定理的过程中，通过正看、中，通过正看、逆看、换条件看，逆看、换条件看，培养学生缜密思培养学生缜密思考的良好习惯。考的良好习惯。ab x ab x()yf x,a b如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，1.1.一定有？有几个？一定没有？一定有？有几个？一定没有？2.如果图象不是连续不断的如果图象不是连续不断的,能否一定有能否一定有?让学生让学生动手画动手画3.怎样用数学符号表示零点存在的条件？怎样用数学符号表示零点存在的条件？（六）探索零点存在定理（六）探索零点存在定理 2022-7-1637设计意图设计意图五、教学过程五、教学过程定理的发现过程定理的发现过程体现了体现了数形结合数形结合的思想和的思想和转化转化的的思想。思想。()yf x,a b如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，函数零点函数零点 函数图象函数图象 端点处函数值符号端点处函数值符号（六）零点存在定理（六）零点存在定理 2022-7-1638设计意图设计意图五、教学过程五、教学过程（七）定理应用（七）定理应用 通过反馈练习通过反馈练习,使学生会直接应用定使学生会直接应用定理找出函数零点理找出函数零点巩固练习：巩固练习：已知函数已知函数f(x)f(x)的图象的图象是连续不断的，有如下的是连续不断的，有如下的x,f(x)x,f(x)对应值表：对应值表：x x1 12 23 34 45 56 6f(x)f(x)2 23.23.2-7-71111-2-2-1-1函数在区间函数在区间1,61,6上的零点上的零点至少有至少有 个个 2022-7-1639设计意图设计意图五、教学过程五、教学过程（七）（七）定理应用定理应用 通过反馈练习通过反馈练习,使学生初步运用定理使学生初步运用定理找出函数零点所在区找出函数零点所在区间间练习练习1 1、函数、函数f(x)=xf(x)=x3 3+x-1+x-1在下列在下列哪个区间有零点（哪个区间有零点（）A.(-2A.(-2，-1)B.(0-1)B.(0，1)1)C.(1C.(1，2)D.(22)D.(2，3)3)练习练习2 2、求证：方程、求证：方程5x5x2 2-7x-1=0-7x-1=0的一个根在区间的一个根在区间(-1,0)(-1,0)内，内，另一个根在区间另一个根在区间(1,2)(1,2)内。内。2022-7-1640 引导学生用定理引导学生用定理解决问题，然后利用解决问题，然后利用函数单调性判断零点函数单调性判断零点的个数，并借助函数的个数，并借助函数图象对整个解题思路图象对整个解题思路有一个直观的认识有一个直观的认识.设计意图设计意图五、教学过程五、教学过程（七）定理应用（七）定理应用例例1.求函数求函数f(x)=lnx+2x6的的零点个数。零点个数。思路：思路：用定理判断存在用定理判断存在手算用手算用1 1，e e等特殊值计算等特殊值计算可介绍用两个图像的交点可介绍用两个图像的交点来判断函数的零点来判断函数的零点用单调性判断零点个数用单调性判断零点个数2022-7-1641用零点存在定理解决问用零点存在定理解决问题，同时反映教学效果，题，同时反映教学效果，便于查漏补缺便于查漏补缺.（八）巩固知识，尝试练习（八）巩固知识，尝试练习设计意图设计意图五、教学过程五、教学过程2 2、函数、函数 的零点的零点所在的大致区间是（所在的大致区间是（）2()lnf xxxA A、(1,2)B(1,2)B、(2,3)(2,3)C C、(3,4)D(3,4)D、(e,+)(e,+)2022-7-16421你能说说函数的零点与方程的根的联系吗？你能说说函数的零点与方程的根的联系吗？2如果函数图象在区间如果函数图象在区间a,b上是连续不断的，上是连续不断的，那么在什么条件下，函数在那么在什么条件下，函数在(a,b)内有零点？内有零点？优化学生的认知结构，优化学生的认知结构，把课堂所学内容内化把课堂所学内容内化为学生的自己的知识为学生的自己的知识和能力和能力.（九）总结提升（九）总结提升设计意图设计意图五、教学过程五、教学过程问题问题4：内容小结：内容小结：1函数零点的定义函数零点的定义2等价关系等价关系3零点存在定理零点存在定理 方程方程f(x)=0的实数根的实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标函数函数y=f(x)的的零点零点2022-7-1643（十）课后作业（十）课后作业设计意图设计意图五、教学过程五、教学过程 巩固学生所学巩固学生所学的新知识，将学生的的新知识，将学生的思维向外延伸，激发思维向外延伸，激发学生的发散思维学生的发散思维 2022-7-1644板书设计板书设计ab ab 2022-7-1645 对新知识的理解需对新知识的理解需要一个不断深化完善的要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中数学思想方法在解题中的地位和应用，的地位和应用，（八）巩固知识，尝试练习（八）巩固知识，尝试练习设计意图设计意图五、教学过程五、教学过程2 2、函数、函数 的零点的零点所在的大致区间是（所在的大致区间是（）2()lnf xxxA A、(1,2)B(1,2)B、(2,3)(2,3)C C、(3,4)D(3,4)D、(e,+)(e,+)2022-7-16462022-7-16472022-7-1648设计意图设计意图五、教学过程五、教学过程（五）剖析零点存在定理（五）剖析零点存在定理 通过改变定理的通过改变定理的条件，激发学生条件，激发学生思考，使学生对思考，使学生对定理有全面的理定理有全面的理解。解。培养学生缜密分培养学生缜密分析问题的思维品析问题的思维品质。质。让学生自己画，让学生自己画，并请学生画在黑并请学生画在黑板上。板上。abab1.是不是一定有？一定没有？有几个？是不是一定有？一定没有？有几个？2.条件如果是不连续的，能否一定有？条件如果是不连续的，能否一定有？abababab2022-7-1649设计意图设计意图五、教学过程五、教学过程（四）另辟蹊径，探索零点存在定理（四）另辟蹊径，探索零点存在定理 将函数的零点转将函数的零点转化到图象上来，化到图象上来，使抽象的问题直使抽象的问题直观化，更利于学观化，更利于学生理解定理的本生理解定理的本质质.对定理正看、逆对定理正看、逆看、换条件看，看、换条件看，培养学生缜密思培养学生缜密思考的良好习惯。考的良好习惯。ab x ab x()yf x,a b如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，1.是不是一定有？一定没有？有几个？是不是一定有？一定没有？有几个？2.条件如果是不连续的，能否一定有？条件如果是不连续的，能否一定有？让学生让学生动手画动手画3.怎样用数学符号表示零点存在的条件？怎样用数学符号表示零点存在的条件？2022-7-1650五、教学过程五、教学过程设问激疑，创设情景设问激疑，创设情景启发引导，形成概念启发引导，形成概念（三）（三）初步运用，示例练习初步运用，示例练习（四）（四）讨论探究，揭示定理讨论探究，揭示定理（五）（五）观察感知，例题学习观察感知，例题学习（七）（七）反思小结，培养能力反思小结，培养能力（八）（八）课后作业，自主学习课后作业，自主学习（六）（六）知识应用，尝试练习知识应用，尝试练习