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会计学1复合函数的求导法则复合函数的求导法则91388一、复合函数的求导法则(链导法则)证),()(tttu 则则);()(tttv ，获得增量获得增量设设tt 1.)(),(),(tvtuvufz 的情形.定理,)()(可导可导都在点都在点及及如果函数如果函数ttvtu ),(),(vuvufz在对应点在对应点函数函数 ,)(),(可导可导在对应点在对应点则复合函数则复合函数tttfz 且其导数可用下列公式计算:tzdd处有连续偏导数，tuuzdd.ddtvvz 第1页/共14页 z tz,ddtutu ,ddtvtv 由于函数),(),(vuvufz在点在点 有连续偏导数 vvzuuz,21vu ,0,0时时当当 vu0,021 tvvztuuztvtu 21 ,0时时当当 t0,0 vu tzt0lim多元复合函数的求导法则 tuuzddtvvzdd tzdd第2页/共14页例 设 求dzdzdtdt解：d dz zd dt tzxyt23,sin,xyzext yt2xye3226sin(cost)ttetdxdxdtdtzxdydydtdtzy多元复合函数的求导法则tcost22xye23t第3页/共14页复合函数的中间变量多于两个的情况.定理推广 tzdduvwtz变量树图 三个中间变量),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu uz vz tudd wz tvdd twdd 多元复合函数的求导法则tt第4页/共14页项数问:每一项中间变量函数对中间变量的偏导数该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).的个数.函数对某自变量的偏导数之结构),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu 多元复合函数的求导法则 tzdduz vz tudd wz tvdd twdd 第5页/共14页多元复合函数的求导法则),(),(),(yxvyxuvufz 两个中间变量 两个自变量2.的情形.xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv uv),(),(yxyxfz 第6页/共14页解 xz uzxu vzxv sinuev23223 sin()cos().xyeyxyxy yz uzyu vzyv 3sincosuuev xev23323 sin()cos().xyexxyxy多元复合函数的求导法则例 23sin,uzev uxy vxy.yzxz 和和求求ycosuev2 第7页/共14页,xz yz 解xfxuufxz zuxyxy)sin(yxeu 例多元复合函数的求导法则y 求求而而,),sin(xyuyxezu )cos(yxeu )sin(),(yxeyxufzu记),(),(yxuyxufz 其中其中3.的情形.sin()cos()xyeyxyxy第8页/共14页 已知f(t)可微,证明 满足方程)(22yxfyz .112yzyzyxzx 提示)(tfyz t,y 为中间变量,x,y 为自变量.,)()(22tftfxyxz .)()(2)(122tftfytfyz 引入中间变量,则,22yxt 令令多元复合函数的求导法则第9页/共14页),(vufz 设函数设函数具有连续偏导数,则有全微分;dddvvzuuzz ,),(),(时时当当yxvyxu 则有全微分,dddyyzxxzz xvvzxuuz yvvzyuuz yyuxxuuzdd yyvxxvvzdduuzd .dvvz 一阶全微分形式不变性的实质多元复合函数的求导法则第10页/共14页解0)2(d zxyeze)(dxyexy zezd)2(yexexeyezzxyzxyd)2(d)2(d xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe例,02 zxyeze已知已知.yzxz 和和求求zd2 zezd 0)dd(xyyxexy 通过全微分求所有一阶偏导数,比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便.多元复合函数的求导法则第11页/共14页思考题即即次齐次函数次齐次函数是是设设,),(kzyxf),(),(zyxfttztytxfk 则结论则结论为某一常数为某一常数,);,()(zyxfkzfzyfyxfxA );,()(zyxfzfzyfyxfxBk );,()(zyxkfzfzyfyxfxC ).,()(zyxfzfzyfyxfxD C多元复合函数的求导法则正确的是().第12页/共14页思考题解答),(),(zyxfttztytxfk 令,txu ,tyv ,tzw 则),(),(zyxfttztytxfk),(),(zyxftwvufk 两边对t求导,得 tuuf tvvftwwf ),(1zyxfktk ufx vfywfz ),(1zyxfktk tttt),(zyxftkk),(wvukf ufu vfvwfw ),(wvukf xyxyzzzx y);,()(zyxkfzfzyfyxfxC 多元复合函数的求导法则第13页/共14页
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