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第13讲 一元二次不等式A级高考保分练1不等式x23x40的解集为_解析：由x23x40得x23x40，即(x4)(x1)0，x1或x4.答案：(，41，)2函数f(x)的定义域是_解析：由题意得x24x30，即x24x30，所以1x3，又ln(x24x3)0，即x24x31，所以x24x40，所以x2.故函数f(x)的定义域为(1,2)(2,3)答案： (1,2)(2,3)3(2019通州调研)若一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为_解析：由题意可得解得3k0的解集为_解析：当x0时，原不等式即为x(12x)0，所以0x；当x0，所以x0，综上，原不等式的解集为(，0).答案：(，0) 5已知二次函数f(x)ax2(a2)x1(aZ)，且函数f(x)在(2，1)上恰有一个零点，则不等式f(x)1的解集为_解析：因为f(x)ax2(a2)x1，(a2)24aa240，所以函数f(x)ax2(a2)x1必有两个不同的零点因此f(2)f(1)0，所以(6a5)(2a3)0，所以a.又aZ，所以a1.不等式f(x)1即为x2x0，解得1x0.答案：(1,0)6若关于x的不等式ax26xa20的解集是(1，m)，则m的值为_解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax26xa20的一个根，即a2a60，解得a2或a3，当a2时，不等式ax26xa20的解集是(1,2)，符合要求；当a3时，不等式ax26xa20的解集是(，3)(1，)，不符合要求，舍去故m2.答案：27在R上定义运算：adbc，若不等式1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为_解析：由定义知，不等式1等价于x2x(a2a2)1，x2x1a2a对任意实数x恒成立x2x12，a2a，解得a，则实数a的最大值为.答案：8已知f(x)mx2mx1，若对于x1,3，f(x)m5恒成立，则实数m的取值范围是_解析：由mx2mx1m5得m(x2x1)6.x2x10，m在1,3上恒成立令y.因为t2在1,3上是增函数，所以y在1,3上是减函数因此函数的最小值为.所以m的取值范围是.答案：9设a0，若不等式cos2x(a1)cos xa20对于任意的xR恒成立，则a的取值范围是_解析：令tcos x，t1,1，则不等式f(t)t2(a1)ta20对t1,1恒成立，因此因为a2x的解集为(1,3)(1)若方程f(x)6a0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围解：(1)因为f(x)2x0的解集为(1,3)，所以f(x)2xa(x1)(x3)，且a0，所以f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0，得ax2(24a)x9a0.因为方程有两个相等的实根，所以(24a)24a9a0，即5a24a10，解得a1或a.由于a0，舍去a1，将a代入，得f(x)x2x.(2)由f(x)ax22(12a)x3aa2且a0，可得f(x)的最大值为.由解得a2或2a0)的最小值；(2)对于任意的x0,2，不等式f(x)a恒成立，试求a的取值范围解：(1)依题意得yx4.因为x0，所以x2.当且仅当x，即x1时，等号成立所以y2.所以当x1时，y的最小值为2.(2)因为f(x)ax22ax1，所以要使得“任意的x0,2，不等式f(x)a恒成立”，只要“x22ax10在0,2上恒成立”不妨设g(x)x22ax1，则只要g(x)0在0,2上恒成立即可所以即解得a，所以a的取值范围是.B级难点突破练1已知对于任意的x(，1)(5，)，都有x22(a2)xa0，则实数a的取值范围是_解析：令f(x)x22(a2)xa，则当4(a2)24a0，即1a4时，f(x)0在R上恒成立，符合题意；当0，即a1或a4时，要满足题意，只需函数f(x)的两个零点都在1,5上，则解得4a5.故实数a的取值范围是(1,5答案：(1,52若实数x，y满足4x22xy4y213，则x24y2的取值范围是_解析：由4x22xy4y213得(4x22xy4y2)1，令sx24y2，则sx24y2.令k，则s，可得(4s52)k22sk4s130，由题意知上述关于k的方程有解，所以(2s)24(4s52)(4s13)0，即s220s520，解得104s104.答案：104，1043已知函数f(x)(x0，a0，c0)，当x1,3时，函数f(x)的取值范围是.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若向量m，n(k2k2,3k1)(k1)，解关于x的不等式f(x)mn.解：(1)因为c0，f(x)在1,3上单调递增，所以解得故f(x).(2)由题意，得，即x(x2k)x(k1)0.当1k0时，不等式的解集是(，2k)(0，k1)；当0k1时，不等式的解集是(，0)(2k，k1)；当k1时，不等式的解集是(，0)；当k1时，不等式的解集是(，0)(k1,2k)4已知二次函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)满足：对任意实数x，都有f(x)x且当x(1,3)时，有f(x)(x2)2成立(1)证明：f(2)2；(2)若f(2)0，求f(x)的表达式；(3)在(2)的条件下，设g(x)f(x)x，x0，)，若g(x)图象上的点都位于直线y的上方，求实数m的取值范围解：(1)证明：由条件知，f(2)4a2bc2恒成立，又因为当x2时，f(2)4a2bc(22)22恒成立，所以f(2)2.(2)因为所以4ac2b1.所以b，c14a.又f(x)x恒成立，即ax2(b1)xc0恒成立，所以a0，24a(14a)0，解得a，b，c.所以f(x)x2x.(3)分析条件知道，只要f(x)的图象(在y轴右侧)总在直线yx的上方即可，也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率，利用相切时0，解得m1，所以实数m的取值范围为.- 6 -
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