2013年成都树德中学(九中)自主招生考试数学试题及答案

第卷一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、一列火车花了小时行程公里从城抵达城，晚点两小时，那么应该以什么样的速度才能准点到达（ ）A B C D 2、若均为非负整数，则的取值范围是：（ ） A B C D3、某天，学校研究性学习小组的同学从8时起骑自行车外出调查，17时回到学校，小组离开学校的距离与时间的关系可用图中的曲线表示，根据这个曲线图，下列说法错误的是( ) A在离校最远的地方调查的时间是1415时 B第一次调查从9时开始，历时2h C中午1213时休息的地方离校15kmD返校的速度最慢 4、已知函数和为常数）则不论为何值，这两个函数的图像（ ）A只有一个交点 B只有二个交点 C只有三个交点 D只有四个交点5、如果是非零实数，使得，那么等于（ ）A3 B C D6、一列数：其中末位数字是3的有（ ）A502个 B500个 C1004个 D256个7、在中，和是的两条中线，且，那么（ ）A B C D8、已知三角形的三个内角的度数都是质数，则这三个内角中必定有一个内角等于：（ ）A2度 B3度 C5度 D7度9、已知：，则的值等于（ ）A B0 C1 D210、积值的整数部分是：（ ）A1 B2 C3 D4第卷二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。11、如图所示，一个大长方形被两条线段分成四个小长方形，其中长方形、的面积分别是8、6、5，那么阴影部分的面积是： ； 12当时，函数的最大值减去最小值的差是： ；13、今年参加数学竞赛的人数比去年增加了30%，其中男生增加了20%，女生增加了50%，设今年参加竞赛的总人数为，其中男生人数为，则：= ；14、如果两点：，那么。已知：，在内求一点，使最小，则点的坐标是 ；15、实数满足：，则= ；16、已知恒等式：，则= 。17、（6分+6分+6分=18分）（1）已知：点在直线上，且，求的值。(2) 计算： （3）已知是直角三角形的角所对的边，。求：的值。18、（本题满分9分）已知为实数，且。试求的最大值和最小值。19、（本题满分9分）在成都火车站开始检票时，有a(a0)名旅客在候车室排队等候检票进站。检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口按固定的速度检票。若开放一个检票口，则需30分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；如果现在要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以后进站的旅客能够随到随检，至少要同时开放几个检票口？21、（本题满分12分）如图，在直角坐标平面内，为坐标原点，点的坐标为（1，0），点在轴上且在点的右侧，过点和作轴的垂线，分别交二次函数的图像于点和。直线交于，直线交轴于点，记点的横坐标分别为，点的纵坐标为。（1）请你验证以下的两个命题成立：；数值相等关系：；（2）请你研究：如果将上述命题的条件“点的坐标为（1，0）”改为“点的坐标为（，0）（）”，其它条件不变，结论是否成立？（3）如果将上述命题的条件“点的坐标为（1，0）”改为“点的坐标为（，0）（）”，又将条件“”改为“”，其它条件不变，那么和有怎样的数值关系？22、（本题满分11分）如图所示，在ABC中，A=900，ADBC于DB的平分线分别与AD、AC交于E，F，H为EF的中点(1)求证：AHEF；(2)设AHF、BDE、BAF的周长为cl、c2、c3。试证明：，并指出等号成立时的值数学试卷参考答案一、选择题：题号12345678910答案CCDBDADABA二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。11； 12 16 ；13 ； 14 ；15 ； 16 729 ；三、解答题17、（1）解（2）解：设则原式= =（3）解：原式=18、解：因为：为实数，所以即，故的最大值是，的最小值是。19、解：设检票开始后每分钟新增加旅客人，检票的速度为每个检票口每分钟检人，5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕需要同时开放个检票口。由题意，得取最小的整数，所以：=420 21解：（1）由已知条件可得点的坐标为（2，0），点的坐标为（1，1），点的坐标为(2,4)。 由点C的坐标为(1，1)易得直线OC对应的函数解析式为yx，所以点M的坐标为(2，2) 因此，从而证得结论成立，对结论证明方法有如下两个： 方法一：设直线CD的函数解析式为ykx+b， 则 直线CD对应的函数解析式为y3x-2；由上述可得，点H的坐标为(0，-2)，yH-2， xCxD2，xCxD-yH，即结论成立； 方法二：又根据题意，可证OCHMCD，得CHCM2所以，YH-2，证得成立 (2)方法同(1)，由已知得B(2t，0)、C()、D(2t，4t2)，直线OC对应的一次函数的解析式为ytx，故M(2t，2t2) 。所以，结论仍然成立 (3)然后可求得直线CD对应的一次函数的解析式为22解：（1）BAC=900，ADBC，AFB=900-ABF，AEF=BED=900-DEB又BF平分ABC，ABF=DBF，AFB=AEF，AE=AF，H为EF的中点，AHEF；（2）设AFH=BED，RtAHFRtBEDRtBAF，而BE=BF-2HF=x-2kAF=x-2k2x=(1-2k2)x，故当