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北京邮电大学第一学期工科数学分析期末考试试题(A卷)参照评分原则一、填空(本大题共10小题,每题4分,共40分)1. 极限 .解答: 2.当时,的最大值是 .解答: 3. 设当时,是比高阶的无穷小,而是比高阶的无穷小,则正整数等于 .解答:24. 已知 则 .解答: 5. 极限 .解答:6. .解答:7.设是持续函数,且,则 .解答:8.方程的通解是 .解答:9. .解答:10._.解答: 二、(6分)设是的原函数, 且 ,当时,有,试求.解:由,知 即 解出 代入初始条件, 即得,故由此得 (). 三、(8分) 对证明存在使得,并求证明:由Taylor公式,对任意存在使得 . 又由于故当时有由此知. 两边取极限得, 故. 四、(10分)设抛物线过原点, 且当时,. 又知该抛物线与直线及轴所围成的图形面积是. 求使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体体积V最小.解: 由于抛物线过原点, 因此c=0. 由围成图形的面积可知 , 整顿得, 即 于是旋转体体积 令, 得唯一驻点 , 又知该问题存在最小值, 故当时旋转体体积最小. 五、(7分)设在上持续,在内可导, 且 求证: 使 得.证明:令 则在上持续,在内可导, 且. 故由罗尔定理:使得 , 而, 因此. 六、(7分)设证明证明:设 当时因此函数严格单调递增, 且从而当时, 七、(12分) (本大题共两个小题,每题6分)(1)求摆线第一拱的长度.解: (2) 鉴别积分 的敛散性.解: 为的奇点. 由于,而收敛, 故 收敛; 又由于,且收敛, 因此绝对收敛. 综上所述,可知收敛. 八、(10分)求微分方程的通解, 以及满足条件的特解.解:(1) 特性方程,特性根,故所相应的齐次线性方程的通解为 注意到自由项的形式,由线性方程特解的叠加原理,先设方程特解为其中分别为方程(1) (2) 的特解.(i) 由于不是特性根,故设的特解为则 代入(1)比较系数得 于是的特解为 由于不是特性根,故设的特解为 代入(2)比较系数得 于是得特解为 故原方程的通解为 (2) 将代入方程的通解中易知满足条件的特解为
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